Euclidean rings of $S$-integers in complex quadratic fields
本文给出了复二次域上$S$ -整数环关于$S$ -范数是否欧氏的一个初等方法.
2022-03-29 math.NT
Representing rational integers by generalized quadratic forms over quadratic fields
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究二次域上值域为有理整数的广义二次型，证明实二次域中存在正定二元广义二次型可表示所有正整数，并证明仅有有限多个二次域存在三元广义二次型具有此类性质。
2026-03-21 math.NT
Counting solutions to quadratic forms in eight prime variables of off-diagonal rank $3$
University of Oxford（牛津大学）
本文延续前人对素变量二次型解的计数研究，针对非对角秩为3的八个素变量非退化二次型，开展解的数量计数工作。
2026-09-01 math.CO math.NT
Representations of integers by certain $2k$-ary quadratic forms
假设$k$是正整数。在这项工作中，我们建立了整数的二次型$$ x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}+l\left(x_{k+1}^{2}+\cdots+x_{2k}^{2}\right) $$的$l\in\{2,4\}$的表示数的公式。
2017-01-31 math.NT
Representations of an integer by some quaternary and octonary quadratic forms
本文考虑了某些四元二次型和八元二次型，并利用模形式理论，得到了这些二次型表示正整数个数的公式。
2017-08-05 math.NT
A Version of the Circle Method for the Representation of Integers by Quadratic Forms
本文应用带高斯权的圆方法，得到了非零整数的至少四元非奇异二次型表示的密度的渐近公式.
2009-05-08 math.NT
On the representation of integers by binary quadratic forms
本文证明了对于给定的整数系数不可约二元二次型$f(x,y)$，只要对整数$x,y,u,v$有$f(x,y) = f(u,v)$，就存在$f$的有理自同构，它将$(x,y)$发送给$(u,v)$ .
2017-04-17 math.NT
Small-span Hermitian matrices over quadratic integer rings
在小跨距（跨距小于4）整数对称矩阵的特征多项式分类的基础上，得到了二次整数环上埃尔米特矩阵的特征多项式的小跨距多项式分类.以二次整数环为基，得到了一些低次小跨度多项式作为特征多项式，这些多项式不是任何整数对称矩阵的特征（或极小）多项式.
2013-06-10 math.NT
Some results on integer solutions of quadratic polynomials in two variables
我们使用我们以前的工作中的思想来获得一些定理，这些定理将允许我们获得表示自然数的二元二次多项式的整数解
2020-06-04 math.NT
Cyclotomic matrices over real quadratic integer rings
我们分类所有分圆矩阵的实二次整数环，我们表明，这种分类是相同的分类分圆矩阵的compositum所有的实二次整数环。此外，我们列举了一类相关的对称矩阵;这些矩阵的特征值包含在区间[-2，2]内，但其特征多项式不在Z[x]内。
2012-07-13 math.NT
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
2024-02-09 math.NT
On the representation of integers by quadratic forms
设Q为整系数非奇异二次型。当Q是不定的时，我们给出了方程Q=0的最小非平凡积分解的新的上界。当Q是正定的，我们提供了改进的上界的最小正整数k，使方程Q=k是不溶于整数，尽管是可溶模每个素数的权力。
2006-12-12 math.NT
Polynomials Consisting of Quadratic Factors with Roots Modulo Any Positive Integer
本文给出了一类多项式的无穷族，它们的根模为每一个正整数，但没有有理根。这个族中的每个多项式都是由一元二次因子组成的，没有线性项。
2021-02-17 math.NT
Additive structure of totally positive quadratic integers
设$K=\mathbb Q(\sqrt D)$是一个实二次域.我们考虑$K$中的全正整数的加法半群$\mathcal O_K^+(+)$，确定了它的生成元（不可分解的整数）和关系，它们可以用$\sqrt D$的周期连分数很好地描述.我们还刻画了$K$中所有可唯一分解的整数，并估计了它们的范数。利用这些结果，我们证明了半群$\mathcal O_K^+(+)$完全决定实二次域$K$ .
