Weakly J-submodules of Modules over Commutative Rings
设$R$是有单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.用$J(R),$表示$R$的Jacobson根。本文引入弱$J$ -子模的概念，推广了$J$ -子模.我们称$M$的一个真子模$N$为弱$J$ -子模，如果只要$0\neq rm\in N$为$r\in R$和$m\in M$，则$r\in(J(R)M:M)$或$m\in N.$。
2021-04-13 math.AC
Classical 2-absorbing submodules of modules over commutative rings
在这篇文章中，所有的环都是具有非零单位元的交换环。让$M$是一个$R$模块。$M$的一个真子模$N$称为经典素子模，如果对于每个$m\in M$和元素$a,b\in R$，$abm\in N$蕴涵$am\in N$或$bm\in N$。我们引入了“经典2-吸收子模”的概念，作为“经典素子模”的推广。“我们说$M$的一个真子模$N$是一个经典的2-吸收子模，如果无论何时$a,b,c\in R$和$m\in M$与$abcm\in N$，则是$abm\in N$或$acm\in N$或$bcm\in N$。
2015-05-25 math.AC
Counting submodules of a module over a noetherian commutative ring
对可列Noether交换环上任意模的子模个数进行了计数。我们给，一路上，结构描述的微薄的模块，这是定义为那些没有一个简单的模块的平方作为subquotient。特别地，我们给出了交换诺特环上的单列模的一个刻划。
2019-06-20 math.AC
On graded $A$-2-absorbing submodules of graded modules over graded commutative rings
令$G$是具有身份$e$的群。设$R$是$G$ -分次交换环，$M$是分次$R$ -模，$A\subseteq h(R)$是$R$的乘法闭子集.本文引入$M$的分次$A$-2-吸收子模的概念，作为$M.$的分次2-吸收子模和分次$A$ -素子模的推广，研究了这类分次子模的一些性质.
2020-12-29 math.AC math.RA
Graded $r$-Submodules
设$G$是具有单位元$e$的群，$R$是具有非零单位元$1$的交换$G$ -分次环.本文引入了分次$r$ -子模和分次特殊$r$ -子模的概念，它们是分次r-理想概念的推广。对于非零的$G$ -分级$R$ -模块$M$，$M$的适当分级$R$ -子模块$K$被称为分级$r$ -子模块（相应地，分级的特殊$r$ -子模块）如果每当$a\in h(R)$和$x\in h(M)$使得$ax\in K$与$Ann_{M}(a)=\{0\}$（分别，$Ann_{R}(x)=\{0\}$），然后是$x\in K$（分别，$a\in (K:_{R}M)$）。研究了分次$r$ -子模和分次特殊$r$ -子模的各种性质，并给出了这两类新的分次模的几个例证。
2020-08-13 math.AC math.RA
Survey on second submodules of modules over commutative rings
Department of Mathematics Education, Farhangian University（法尔康吉安大学数学教育系）
本文综述了交换环上模的第二子模概念及其相关研究进展，旨在为该领域研究者提供系统化的参考资料。
2026-01-23 math.AC
Generalized square-difference factor absorbing submodules of modules over commutative rings
Faculty of Mathematics, Al.I. Cuza University（阿尔·伊·库扎大学数学系）；Department of Software Engineering, Hasan Kalyoncu University（哈桑·卡利翁丘大学软件工程系）；Department of Basic Science, Faculty of Engineering and Architecture, İstanbul Gelişim University（伊斯坦布尔格利希姆大学工程与建筑学院基础科学系）；Department of Mathematics, Marmara University（马尔马拉大学数学系）
本文研究了交换环上模的广义平方差因子吸收子模的性质与行为，探讨了其在局部化、同态像、直积、理想化和融合等模扩展中的表现，并通过实例区分了该类子模与其他概念。
2026-04-03 math.AC
The annihilating-submodule graph of modules over commutative rings
设M是交换环R上的模.本文继续研究了零化子模图AG（M），它是在（The Zurski topology-graph of modules over交换环，Comm. Algebra.，42（2014），3283（3296）。AG（M）是一个（无向）图，其中M的一个非零子模N是一个顶点当且仅当存在M的一个非零真子模K使得NK =（0），其中NK是N和K的乘积，由（N：M）（K：M）M定义，两个不同的顶点N和K相邻当且仅当NK =（0）。对于AG（M）是完全（或星形）图或AG（M）的每个顶点是M的素（或极大）子模的模M，我们得到了有用的刻画.此外，我们还研究了零化子模图的染色问题。
2016-01-05 math.AC
Graded-irreducible modules are irreducible
我们证明了如果一个Noether模的分次子模不能写成分次子模的真交，那么它就不能写成子模的真交。更一般地，我们表明，一个自然扩张的指数约化的分次设置与普通指数约化。我们还研究了分次不可约分解中分支的唯一性问题，以及非分次理想的约化指数与其最大分次理想的约化指数之间的关系.
