On (k,n)-closed submodules
Ece Yetkin Celikel
设R是有单位元的交换环，M是R-模，本文引入了交换环上模的半n-吸收子模和（k，n）-闭子模，并研究了它们的基本性质。
Let R be a commutative ring with unity and M be an R- module In this paper we introduce semi n- absorbing and (k, n)-closed submodules of modules over commutative rings, and investigate their basic properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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$S$-2-absorbing submodules and $S$-2-absorbing second submodules
设R是有单位元的交换环，S是R的乘法闭子集，M是R-模.本文引入了M的S-2-吸收第二子模的概念，作为M的S-第二子模和强2-吸收第二子模的推广。我们研究了这类子模的一些性质。同时，我们得到了M的S-2-吸收子模的一些结果。
2-absorbing and strongly 2-absorbing secondary submodules of modules
在本文中，我们将引入2-吸收的概念（分别为：强2-吸收）次子模作为次模的推广，并研究了这类模的一些基本性质。
Strongly $ψ$-$2$-absorbing second submodules
设R是有单位元的交换环，M是R-模.本文的主要目的是引入并研究M的强2-吸收第二子模的概念，作为M的强2-吸收第二子模和强2-吸收第二子模的推广。
1-absorbing primary submodules
设$R$是具有非零单位元的交换环，$M$是酉$R$ -模.本文的目的是将1-吸收准素理想的概念推广到1-吸收准素子模。$M$的一个真子模$N$称为1-吸收主子模，如果只要非单位元$a,b\in R$和$m\in M$具有$abm\in N$，则要么是$ab\in(N:_{R}M)$，要么是$m\in M-rad(N).$.此外，还证明了1-吸收初等回避定理。
On 1-absorbing prime submodules
在这篇研究中，我们的目的是引进一个非零单位元的交换环上的单位模的1-吸收素子模的概念。设M是R-模，N是M的真子模.对于R中的所有非单位元a，b和M中的m，如果abm在N中，或者abin（N：M），或者m在N中，则称N为M的1-吸收素子模.我们证明了这个新概念是素子模的推广，同时它也是一类特殊的2-吸收子模。除了1-吸收素子模的一些性质外，我们还得到了它在乘法模中的一个刻画。
On 2-absorbing primary submodules of modules over commutative rings
所有的环都与$1\neq0$交换，所有的模都是酉的。本文研究环的$2$ -吸收准素理想的$2$-吸收准素子模的概念。让$M$是一个$R$模块。一个$R$ -模块$M$的一个真子模块$N$被称为$M$的一个$2$ -吸收主子模块，如果无论何时$a,b\in R$和$m\in M$和$abm\in N$，那么$am\in M$-$rad(N)$或$bm\in M$或$ab\in(N:_RM)$ .证明了$M$的真子模$N$是$2$ -吸收主子模当且仅当对于$R$的某些理想$I_1,I_2$和$M$的某些子模$K$，$I_1I_2K\subseteq N$有$I_1I_2\subseteq(N:_RM)$或$I_1K\subseteq M$ - $rad(N)$或$I_2K\subseteq M$ - $rad(N)$ .证明了对于$R$ -模$M$的子模$N$，如果$M$-$rad(N)$是$M$的素子模，则$N$是$M$的吸收$2$的素子模.如果$N$是一个由乘法生成的$R$ -模$M$的一个$2$ -吸收准素子模，则$(N:_RM)$是$R$的一个$2$ -吸收准素理想，$M$-$rad(N)$是$M$的一个$2$ -吸收子模.
On Graded $1$-Absorbing Prime Submodules
设$G$是具有单位元$e$的群，$R$是具有单位元$1$的交换$G$ -分次环，$M$是$G$ -分次有单位元$R$ -模.本文引入分次$1$ -吸收素子模的概念. $M$的一个真分次$R$ -子模$N$称为$M$的一个分次$1$ -吸收素$R$ -子模，如果对于$R$的所有非单位齐次元$x, y$和具有$xym\in N$的$M$的齐次元$m$，要么是$xy\in (N :_{R} M)$，要么是$m\in N$。我们证明了这个新概念是分次素子模的推广，同时也是一个特殊的分次$2$ -吸收子模。得到了分次$1$吸收素子模的几个性质.研究了当分量$\left\{M_{g}:g\in G\right\}$是乘法$R_{e}$ -模时分次$1$ -吸收素子模.