2019-09-10 math.NT
Rational integers as sums of units -- the quadratic case
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文研究了二次数域中自然数作为k个单位和的渐进行为，解决了Jarden和Narkiewicz在2007年提出的问题。
2026-01-14 math.NT
Quadratic irrational integers with partly prescribed continued fraction expansion
我们概括的言论欧拉和佩龙解释如何详细说明所有二次无理整数的对称部分期间，其连分数扩大开始与规定的部分不合理。函数字段的情况尤其引人注目。
2004-10-31 math.NT
Values of binary quadratic forms at integer points and Schmidt games
证明了对任意实数可数集$A$，使得$Q(\mathbb{Z}^2)$的闭包与$A$不相交的二元不定二次型集$Q$具有满豪斯多夫维数.
2013-11-07 math.NT
Representations of integers by certain positive definite binary quadratic forms
本文证明了Borwein和Choi关于无平方数整数N的n=x^2+Ny^2的解的个数的平方的估计的猜想的一部分。
2004-12-13 math.NT
The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials
一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。
2015-05-01 math.NT
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
2007-04-10 math.NT
Notes on the Quadratic Integers and Real Quadratic Number Fields
证明了当考虑一个范数固定的实二次整数$ξ$时，域$\mathbb{Q}(ξ) = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的基本单位$\varepsilon_d$几乎总是满足$\log \varepsilon_d \gg (\log d)^2$.通过二次序列给出了一个更一般的集合，包含所有的根$d$的字段的一个简单的建设，并估计这种替代的效率明确。当$μ= -1$时，该构造给出了负佩尔方程$X^2 - d Y^2 = -1$（或更一般地$X^2 - D Y^2 = -4$）可解的所有$d$。当$μ$是素数时，它给出了所有的实二次域，其中位于$μ$上的素理想是主理想。
2015-11-26 math.NT
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
2014-05-08 math.NT
Integer matrix factorisations, superalgebras and the quadratic form obstruction
我们确定和分析的障碍因式分解成产品的整数矩阵$N^T N$或$N^2$的矩阵与理性或整数条目。障碍物作为具有整数系数的二次型出现，并提出了这种形式的离散范围的问题。它们是通过考虑超代数上的矩阵分解得到的。我们进一步得到了一个公式的行列式的方阵的这些矩阵分解，以及确定一个$\it co-Latin$对称空间的伴随。
2021-03-06 math.NT
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
2014-03-18 math.NT
Norms of indecomposable integers in real quadratic fields
研究实二次域$\mathbb Q(\sqrt D)$中的完全正的不可加分解整数.我们估计一个不可分解的整数的范数的大小，通过将其表示为$u_i^{-1}$中的幂级数，其中$\sqrt D$具有周期连分数展开式$[u_0, u_1, u_2, \dots, u_{s-1}, 2u_0, u_1, u_2, \dots]$。这使我们能够反驳Jang-Kim [JK]关于不可分解整数的范数的最大大小的猜想。
2016-03-29 math.NT
Simultaneous Integer Values of Pairs of Quadratic Forms
我们证明了一对整二次型在5个或更多的变量将同时表示“几乎所有”的整数对，满足必要的局部条件，只要形式满足适当的非奇异性条件。特别是，如果明显的局部条件成立，这些形式同时达到素值。证明使用圆的方法，特别是开拓者的Kloosterman细化的二维版本。
2013-09-26 math.NT
Cubic residuacity of real quadratic integers
UCSD（加州大学圣地亚哥分校）
针对带三次范数的实二次整数，本文确定相关型类群中表示对应素数的所有类，证明了2025年相关论文提出的一个特例猜想。
2025-11-16 math.NT
Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach
1957年，N.C.安克尼利用数的几何提供了三平方定理的新证明。本文推广了Ankeny的技巧，证明了哪些整数可用$x^2 + 2y^2 + 2z^2$和$x^2 + y^2 + 2z^2$表示，并给出了整数可用$x^2+y^2+3z^2$和$x^2 + y^2 + 7z^2$表示的充分条件.
2015-09-09 math.NT
Lehmer's conjecture for matrices over the ring of integers of some imaginary quadratic fields
设$R=\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{d})}$为$d<0$，无平方，$d\neq -1,-3$。证明了关于$R$ -矩阵的相关互反多项式的Lehmer猜想，即任何非分圆$R$ -矩阵至少有$λ_0=1.176...$的Mahler测度.