2016-09-29 math.AC
Semi n-submodules of modules over commutative rings
本文引入交换环上模的半n-子模概念，推广半n-理想与n-子模，给出其性质、刻画及例子，并研究融合模情形。
2025-09-10 math.AC
On Generalizations of Graded $2$-absorbing and Graded $2$-absorbing primary submodules
设$R$是一个分次交换环，$1$是非零单位环，$M$是一个分次酉$R$ -模。本文引入了分次$ϕ$-$2$-吸收和分次$ϕ$-$2$-吸收主子模的概念，作为分次$2$ -吸收和分次$2$ -吸收主子模概念的推广.令$GS(M)$是$M$的所有分级$R$ -子模块的集合，并且$ϕ: GS(M)\rightarrow GS(M)\bigcup\{\emptyset\}$是函数。$M$的一个适当的分次$R$ -子模$K$被称为$M$的一个分次$ϕ$-$2$-吸收$R$ -子模，如果每当$x, y$是$R$的齐次元素并且$m$是具有$xym\in K-ϕ(K)$的$M$的齐次元素时，则$xm\in K$或$ym\in K$或$xy\in (K :_{R} M)$，而$K$被认为是一种分级的$ϕ$-$2$-吸收初级$R$ -$M$子模块如果无论何时$x, y$是$R$的同质元素且$m$是具有$xym\in K-ϕ(K)$的$M$的同质元素，则$xm$或$ym$在$K$或$xy\in (K:_{R}M)$的分级根中。我们研究了这些新类型的分次子模的几个性质。
2021-02-18 math.AC math.RA
On Graded s-Prime Submodules
本文引入了分次$s$ -素子模的概念，它是分次素子模的推广.我们研究了这一概念在分次同态、分次模的局部化、直积和理想化方面的行为。在分次Noether模的情况下，我们成功地证明了分次$s$ -素子模的存在性.此外，我们提供了一些充分条件存在这样的对象在一般情况下，以及，在特殊情况下的分级由$\mathbb{Z}$，一个有限群，或一个多圈的有限群，除了交叉产品分级。
2020-09-13 math.AC math.RA
On (k,n)-closed submodules
设R是有单位元的交换环，M是R-模，本文引入了交换环上模的半n-吸收子模和（k，n）-闭子模，并研究了它们的基本性质。
2016-04-26 math.AC
On 2-absorbing primary submodules of modules over commutative rings
所有的环都与$1\neq0$交换，所有的模都是酉的。本文研究环的$2$ -吸收准素理想的$2$-吸收准素子模的概念。让$M$是一个$R$模块。一个$R$ -模块$M$的一个真子模块$N$被称为$M$的一个$2$ -吸收主子模块，如果无论何时$a,b\in R$和$m\in M$和$abm\in N$，那么$am\in M$-$rad(N)$或$bm\in M$或$ab\in(N:_RM)$ .证明了$M$的真子模$N$是$2$ -吸收主子模当且仅当对于$R$的某些理想$I_1,I_2$和$M$的某些子模$K$，$I_1I_2K\subseteq N$有$I_1I_2\subseteq(N:_RM)$或$I_1K\subseteq M$ - $rad(N)$或$I_2K\subseteq M$ - $rad(N)$ .证明了对于$R$ -模$M$的子模$N$，如果$M$-$rad(N)$是$M$的素子模，则$N$是$M$的吸收$2$的素子模.如果$N$是一个由乘法生成的$R$ -模$M$的一个$2$ -吸收准素子模，则$(N:_RM)$是$R$的一个$2$ -吸收准素理想，$M$-$rad(N)$是$M$的一个$2$ -吸收子模.