Classical and strongly classical 2-absorbing second submodules
在本文中，我们将引入经典的概念（分别）。强经典）2-吸收第二子模作为交换环上模的2-吸收（resp.强2-吸收）第二子模，并研究了这类模的基本性质。
On Graded 2-Absorbing Coprimary Submodules
引入分次$2$ -吸收共主子模的概念，作为分次强$2$ -吸收第二子模的推广，并讨论了这类模的一些性质.分次$R$ -模块$M$的非零分次$R$-子模块$N$称为分次$2$ -吸收共主$R$ -子模块，如果只要$x, y$是$R$的齐次元素，并且$K$是$M$的分次$R$ -子模块，使得$xyN\subseteq K$，则$x$或$y$在$(K :_{R} N)$或$xy\in Ann_{R}(N)$的分次根中.已取得若干成果。
Generalized square-difference factor absorbing submodules of modules over commutative rings
本文研究了交换环上模的广义平方差因子吸收子模的性质与行为，探讨了其在局部化、同态像、直积、理想化和融合等模扩展中的表现，并通过实例区分了该类子模与其他概念。
Classical 2-absorbing submodules of modules over commutative rings
在这篇文章中，所有的环都是具有非零单位元的交换环。让$M$是一个$R$模块。$M$的一个真子模$N$称为经典素子模，如果对于每个$m\in M$和元素$a,b\in R$，$abm\in N$蕴涵$am\in N$或$bm\in N$。我们引入了“经典2-吸收子模”的概念，作为“经典素子模”的推广。“我们说$M$的一个真子模$N$是一个经典的2-吸收子模，如果无论何时$a,b,c\in R$和$m\in M$与$abcm\in N$，则是$abm\in N$或$acm\in N$或$bcm\in N$。
S-1-absorbing primary submodules
本文引入了$S$ -1-吸收准素子模的概念，作为1-吸收准素子模的推广。设$S$是环$R$的乘法闭子集，$M$是$R$ -模. $M$与$(N:_{R}M)\cap S=\emptyset$的子模块$N$被称为$S$ -1-吸收主模块，如果每当对于某些非单元$a,b\in R$和$m\in M$的$abm\in N$，则是$sab\in(N:_{R}M)$或$sm\in M$ - $rad(N)$。我们研究这个概念的几个属性，并提供一些表征。此外，还提出了理想化和融合的$S$-1吸收初等避免定理和$S $-1吸收初等性质。
Some properties of graded generalized 2-absorbing submodules
设$G$是具有单位元$e$的阿贝尔群.设$R$是$G$ -分次交换环，$M$是分次$R$ -模.本文得到了分次广义2-吸收子模及其齐次分支的一些结果。当分次环是分次gr-Noether环时，人们特别注意寻找这些分次分次子模的额外性质。
On Graded classical 2-absorbing second submodules of graded modules over graded commutative rings
令$G$是具有身份$e$的群。设$R$是$G$ -分次交换环，$M$是分次$R$ -模.本文引入分次交换环上分次模的分次经典和分次强经典2-吸收第二子模的概念。给出了这些类的分次子模及其齐次分支的一些结果。
On 2-absorbing submodules and their Amalgamations
本文研究了素子模推广的2-吸收子模，给出了其基本刻画，并利用同构与同态探讨了融合模中2-吸收子模的判定条件。
On Generalizations of Graded $2$-absorbing and Graded $2$-absorbing primary submodules
设$R$是一个分次交换环，$1$是非零单位环，$M$是一个分次酉$R$ -模。本文引入了分次$ϕ$-$2$-吸收和分次$ϕ$-$2$-吸收主子模的概念，作为分次$2$ -吸收和分次$2$ -吸收主子模概念的推广.令$GS(M)$是$M$的所有分级$R$ -子模块的集合，并且$ϕ: GS(M)\rightarrow GS(M)\bigcup\{\emptyset\}$是函数。$M$的一个适当的分次$R$ -子模$K$被称为$M$的一个分次$ϕ$-$2$-吸收$R$ -子模，如果每当$x, y$是$R$的齐次元素并且$m$是具有$xym\in K-ϕ(K)$的$M$的齐次元素时，则$xm\in K$或$ym\in K$或$xy\in (K :_{R} M)$，而$K$被认为是一种分级的$ϕ$-$2$-吸收初级$R$ -$M$子模块如果无论何时$x, y$是$R$的同质元素且$m$是具有$xym\in K-ϕ(K)$的$M$的同质元素，则$xm$或$ym$在$K$或$xy\in (K:_{R}M)$的分级根中。我们研究了这些新类型的分次子模的几个性质。
On graded $A$-2-absorbing submodules of graded modules over graded commutative rings
令$G$是具有身份$e$的群。设$R$是$G$ -分次交换环，$M$是分次$R$ -模，$A\subseteq h(R)$是$R$的乘法闭子集.本文引入$M$的分次$A$-2-吸收子模的概念，作为$M.$的分次2-吸收子模和分次$A$ -素子模的推广，研究了这类分次子模的一些性质.
