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$ϕ$ -素子模

$ϕ$-prime submodules

Naser Zamani

备注：
8-pages, To apper in Glasgow Mathematical Journal
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摘要：

设$R$是具有非零单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.令$\mathcal{S}(M)$是$M$的所有子模块的集合，并且$ϕ:\mathcal{S}(M)\to \mathcal{S}(M)\cup \{\emptyset\}$是函数。如果$a\in R$，$x\in M$ with $ax\in P\setminus ϕ(P)$蕴涵有$a\in(P:_RM)$或$x\in P$，则我们称$M$的真子模$P$是相对于$ϕ$的素子模或$ϕ$ -素子模.所以如果我们对每个$N\in\mathcal{S}(M)$取$ϕ(N)=\emptyset$，那么一个$ϕ$ -素子模就是一个素子模。同样，如果我们考虑$ϕ(N)=\{0\}$对于$M$的每个子模$N$，那么在这种情况下，一个$ϕ$ -素子模将被称为弱素子模。这个概念的一些属性将被调查。给出了$ϕ$ -素子模的一些刻画，并证明了在一定的假设下，素子模与$ϕ_1$ -素子模重合。

英文摘要：

Let $R$ be a commutative ring with non-zero identity and $M$ be a unitary $R$-module. Let $\mathcal{S}(M)$ be the set of all submodules of $M$, and $ϕ:\mathcal{S}(M)\to \mathcal{S}(M)\cup \{\emptyset\}$ be a function. We say that a proper submodule $P$ of $M$ is a prime submodule relative to $ϕ$ or $ϕ$-prime submodule if $a\in R$, $x\in M$ with $ax\in P\setminus ϕ(P)$ implies that $a\in(P:_RM)$ or $x\in P$. So if we take $ϕ(N)=\emptyset$ for each $N\in\mathcal{S}(M)$, then a $ϕ$-prime submodule is exactly a prime submodule. Also if we consider $ϕ(N)=\{0\}$ for each submodule $N$ of $M$, then in this case a $ϕ$-prime submodule will be called a weak prime submodule. Some of the properties of this concept will be investigated. Some characterizations of $ϕ$-prime submodules will be given, and we show that under some assumptions prime submodules and $ϕ_1$-prime submodules coincide.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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