2011-03-23 math.NT
The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms
Stanford University（斯坦福大学）；University of Toronto（多伦多大学）
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
2026-08-03 math.NT
Integers in number systems with positive and negative quadratic Pisot base
我们考虑了以$β$和$-β$为基的计数系统，对于二次Pisot数$β$，着重比较了以$β$为基的整数展开数的集合$\Z_β$和$\Z_{-β}$的组合结构. $-β$。我们的主要结果是比较语言的无限词$u_β$和$u_{-β}$编码顺序之间的距离连续$β$ -和$(-β)$ -整数。结果表明，对于$x^2-mx-m$的一类根$β$，语言一致，而对于其他二次皮索数，$u_β$的语言只能与$u_{-β}$的形态像的语言相识别。我们还研究了$(-β)$ -整数的群结构。
2013-02-19 math.NT
An algebraic approach to count the number of representations of an integer by the quadratic form $x^2+ay^2$ for certain values of $a$
通过考虑$\mathbb{Q}(\sqrt{-a})$中整数环元素的范数，给出了计算$x^2+ay^2=n$型丢番图方程整数解个数的代数方法，其中$a$是Heegner数或$a=27$ .
2022-08-04 math.NT
On indefinite and potentially universal quadratic forms over number fields
数域$k$允许二元整二次型局部表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数大于1.在这种情况下，在$k$上只有1000类这样的二元整二次型。数域$k$允许一个三元整二次型表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数是偶数。在这种情况下，在$k$上有无穷多类这样的三元整二次型。数域$k$上的一个具有多个变量的整二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$k$的所有整数当且仅当这个二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$1$。
2021-11-01 math.NT
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
2011-05-23 math.NT
Small representations of integers by integral quadratic forms
给定一个数域上的迷向二次型，它取一个值$t$，我们研究这个值被取的点的分布。建立在以前的工作有关的分布小高度零的二次型，我们产生的高度上的点以外的一些代数集在二次空间中的形式假定值$t$。我们的高度界限是明确的形式，空间，代数集和值$t$的高度。
2019-03-12 math.NT
Quadratic forms representing all odd positive integers
本文研究了表示所有正奇整数的正定整数值二次型的分类问题。Kaplansky考虑了这个问题的三元形式，给出了一个23个候选人的列表，并证明其中19个代表所有的积极赔率。(Jagy第20集第20集（）假设其余三种形式表示所有的正几率，我们证明了一个任意的，正定二次型表示所有的正几率当且仅当它表示从1到451的奇数。这个结果类似于Bhargava和Hanke著名的290定理。此外，我们证明了这三个剩余的三元表示所有正奇整数，假设广义黎曼假设。这一结果是由一种新的解析方法来确定具有基本判别式的整数值四次二次型$Q$的尖点常数。该方法基于Rankin-Selberg $L$ -函数的解析性质，证明了若$Q$是具有基本判别式的四元形式，则$Q(\vec{x}) = n$无整数解的最大局部表示整数$n$是$O(D^{2 + ε})$ .
2013-11-06 math.NT
On the Power of Integers and Conductors of Quadratic Fields
我们考虑二次域$ \mathbb{Q} (\sqrt{d}$ $)$的整数$α$，其中$d\in \Z$是无平方的，以及$d\equiv 1,2,3 \pmod 4$。设PDMATHAMR是一个奇素数。使用嵌入到$ \text{GL}(2,\mathbb{Z})$，我们得到的第一个$ν\in\N$的界限，使$α^ν\equiv 1\pmod p.$对于导体$f$，我们然后研究的第一个整数$n=n(f)$，使$α^n\in\mathcal{O}_{f}$。我们得到了$n(f)$和$n(fp^{k})$的界。最有趣的情况是$α$是$ \mathbb{Q} (\sqrt{d}$ $)$的基本单位。
2012-11-30 math.NT
The rank of new regular quadratic forms
一个（正定和积分）二次型$f$称为正则的，如果它表示所有局部表示的整数。已知直到等距的正则三元二次型只有200多种。然而，对于任何大于或等于$4$的整数$n$，秩为$n$的正则二次型存在无穷多个等价类。正则二次型$f$称为新的，如果不存在$f$的真子型$g$，使得由$g$表示的整数集合等于由$f$表示的整数集合。本文证明了任何新的正则二次型的秩都有一个绝对常数的界。