Some generalizations of strongly prime ideals
本文引入了强2-吸收准素理想的概念（分别是，子模）和强2-吸收理想（分别，子模）作为强素理想的推广。此外，我们还研究了这些理想类的一些基本性质。
Some Characterizations of Weakly Pseudo Primary 2-Absorbing Submodules in Terms of some Types of Modules
本文研究弱伪准素2-吸收子模，利用忠实、非奇异、Z-正则及投射模刻画乘法模，并在附加条件下证明其子模剩余为相应理想。
Archimedean classes in additive monoids
本文针对加法幂等半环上模中常见的被和吸收子模，推进了对该类子模及更广泛加法幺半群的研究，重点探讨其阿基米德类与商结构。
$S$-secondary submodules of a module
设R是有单位元的交换环，S是R的乘法闭子集，M是R-模.本文的目的是引入M的S-次次子模的概念，作为M的次子模的推广，并研究这类子模的一些性质。
On S-primary submodules
设$R$是有单位元的交换环，$S$是$R$的乘法闭子集，$M$是$R$ -模.本文研究了$M$的准素子模$S$的一些性质.在其他结果中，它表明，这类模包含家庭的主要（分别。$S$ -prime）子模块。
On weakly S-prime submodules
设$R$是具有非零单位元的交换环，$S$是$R$的乘法闭子集，$M$是有单位元的$R$-模.本文定义了$M$ with $(N:_{R}M)\cap S=ϕ$的一个子模$N$是弱$S$-素的，如果存在$s\in S$使得当$a\in R$和$m\in M$ with $0\neq am\in N$时，要么是$sa\in(N:_{R}M)$，要么是$sm\in N$.介绍了弱$S$-素子模的许多性质、例子和刻画，特别是在乘法模中。此外，我们还研究了该结构在模同态、局部化、商模、卡氏积和理想化下的行为。最后，我们定义了两类沿着理想的合并模的子模，并研究了它们是弱$S$-素的条件。
On Weakly S-primary Submodules
设$R$是具有非零单位元的交换环，$S$是$R$的乘法闭子集，$M$是有单位元的$R$ -模.本文定义了$M$ with $(N:_{R}M)\cap S=\emptyset$的一个子模$N$是弱$S$ -准素的，如果存在$s\in S$使得当$a\in R$和$m\in M$ with $0\neq am\in N$时，要么是$sa\in\sqrt{(N:_{R}M)}$，要么是$sm\in N$ .我们提出了这个概念的各种性质和特征（特别是在n-生成的忠实乘法模）。此外，研究了该结构在模同态、局部化、商模、卡氏积和理想化下的行为。最后，我们确定了沿理想的合并模的两类子模是弱$S$ -准素的条件。
S-small and S-essential submodules
本文研究的是S-co-m模，它是co-m模的推广.在第二节中，我们引入了交换环$R$上酉$R$ -模$M$的S-小子模和S-本质子模，其中$1\neq 0$使得S是$R$的乘法闭子集。证明了若$M$是满足S-DAC和$N\leq M$的S-co-m模，则$N\leq ^{S}_{e}M$当且仅当存在$I\ll ^{S}R$使得对某些$s\in S$有$s(0:_{M}I)\leq N\leq (0 :_{M}I)$.设$M$是一个忠实的S-强co-m $R$ -模。证明了若$N\ll ^{S}M$，则存在理想$I\leq ^{S}_{e}R$，使得$s(0 :_{M}I)\leq N\leq (0 :_{M}I)$ .如果$S=\{1\}$和$M$是素模，则反之成立。在第三节中，我们引入了$R$ -模$M$的S-拟余纯子模$N$，并研究了与这类子模有关的一些结果。
Fully $S$-coidempotent modules
设R是有单位元的交换环，S是R的乘法闭子集.本文引入了S-余幂等子模和完全S-余幂等R-模的概念，作为余幂等子模和完全余幂等R-模的推广。我们探讨了这些类的R-模的一些基本性质。
Ideal class groups of monoid algebras
设$A\subset B$是交换约化环的扩张，$M\subset N$是正交换可消无挠幺半群的扩张.证明了$A$在$B$中是次整闭的，$M$在$N$中是次整闭的当且仅当$B$的可逆$A$ -子模群同构于$B[N]$的可逆$A[M]$ -子模群.在$M=N$的情况下，我们证明了相同的假设，环的扩张是减少。
Lattice homology of integrally closed submodules and Artin algebras