2015-03-01 math.AC
Domination number in the annihilating-submodule graph of modules over commutative rings
设$M$是交换环$R$上的模. $M$的零化子模图，记作$AG(M)$，是一个简单图，其中$M$的一个非零子模$N$是一个顶点当且仅当存在$M$的一个非零真子模$K$，使得$NK=(0)$，其中$NK$是$N$和$K$的乘积，用$(N:M)(K:M)M$表示，两个不同的顶点$N$和$K$相邻当且仅当$NK=(0)$。该图是零化理想图的子模版本，并且在某些条件下，与Zerkiki拓扑图$G(τ_T)$的导出子图同构，该Zerkiki拓扑图$G(τ_T)$在（The Zerkiki topology-graph of modules over交换环，Comm. Algebra.，42（2014），3283- 3296）。本文研究了$AG(M)$的控制数以及$AG(M)$的图论性质与模$M$的代数性质之间的联系.
2020-01-24 math.AC
The annihilating-submodule graph of modules over commutative rings II
设M是交换环R上的模.本文继续研究了零化子模图AG（M），它是在（The Zurski topology-graph of modules over交换环，Comm. Algebra.，42（2014），3283（3296）。AG（M）是一个（无向）图，其中M的一个非零子模N是一个顶点当且仅当存在M的一个非零真子模K使得NK =（0），其中NK是N和K的乘积，由（N：M）（K：M）M定义，两个不同的顶点N和K相邻当且仅当NK =（0）。我们证明，如果AG（M）是一棵树，那么AG（M）要么是一个星图，要么是一条4阶路，在后一种情况下，M \cong F \times？其中F是一个简单的模，S是一个具有唯一非平凡子模的模。此外，我们证明了：如果M是一个至少有三个极小素子模的循环模，则gr（AG（M））= 3，并且对每个循环模M，cl（AG（M））\geq|最小值（M）|.
2016-01-24 math.AC
PS-Hollow Representations of Modules over Commutative Rings
设$R$是交换环，$M$是非零$R$ -模.引入了$M$的类\emph{pseudo strongly hollow submodules}（简称\emph{PS-hollow submodules}）.受具有\emph{secondary representations}的模理论的启发，我们研究了可表示为PS-中空子模的\emph{finite}和的模.特别地，我们给出了Artin环上模的\emph{minimal} PS-空强表示的存在性和唯一性定理.
2019-07-31 math.AC
Graded-Injective Modules and Bass Numbers of Veronese Submodules
本文研究了标准分次代数上分次模的Bass数，利用Veronese函子计算了Veronese子模在非齐次极大素理想处的Bass数，并将其应用于确定局部上同调模的Bass数。
2024-07-24 math.AC
On $gr$-quasi-semiprime submodules
本文引入分次拟半素子模作为分次半素子模的推广，定义其条件为 $(S:_{R}M)$ 是 $gr$-半素理想，并研究其基本性质。
2023-09-02 math.AC
Graded modules with Noetherian graded second spectrum
设$R$是$G$分次交换环，$M$是$G$ -分次$R$ -模.用$Spec_G^s(M)$表示$M$的所有分次第二子模的集合，称之为$M$的分次第二谱.本文讨论了具有Noether分次素谱的分次环，得到了一些结论。此外，我们还引入了分次子模的分次Zapriki基座的概念，并研究了它们的性质。利用这些结论和性质，我们还从Noether空间的角度研究了具有Zebraki拓扑的$Spec_G^s(M)$，并给出了一些相关结果.
2022-07-20 math.AC
Semiannihilator small submodules with respect to an arbitrary submodule
本文R表示有单位元的交换环，M表示非零单位R-模。我们将半零化子小子模的概念推广到关于M的任意子模T的T-半零化子小子模。
2022-08-31 math.AC
$n$-pure submodules of modules
设R是交换环，M是R-模.本文将引入M的n-纯子模的概念作为纯子模的推广，并得到一些相关结果。
2020-02-04 math.AC
Some generalizations of second submodules
本文引入了交换环上模的第二子模的两种推广，并讨论了这两类模的一些基本性质。
2016-09-26 math.AC
The dual of the notions r-submodules, n-submodules, and J-submodules
设R是有单位元的交换环，M是R-模.本文的目的是引入和研究M的r-子模、n-子模和J-子模的对偶概念。
2021-09-03 math.AC
The Quasi-Zariski topology on the graded quasi-primary spectrum of a graded module over a graded commutative ring
本文定义分次交换环上分次模的分次准素谱，并在其上引入拟-Zariski拓扑，研究其拓扑性质及成为Noether谱空间的条件。
2021-06-16 math.AC
Quasi J-submodules
设$R$是有单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.将交换环的拟$J$ -理想的概念推广到模的拟$J$ -子模。我们称$M$的一个真子模$N$为拟$J$ -子模，如果只要$r\in R$和$m\in M$使得$rm\in N$和$r\notin(J(R)M:M)$，则有$m\in M$ - $rad(N)$ .我们提出了这个概念的各种性质和特征（特别是在n-生成的忠实乘法模）。此外，我们提供了新的类的模，推广预可予模，并证明他们的关系与（准）$J$ -子模。最后，对$M$的子模$N$和$R$的理想$I$，刻画了理想化环$R(+)M$的拟$J$ -理想.