2021-11-19 math.NT
Completely $p$-primitive binary quadratic forms
令$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$为具有整数系数的二元二次型。对于一个素数$p$不除$f$的判别式，我们说$f$是完全$p$ -本原的，如果对于任何非零整数$N$，丢番图方程$f(x,y)=N$总是有一个整数解$(x,y)=(m,n)$，只要它有一个整数解，就有$(m,n,p)=1$。本文研究了完全$p$ -本原二元二次型的各种性质.特别地，我们给出了二元二次型$f$是完全$p$ -本原的一个充要条件。
2017-09-07 math.NT
Average estimates and sign change of Fourier coefficients of cusp forms at integers represented by binary quadratic form of fixed discriminant
在这篇文章中，我们建立了一个平均行为的归一化傅里叶系数的Hecke本征形支持在整数表示的任何原始整数正定二元二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$。我们还获得了一个定量的结果的序列的归一化的傅里叶系数$λ_{f}(n)$的Hecke本征形式$f$的$n$是由任何原始的整数正定二进制二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$在间隔$(x,2x]$，足够大的$x$的符号变化的数量。
2022-04-18 math.NT
Tight universal quadratic forms
对于正整数$n$，令$\mathcal T(n)$为大于或等于$n$的所有整数的集合。一个整二次型$f$称为紧$\mathcal T(n)$ -泛的，如果由$f$表示的非零整数的集合正好是$\mathcal T(n)$。所有紧$\mathcal T(n)$ -泛二次型上的最小可能秩由$t(n)$定义。在这篇文章中，我们找到了所有的紧$\mathcal T(n)$ -泛对角二次型。我们还证明了$t(n) \in Ω(\log_2(n)) \cap O(\sqrt{n})$ .对于某个小整数$n$，将提供$t(n)$的明确下限和上界。
2021-04-06 math.NT
Cyclotomic Matrices and Graphs over the ring of integers of some imaginary quadratic fields
对于{-2，-7，-11，-15\}中的每个d，我们确定所有特征值在区间[-2，2]中的Hermitian $\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{d})}$ -矩阵.为了做到这一点，我们一般化充电签署图$\mathcal{L}$ -图适当的有限集$\mathcal{L}$，并分类所有$\mathcal{L}$ -图满足相同的特征值约束。我们发现，在整数的情况下，任何这样的矩阵/图包含在一个最大的例子与所有的特征值$\pm2$。
2011-02-08 math.NT
Computing L-Functions of Quadratic Characters at Negative Integers
我们调查了一些不同的方法来计算$L(χ,1-k)$的狄利克雷字符$χ$，特别强调二次字符。主要结论是，当$k$不太大（例如$k\le100$）时，最好的方法是使用半积分权的Eisenstein级数，而当$k$很大时，最好的方法是使用全函数方程，除非$χ$的导体真的很大，在这种情况下，前一种方法再次占上风。
2021-01-25 math.NT
Indecomposable integers in real quadratic fields
2016年，Jang和Kim提出了一个关于实二次数域$\mathbb{Q} \left( \sqrt{D} \right)$中不可分解整数的范数的猜想，其中$D>1$是无平方整数。他们的猜想后来被卡拉证明为$D \equiv 2 \bmod 4$。我们调查这样的不可分解的整数更详细。特别是，我们发现最小的$D$在每个同余类$D \equiv 1,2,3 \bmod 4$，提供了一个反例的张-金猜想，提供无限的家庭，这样的反例，并状态的张-金猜想的改进版本。最后，我们证明了一个稍微弱一点的版本，我们的改进猜想是正确的数量级，显示张金猜想是错误的，最多$O \left( \sqrt{D} \right)$。
2019-07-01 math.NT
On the size of Diophantine $m$-tuples in imaginary quadratic number rings
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。最近证明了在正整数中不存在丢番图五元组。我们在虚二次域的整数环中研究了同样的问题。通过使用间隙原理证明丢番图逼近，我们表明，$m\leqslant 42$。与正整数中类似结果的证明相比，我们的证明相对简单。
2018-07-05 math.NT
On the representation of an imaginary quadratic integer in two different bases
本文研究虚二次数域中两个乘法独立规范数系下代数整数的展开，给出了两种展开非零数字个数之和随元素范数增长的有效下界，推广了Stewart关于整数表示的结果。