本文研究晶格同调在积分闭合子模和Artin代数中的应用，证明了当两个扩展离散估值实现实现同一子模时，晶格同调模块同构且欧拉特征等于商模的维数。
Homological dimensions of Burch ideals, submodules and quotients
本文利用Burch理想、Burch子模及其商的同调不变量刻画局部环，并给出关于复杂度、曲率、Gorenstein性质与Cohen-Macaulay维数的判定结果。
${\rm cl}$-prereductions, ${\rm i}$-postexpansions, and related structures
在Kemp，Ratliff和Shah的工作基础上，对任意定义在诺特环上的模类上的闭包${\rm cl}$，我们发展了子模的${\rm cl}$ -预约化理论.对于一类$R$ -模上的任意内部${\rm i}$，我们还发展了{ \rm i}-后扩张的理论.利用Epstein，R.G.和Vassilev，我们表明，如果${\rm i}$是内部对偶${\rm cl}$，那么这些概念实际上是对偶的。我们考虑${\rm cl}$ -precore（${\rm i}$ -postcore），子模的所有${\rm cl}$ -prereductions（${\rm i}$ -postexpansions）的交集，以及子模的所有${\rm cl}$-prereductions（${\rm i}$-postexpansions）的和-${\rm cl}$-prehull（${\rm i}$ -posthull），并给出与${\rm cl}$ -core（${\rm i}$ -hull）的比较.进一步给出了诺特环的${\rm cl}$ -闭理想的${\rm cl}$ -预约化的分类，其中${\rm cl}$是具有特殊部分的闭包.
Über die von einem Ideal $I \subset R$ erzeugten $R$-Moduln II
设$(R, \mathfrak m)$是交换Noether局部环，$I$是$R$的理想.令$\mathcal{P}$是所有由$I$生成的$R$ -模块$M$的类（即存在满态$I^{(Λ)} \twoheadrightarrow M$），令$\mathcal{S}$是所有由$I^{\circ}$共生成的$R$ -模块$N$的类（即存在具有$I^{\circ} = \operatorname{Hom}_R(I,E)$的单态$N \hookrightarrow (I^{\circ})^Λ$）.我们给出了$\mathcal{P}$和$\mathcal{S}$中所有内射模和平坦模的完整刻画。我们证明了$(\mathcal{S},\mathcal{P})$在Mehdi-Prest（2015）的意义下形成对偶对，并且$\mathcal{P}$在纯子模下总是闭的。我们确定了所有理想$I$，$\mathcal{P}$在子模下是封闭的，$\mathcal{S}$在因子模下是封闭的，$\mathcal{P}$（分别是）在子模下是封闭的。$\mathcal{S}$）在组扩展下关闭。在最后一节中，我们检查所有$R$ -模块$M$的子模块$γ(M) = \sum\{U \subset M \,|\, U \in \mathcal{P}\}$和$κ(M) = \bigcap \{V \subset M \,|\…
Translation invariant linear spaces of polynomials
一个多项式集合$M$称为$\mathbb{C} [x_1, \dots, x_n ]$的{ \it子模}，如果$M$是$\mathbb{C} [x_1, \dots, x_n ]$的一个平移不变线性子空间.我们提出了一个描述的子模块的$\mathbb{C} [x,y]$的一种特殊类型的子模块。我们说$\mathbb{C} [x,y]$的子模$M$是一个{ \it L-阶模} $s$，如果，每当$F(x,y)=\sum_{n=0}^N f_n (x) \cdot y^n \in M$使得$f_0 =\ldots = f_{s-1}=0$，则$F=0$。我们证明了$\mathbb{C} [x,y]$的真子模是$M_d +M$的和，其中$M_d =\{ F\in \mathbb{C} [x,y] \colon \textit{deg}_x F <d\}$和$M$是L-模.给出了由复数序列参数化的L-模的一个构造。一个子模$M\subseteq \mathbb{C} [x_1, \dots, x_n ]$是{ \it可分解}的，如果它是$M$的n个真子模之和。否则，$M$是{ \it不可分解}。很容易看出，$\mathbb{C} [x_1, \dots, x_n]$的每个子模都是许多不可分解子模的和。在$\mathbb{C} [x,y]$中，每个不可分解的子模要么是L-模，要么对于某个$d…