2021-02-20 math.AC
$ψ$-second submodules of a module
设R是有单位元的交换环，M是R-模.本文的主要目的是引入并研究R-模M的第二子模$ψ$的概念。
2020-01-16 math.AC
Semi r-ideals of commutative rings
对于有单位元的交换环，我们引入并研究了半$r$ -理想的概念，它是$r$ -理想和半素理想的一种推广.交换环$R$的真理想$I$称为半$r$ -理想，如果只要$a^{2}\in I$和$Ann_{R}(a)=0$，则$a\in I$ .这类理想的几个性质和特征的确定。特别地，我们研究了半$r$ -理想的各种情况下的建设，如直积，本地化，同态像，理想化和双加加姆斯环。将环的半$r$ -理想推广到模的半$r$ -子模，并阐明了它们的一些性质.此外，我们定义了满足$D$ -零化子条件的子模，并证明了它们是半$r$ -子模.
2022-10-01 math.AC
$S$-secondary submodules of a module
设R是有单位元的交换环，S是R的乘法闭子集，M是R-模.本文的目的是引入M的S-次次子模的概念，作为M的次子模的推广，并研究这类子模的一些性质。
2020-08-22 math.AC
On j-Artinian Modules Over Commutative Rings
Yildiz Technical University（伊斯坦布尔技术大学）；University S.M. Ben Abdellah Fez（费兹S.M.本阿卜杜拉大学）
本文研究了交换环上j-阿廷模块的性质，提出j-阿廷模块的定义，并建立了阿基次定理的类比。
2025-11-26 math.AC
$S$-2-absorbing submodules and $S$-2-absorbing second submodules
设R是有单位元的交换环，S是R的乘法闭子集，M是R-模.本文引入了M的S-2-吸收第二子模的概念，作为M的S-第二子模和强2-吸收第二子模的推广。我们研究了这类子模的一些性质。同时，我们得到了M的S-2-吸收子模的一些结果。
2020-04-04 math.AC
Strongly $ψ$-$2$-absorbing second submodules
设R是有单位元的交换环，M是R-模.本文的主要目的是引入并研究M的强2-吸收第二子模的概念，作为M的强2-吸收第二子模和强2-吸收第二子模的推广。
2020-07-02 math.AC
Strongly Prime Submodules
设$R$是有单位元的交换环.对于$R$ -模$M$，定义了$M$的强素子模的概念.证明了素子模的概念继承了通常的素理想概念的大部分基本性质。特别地，将广义主理想定理推广到模.
2009-12-09 math.AC
2-irreducible and strongly 2-irreducible submodules of a module
设R是有单位元的交换环，M是R-模.在本文中，我们将引入2-不可约的概念（分别是，强2-不可约）子模作为不可约（分别为，强不可约）子模，并研究了这类模的一些性质。
2019-05-24 math.AC
On S-primary submodules
设$R$是有单位元的交换环，$S$是$R$的乘法闭子集，$M$是$R$ -模.本文研究了$M$的准素子模$S$的一些性质.在其他结果中，它表明，这类模包含家庭的主要（分别。$S$ -prime）子模块。
2020-09-20 math.AC
Quasi $z^\circ$-submodules of a reduced multiplication
设R是有单位元的交换环，M是R-模.本文定义了M的拟$z^\circ$ -子模作为R的$z^\circ$ -理想的扩张，并在M是既约乘法R-模时得到了一些相关结果.