2023-11-29 math.NT
Integers of the Form $ax^2+bxy+cy^2$
给出了正定二元二次型$ax^2+bxy+cy^2$表示的整数的一个特征.为了证明主要定理，我们在虚二次域中定义了二阶“相对导体”。然后给出了虚二次域中各阶真理想分解的一个刻画。此外，我们提出了一些有趣的例子的主要定理。
2020-02-19 math.NT
Number of Non-negative Integer Solutions of the Equation ax+by+cz=n and its Relation with Quadratic Residues
2000年，A. Tripathi使用母函数获得了方程ax + by = n的非负解（x，y）的数量公式，其中a、b和n均为正整数。我们把这个过程推广到方程ax + by + cz = n的解的个数。这个公式使我们在方程ax + by + cz = n的解的个数和二次剩余之间找到了令人惊讶的联系。作为我们工作的结果，我们能够证明高斯和西尔维斯特在十九世纪的两个基本结果之间的等价性，这两个结果通常被认为是独立的。
2019-09-23 math.NT
A lower bound for the rank of a universal quadratic form with integer coefficients in a totally real number field
我们证明了，如果$K$是一个单演的，原始的，全实数域，其中包含每个签名的单位，那么存在一个下界的秩定义在$K$的整数泛二次型。特别是，我们扩展了Blomer和Kala的工作，证明了存在无穷多个完全实立方数域，它们没有一个给定秩的通用二次型。对于单位范数为负的实二次数域，证明了泛二次型的最小秩随数域判别式的增长而趋于无穷大。这些结果来自于对交错多项式的研究。具体来说，我们表明，只有1000多个不可约的首一多项式有关的原始数字段的一个给定的程度，有界数量的交错多项式。
2018-08-04 math.NT
On binary quadratic forms with semigroup property
一个二次型f称为具有半群性质，如果它在整数格上的点的值在乘法下形成一个半群。Arnold的一个问题是用半群性质描述所有的二进制整数二次型。如果存在一个整数双线性映射s，使得对于整数2维格中的所有向量x和y，f（s（x，y））=f（x）f（y），则形式f具有半群性质.我们给出了具有上述性质的所有对（f，s）的显式描述。我们不知道有半群性质的形式的任何其他例子。
2005-11-18 math.NT
Integers represented by positive-definite quadratic forms and Petersson inner products
设$Q$是一个正定四元整系数二次型型.本文研究了最大正整数$n$的上界问题，该正整数局部可表示为$Q$但不可表示。假设$n$相对于$Q$的格拉姆矩阵的行列式$D(Q)$互素，我们证明了只要\[ n \gg \max \{ N(Q)^{3/2 + ε} D(Q)^{5/4 + ε}, N(Q)^{2 + ε} D(Q)^{1 + ε} \}. \]这里$N(Q)$是$Q$的水平，就可以表示$n$.我们给出了三个其他的边界下举行连续较弱的局部条件$n$。这些结果证明了边界的Petersson范数的尖部的theta系列，这是完成使用一个明确的公式，由于Scheithauer的韦尔表示。
2018-02-09 math.NT
Primitively universal quaternary quadratic forms
一个（正定和积分）二次型$f$如果表示所有正整数，则称为$\textit{universal}$;如果连续表示所有正整数，则称为$\textit{primitively universal}$。如果$f$连续地表示几乎所有的正整数，我们也说它是$\textit{primitively almost universal}$。Conway和Schneeberger证明了（见[1]）泛四元二次型的$204$等价类的存在性。最近，Earnest和Gunawardana在[4]中证明了在泛四元二次型的$204$等价类中，确实存在连续几乎泛四元二次型的$152$等价类.本文证明了严格泛四元二次型的$107$等价类的存在性。我们还确定了一组所有的正整数，不表示由每个剩余的$152-107=45$等价类的几乎通用的四元二次型。
2022-02-28 math.NT
Representations of integers by systems of three quadratic forms
这是经典的已知，圆的方法产生一个渐近的数量表示的元组的整数$(n_1,\ldots,n_R)$由一个系统的二次型$Q_1,\ldots, Q_R$在$k$变量，只要$k$是足够大;减少所需的变量数量仍然是一个重要的开放问题。在这项工作中，我们考虑的情况下，3形式和改进的经典结果减少所需的变量的数量$k \geq 10$“几乎所有”元组，适当的非奇异性假设下的形式$Q_1,Q_2,Q_3$。为了实现这一点，我们开发了一个三维模拟Kloosterman的圆的方法，特别是利用适当的系统的三个二次型的几何性质。
2017-07-01 math.NT
Statistics of $K$-groups modulo $p$ for the ring of integers of a varying quadratic number field
本文针对变化的二次域整数环，猜想K群模p挠子群的分布，并证明3-挠子群平均大小符合该猜想。
2025-08-22 math.NT