Hilbert's Nullstellensatz and the real Nullstellensatz for modules and sheaves
该研究证明了适用于有限生成模子模及凝聚层的希尔伯特零点定理与实零点定理的几何部分，补充了此前关于半素子模结构的结果，还建立了相关性质与局部化的相容性。
Direct limits of Gorenstein injective modules
本文研究Gorenstein内射模类对任意正向极限封闭的条件，证明其与左noetherian性、特征模Gorenstein平坦性、覆盖性及纯子模或纯商封闭性等价。
Stratifications of schemes using tangent vector fields
设$X/k$是特征为0的域$k$上的Noether概型，使得其闭点处的剩余域是$k$的代数扩张.设${\mathfrak g}_{X/k}\subset T_{X/k}$是切层的一个在李括号下闭的${\mathcal O}_{X}$ -子模.我们构造了一个分层的封闭点的子集在$X$由局部封闭的子集，由${\mathfrak g}_{X/k}$，其中${\mathfrak g}_{X/k}$传递作用。
Subintegrality and ideal class groups of monoid algebras
本文研究幺半群代数扩张中的子整性，证明在含ℤ的环上子整与弱子整等价，并给出商环子整闭性与可逆子模理想类群同构之间的等价刻画。
New Characterizations of $S$-coherent rings
本文引入并研究了$S$ -Mittag-Leffler模关于所有平坦模的类$S$ - $\mathcal{F}$ -ML.证明了环$R$是$S$ -凝聚的当且仅当$S$ - $\mathcal{F}$ -ML在子模下闭.作为应用，我们得到Chase定理的$S$ -版本：环$R$是$S$ -凝聚的当且仅当$R$的直积是$S$ -平坦的当且仅当平坦$R$ -模的直积是$S$ -平坦的.因此，我们对D. Bennis和M. El Hajoui [3].
Direct products of Gorenstein flat modules over coherent rings
本文构造了零Krull维数的交换凝聚局部代数及相关模，否定回答了右凝聚环上Gorenstein平坦模是否对直积封闭的问题，给出了相关等价条件并揭示了抽象初等类的性质。
Nilpotent modules over polynomial rings
设$\mathbb K$是特征为零的代数闭域，$\mathbb K[X]$是以$n$为变量的多项式环.向量空间$T_n = \mathbb K[X]$是一个$\mathbb K[X]$ -模块，其动作$x_i \cdot v = v_{x_i}'$用于$v \in T_n$。$T_n$的每个有限维子模$V$都是幂零的，即每个常数项为零的多项式$f \in \mathbb K[X]$都幂零地作用在$V.$上。我们证明了$\mathbb K$上每个幂零的$\mathbb K[X]$ -模$V$都可以同构地嵌入到模$T_n$中。给出了模$T_n$及其有限维单项式子模的自同构群，并对具有一维基柱的（非幂零）有限维$\mathbb K[X]$ -模得到了类似的结果.
Telescopic, Multiplicative, and Rational Extensions of Summations
求和是从${\rm R}[[σ]]$的子模到${\rm R}$或另一个环的移位不变${\rm R}$ -模同态。[11]形式化了一种通过伸缩将求和扩展到更大域的方法。在本文中，我们重新伸缩，我们研究乘法封闭的求和（如通常的总和收敛级数），本身不是乘法封闭的，我们研究合理的扩展作为一个推广的伸缩。
IE-closed subcategories of commutative rings are torsion-free classes
本文证明交换noetheian环上有限生成模范畴中在像和扩张下封闭的子范畴（IE闭子范畴）必在子模下封闭且为挠自由类，并完全刻画了其成为Serre子范畴的右noetherian环条件。
The intersection homology D-module in finite characteristic
对于光滑复簇X的余维数为c的闭正规子簇Y，Brylinski和Kashiwara证明了局部上同调模H^c_Y（X，O_X）包含唯一的单D_X-子模，记为L（Y，X）.本文对定义在有限特征的完满域上的X和Y给出了类似的结果。此外，还结合紧闭包理论，给出了L1（Y，X）的一个局部构造。从这个构造中我们得到了H^c_Y（X）的D_X-单性的一个判据。
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