2022-10-07 math.AC
Classical and strongly classical 2-absorbing second submodules
在本文中，我们将引入经典的概念（分别）。强经典）2-吸收第二子模作为交换环上模的2-吸收（resp.强2-吸收）第二子模，并研究了这类模的基本性质。
2019-04-07 math.AC
2-absorbing and strongly 2-absorbing secondary submodules of modules
在本文中，我们将引入2-吸收的概念（分别为：强2-吸收）次子模作为次模的推广，并研究了这类模的一些基本性质。
2016-10-03 math.AC
Applications of Differential Graded Algebra Techniques in Commutative Algebra
微分分次代数是有理同伦理论的有力工具。本文综述了这些方法在同调交换代数中的应用。
2020-11-03 math.AC
1-absorbing primary submodules
设$R$是具有非零单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.本文的目的是将1-吸收准素理想的概念推广到1-吸收准素子模。$M$的一个真子模$N$称为1-吸收主子模，如果只要非单位元$a,b\in R$和$m\in M$具有$abm\in N$，则要么是$ab\in(N:_{R}M)$，要么是$m\in M-rad(N).$.此外，还证明了1-吸收初等回避定理。
2021-02-24 math.AC
Weakly classical prime submodules
本文证明了所有的环都是具有非零单位元的交换环。设$M$是一个$R$ -模块。$M$的一个真子模$N$称为经典素子模，如果对于每个$m \in M$和元素$a,b\in R$，$abm\in N$蕴涵$am\in N$或$bm\in N$。我们引入了“弱经典素子模”的概念。“$M$的一个真子模$N$是一个弱经典素子模，如果只要$a,b\in R$和$m\in M$有$0\neq abm\in N$，则有$am\in N$或$bm\in N$ .
2016-05-08 math.AC
Quasi-prime submodules and developed Zariski topology
设$R$是具有非零单位元的交换环，$M$是$R$ -模.引入了$M$的拟素子模和$q\Spec(M)$上的推广的Zapriki拓扑.我们还研究了$M$的代数性质与$q\Spec(M)$的拓扑性质之间的关系。研究了其发展的Zerkiki拓扑分别为$T_0$、不可约和Noether的模，给出了这类模的几个刻画.
2011-05-23 math.AC
The dual of z-submodules of modules and some of extensions
本文在交换环上的模中引入z-子模的对偶概念及其推广，并研究了coreduced comultiplication模情形下这些模类的性质。
2023-09-17 math.AC
On Gelfand graded commutative rings
本文研究了分次交换环，其中每个齐次素理想都包含在唯一的齐次极大理想中，称之为Gelfand分次环.目的是建立这些环的一些拓扑和代数特征，其中之一是Urysohn引理的代数模拟。最后我们研究了一类特殊的分次环pm $^+$分次环，它可以看作是具有Gelfand强性质的分次环.
2022-09-30 math.AC
On 1-absorbing prime submodules
在这篇研究中，我们的目的是引进一个非零单位元的交换环上的单位模的1-吸收素子模的概念。设M是R-模，N是M的真子模.对于R中的所有非单位元a，b和M中的m，如果abm在N中，或者abin（N：M），或者m在N中，则称N为M的1-吸收素子模.我们证明了这个新概念是素子模的推广，同时它也是一类特殊的2-吸收子模。除了1-吸收素子模的一些性质外，我们还得到了它在乘法模中的一个刻画。
2020-07-02 math.AC
Associated prime submodules of finitely generated modules
设$R$是有单位元的交换环.对于随机生成的$R$ -模块$M$，定义了$M$的关联素子模块的概念。证明了这个概念继承了通常的相伴素理想概念的大部分基本性质。特别地，证明了对于诺特乘法模$M$，$M$的相关素子模的集合与$M$的零子模的极小准素分解分解中出现的$M$的准素子模的$M$ -根式的集合重合.同时，将Anderson定理[{ \bf 2}]推广到某类模中的极小素子模.
2004-07-28 math.AC
A somewhat gentle introduction to differential graded commutative algebra
微分分次交换代数为证明交换环上模的定理提供了有力的工具。这些笔记是对这些技术的一个有点口语化的介绍。为了提供一些动力交换代数谁想知道的好处，学习和使用这些技术，我们提出了他们的背景下，最近的结果Nasseh和萨瑟-瓦格斯塔夫。这些笔记用于课程“微分分级交换代数“，这是在里贾纳大学举行的代数和几何之间的连接研讨会的一部分，2012年5月29日至6月1日。
2013-07-01 math.AC
The Zariski topology on the graded primary spectrum of a graded module over a graded commutative ring
设$R$是$G$ -分次环，M是$G$ -分次$R$ -模.我们定义$M$的分次准素谱，记为$\mathcal{PS}_G(M)$，是M的所有分次准素子模$Q$的集合，使得$(Gr_M(Q):_R M)=Gr((Q:_R M))$ .本文定义了分次素谱$Spec_G(M)$上具有Zaplaki拓扑的$\mathcal{PS}_G(M)$上的一个拓扑作为子空间拓扑，并研究了这个拓扑空间的几个拓扑性质.
