Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices
我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。
2015-12-21 math.NT
Sums of Quadratic residues and nonresidues
众所周知，当素数$p$全等于1模4时，二次剩余之和等于二次非剩余之和。本文对$p$全等于3模4的情形给出了类似的结果。
2015-12-02 math.NT
The largest cycles consist by the quadratic residues and Fermat primes
本文研究了由模素数的二次剩余构成的最大圈。我们给出了一些关于圈的最大长度的公式。特别地，给出了模Fermat素数的计算公式。
2016-01-27 math.NT
On the density of primes with a set of quadratic residues or non-residues in given arithmetic progression
令$\mathcal{A}$表示正整数的等差数列的有限集合，并且令$s \geq 2$是整数。如果$\mathcal{A}$的基数至少为2，并且$U$是从$\mathcal{A}$的每个元素取一定长度的等差数列$s$所形成的并集，则我们计算所有素数集合$p$的渐近密度，使得$U$是$p$的二次剩余（分别为二次非剩余）的集合。
2013-07-25 math.NT
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
2003-05-21 math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
Two_Generalizations_for_Quadratic_Residue_Codes_over_Finite_Fields
众所周知，有限域上的二次剩余码由于其较高的最小距离而成为一类有趣的循环码。设$g$是正整数，$p,p_{1},\ldots, p_{g}$是不同的奇素数，本文将长度为$p$的二次剩余码的构造推广为长度为$n=p_{1}\cdots p_{g}$的二次剩余码，并推广为有限域上长度为$p$的$m$次剩余码，其中$m\geq 2$是正整数.进一步得到了这类码是自正交码或互补对偶码的一个判别准则，并给出了相应的计数公式。特别地，确定了所有24个四元二次剩余码$[15,8]$的最小距离。
2020-01-07 math.NT
Quadratic Residues and Non-residues in Arithmetic Progression
设S是非负整数的有限非空子集的无限集。如果p是奇素数，令c（p）表示集合{T { \in } S：T { \subseteq } {1，.，p-1}，T是p}的一组二次剩余（分别为非剩余）。当S由所有非负整数的等差数列的集合以各种方式构造时，我们确定c（p）的尖锐渐近行为为p { \to } +{ \infty }.本文还建立了这一结果的推广和变化，并讨论了与这些结果有关的一些值得进一步研究的问题。
2012-04-17 math.NT
Quadratic Non-residues in Short Intervals
我们使用的Burgess界和组合筛获得的素数$p$在一个二元区间$[Q,2Q]$，其中一个给定的区间$[u+1,u+ψ(Q)]$不包含一个二次非剩余模$p$的数量上界。对于任何函数$ψ(Q)\to\infty$，该界都是非平凡的，如$Q\to\infty$。这是一个模拟的最小的二次非剩余模$p$上平均素数$p$，这对应于选择$u=0$的公知的估计。
2013-11-27 math.NT
Quadratic Residues and Non-Residues: Selected Topics
数论作为一门连贯的数学学科始于费马在1630年至1640年的十年中的工作，但现代数论，即从整数的基本性质出发对这门学科进行系统的和数学上严格的发展，始于1801年，当时出现了具有里程碑意义的文本高斯，算术研究。一个主要部分的研究涉及二次剩余和nonresidues。从高斯的这些基本贡献开始，对二次剩余和非剩余的研究，随后直接导致了许多关键的思想和技术，这些思想和技术在今天的数论中随处可见，这些讲座的主要目标是将这项研究作为一个窗口，通过它来观察这些思想和技术的发展。为了达到这个目标，我们将使用初等数论、解析数论和组合数论的方法，以及代数数理论的方法。
2016-10-21 math.NT
The Number of Parts in Certain Residue Classes of Integer Partitions
我们使用圆的方法来推导渐近公式的功能有关的部分的分区，特别是剩余类的数量。
2015-09-30 math.NT
The distribution of spacings between quadratic residues, II
研究了当q的素除子个数趋于无穷大时，模q的平方间距的分布。Kurlberg和Rudnick在较早的论文中证明了无平方根q的间距分布是泊松分布，本文将这一结果推广到任意q。
1998-12-08 math.NT
On the number of parts of integer partitions lying in given residue classes
改进以前的工作的主题，我们使用赖特的圆的方法来获得一个渐近公式的部分在所有分区的整数是在任何给定的等差数列。
2016-04-04 math.NT
Conditional bounds for the least quadratic non-residue and related problems
在广义黎曼假设的条件下，研究了数论中几个有趣量的显式和理论上的界。具体地说，我们改进了现有的显式界的最小二次非剩余和最小素数的等差数列。我们还改进了经典的条件界的$L$ -功能在$s=1$的Littlewood。特别地，我们推导出了$L(1,χ)$和$ζ(1+it)$的明确的上界和下界，并推导出了虚二次域的类数的明确的界。最后，我们改进了最小二次非剩余，更一般地说，最小$k$次幂非剩余的最佳已知的理论界。
2016-12-08 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Proof of Existence of Integers Excluding Two Residue Values in a Specific Range
本文利用解析数论渐近方法，证明了在$[p_k^2, p_{k+1}^2]$区间内存在排除两个模素数剩余值的整数，并给出了被排除整数比例的界限，深化了对模系统覆盖密度的理解。
2025-01-27 math.NT