2021-10-02 math.AC
$ϕ$-classical prime submodules
本文证明了所有的环都是具有非零单位元的交换环。设$M$是一个$R$模块. $M$的一个真子模$N$称为经典素子模，如果对于每个$m\in M$和元素$a,b\in R$，$abm\in N$蕴涵$am\in N$或$bm\in N$。令$ϕ:S(M)\to S(M)\cup{\emptyset}$为函数，其中$S(M)$为$M$的所有子模块的集合。我们引入了“$ϕ$ -经典素子模”的概念。$M$的一个真子模$N$是一个$ϕ$ -经典素子模，如果只要$a,b\in R$和$m\in M$与$abm\in N\backslashϕ(N)$，则是$am\in N$或$bm\in N$ .
2015-07-30 math.AC
S-prime and S-weakly prime submodules
在本研究中，所有的环都是具有非零单位元的交换环，所有的模都被认为是有单位元的。设$M$是一个左$R$ -模块。如果$0_{M}\neq f(m)\in N$意味着$m\in N$或$f(M)\subseteq N,$，其中$f\in S=End(M)$和$m\in M$是$M$的一个适当的子模块$N$，则称为$S$- $weakly$ $prime$子模块。得到了有关$S$ -素和$S$ -弱素子模的一些结果.然后研究了乘法模的$S$ -素子模和$S$ -弱素子模。同样对于$R$ -模$M_{1}$和$M_{2},$，我们研究了$M=M_{1}\times M_{2},$的$S$ -素和$S$ -弱素子模，其中$S=S_{1}\times S_{2},$、$S_{1}=End(M_{1})$和$S_{2}=End(M_{2})$ .
2020-05-18 math.AC
$ϕ$-prime submodules
设$R$是具有非零单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.令$\mathcal{S}(M)$是$M$的所有子模块的集合，并且$ϕ:\mathcal{S}(M)\to \mathcal{S}(M)\cup \{\emptyset\}$是函数。如果$a\in R$，$x\in M$ with $ax\in P\setminus ϕ(P)$蕴涵有$a\in(P:_RM)$或$x\in P$，则我们称$M$的真子模$P$是相对于$ϕ$的素子模或$ϕ$ -素子模.所以如果我们对每个$N\in\mathcal{S}(M)$取$ϕ(N)=\emptyset$，那么一个$ϕ$ -素子模就是一个素子模。同样，如果我们考虑$ϕ(N)=\{0\}$对于$M$的每个子模$N$，那么在这种情况下，一个$ϕ$ -素子模将被称为弱素子模。这个概念的一些属性将被调查。给出了$ϕ$ -素子模的一些刻画，并证明了在一定的假设下，素子模与$ϕ_1$ -素子模重合。
2009-07-24 math.AC
Modules of infinite regularity over commutative graded rings
本文证明了：如果域$k$上的分次交换代数$R$不是Koszul，则用$\mathfrak{m}$表示$R$的极大齐次理想，用$M$表示分次$R$ -模，$\mathfrak{m} M$形式的非零模具有无穷Castelnuovo-Mumford正则性.证明了在非Koszul的完全交上，$k$的合点的非零直和项具有无穷正则性.最后，我们涉及到$R$的梯度偏差的消失，有一个非零的直和的合合$k$有限的正则性。
2018-09-27 math.AC
The homogeneous spectrum of a $\Bbb Z_2$-graded commutative ring
设$\Bbb Z_2:=\Bbb Z/2\Bbb Z$是具有两个元素的加法群。本文主要研究$\Bbb Z_2$ -分次交换环，即交换环$R$，使得$R=R_0\oplus R_1$为阿贝尔群，且对所有$i,j\in \Bbb Z_2$都有$R_iR_j\subseteq R_{i+j}$.我们的主要目标是建立$R$的$\Bbb Z_2$ -分次素（极大）理想与$R_0$的素（极大）理想之间的强关系，例如，证明了$R$的$\Bbb Z_2$ -分次谱与$R_0$的谱关于Zerki拓扑同胚.
2022-08-08 math.AC
On Properties of Graded Rings and Graded Modules
设$R$是$G$ -分次环.引入了分次环的两个新概念，即弱分次环和可逆分次环，并讨论了它们与分次环的若干性质之间的关系.研究了弱交叉积的概念，研究了弱交叉积的一些性质，并给出了弱交叉积与分次环的一些性质之间的关系。此外，本文还推广了分次本质子模的概念，并引入了分次半一致模的概念，它是分次一致模概念的推广.
2021-01-17 math.AC