Products of Small Integers in Residue Classes and Additive Properties of Fermat Quotients
我们表明，对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的立方自由$q$，任何减少剩余类模$q$可以表示为从间隔$[1, q^{1/4e^{1/2} + \varepsilon}]$的$14$整数的产品。的间隔的长度是在下极限什么是可能的最小的二次nonresidue上的Burgess界得到改善之前。我们还考虑了这一结果的几个变化，并给出了应用费马定理。
2015-05-23 math.NT
Applications of Lerch's theorem and permutations concerning quadratic residues
设$p$为奇素数。对于每一个具有$p\nmid a$的整数$a$，著名的Zolotarev引理说Legendre符号$(\frac{a}{p})$是$\Z/p\Z$的置换的符号，该置换通过乘以$a$而导出。弗罗贝纽斯将佐洛塔列夫的结果推广到了奇数的情形。在那之后，Lerch将这些推广到所有正整数。本文探讨了Lerch结果的一些应用。例如，我们研究涉及任意$k$次幂剩余模$p$和原根的幂$p$的置换。最后讨论了二次剩余模$p$的置换问题。特别地，我们确认了Sun提出的一些假设。
2019-02-08 math.NT
Quadratic non-residues and non-primitive roots satisfying a coprimality condition
令$q\geq 1$为任意整数，令$ ε\in [\frac{1}{11}, \frac{1}{2})$为给定的实数。本文证明了对所有满足$$ p\equiv 1\pmod{q}, \quad \log\log p > \frac{\log 6.83}{\frac{1}{2}-ε} \mbox{ and } \frac{ϕ(p-1)}{p-1} \leq \frac{1}{2} - ε, $$的素数$p$，存在一个二次非剩余$g$，它不是模$p$的原根，使得$gcd\left(g, \frac{p-1}{q}\right) = 1$ .
2018-09-13 math.NT
Quadratic residues and difference sets
Sarkozy推测，除了有限多个例外，模素数$p$的二次剩余集不能表示为具有非单例集$A,B\subset F_p$的和集$\{a+b\colon a\in A, b\in B\}$。这个猜想的$A=B$案例最近由Shkredov建立。类似的差异问题仍然是开放的：它是真的，对所有足够大的素数$p$，二次剩余集模$p$是不是形式$\{a'-a"\colon a',a"\in A,\,a'\ne a"\}$与$A\subset F_p$？我们在这里攻击这个问题的一个可能更容易处理的变体，这是为了证明不存在$A\subset F_p$使得每个二次剩余都有一个\emph{unique}表示为具有$a',a"\in A$的$a'-a"$，并且没有非剩余以这种形式表示。我们给出了一些必要的条件，这样的$A$的存在，涉及的大部分素数的行为划分$p-1$。这些条件使我们能够排除范围$13<p<10^{18}$中的所有素数$p$（素数$p=5$和$p=13$是唯一的例外）。
2015-02-24 math.NT
Residues of quadratic Weyl group multiple Dirichlet series
本文研究有限不可约根系的 Chinta-Gunnells 平均在单短根极除子处的留数，给出由正交根子系平均表示的显式公式，并推广到有理函数域与 Gauss 域上的二次 Weyl 群多重 Dirichlet 级数。
2023-07-12 math.NT
Characterizations of the $d$th-power residue matrices over finite fields
在作者与D. Dummit和H. Kisilevsky的方法，我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，它与$\mathbb{Q}$的二次扩张的复合中素理想的分裂行为有关，并证明了一个刻画这类矩阵的简单准则.然后，我们分析了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。本文利用有限域上的一般$d$次幂剩余符号，构造并研究了这些剩余矩阵的有限域模拟，即“$d$次幂剩余矩阵”.
2018-09-26 math.NT
The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms
Stanford University（斯坦福大学）；University of Toronto（多伦多大学）
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
2026-08-03 math.NT
Fekete polynomials, quadratic residues, and arithmetic
Fekete多项式将每个素数$p$与具有系数$-1$或$1$的多项式相关联，除了为0的常数项。这些系数反映了二次剩余模$p$的分布。这些多项式首先被认为是在19世纪的研究狄利克雷$L$ -功能。在本文中，我们引入了两个密切相关的多项式。然后，我们表示他们的特殊值在几个整数的某些类数和广义伯努利数。此外，我们还研究了这些多项式的分裂域和伽罗瓦群。特别地，我们提出了一个关于这些伽罗瓦群的结构的猜想。
2022-06-16 math.NT
$(1-2u^3)$-constacyclic codes and quadratic residue codes over $\mathbb{F}_{p}[u]/\langle u^4-u\rangle$
设有$u^4=u$的$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}+u^2\mathbb{F}_{p}+u^3\mathbb{F}_{p}$是有限非链环，其中$p$是$1$模$3$的素同余.本文研究了环$\mathcal{R}$上的$(1-2u^3)$ -常循环码，它们与循环码的等价性，并找到了它们的Gray象.为了说明这一点，给出了长度为$p=7$的$2^m$和长度为$p=19$的$3^m$的$(1-2u^3)$ -常循环码的例子。我们还讨论了环$\mathcal{R}$上的二次剩余码及其推广.定义了一个从$\mathcal{R}$到$\mathbb{F}_{p}^4$的Gray映射，该映射保持了自对偶性，并由扩展的二次剩余码给出了$\mathbb{F}_{p}$上的自对偶和形式自对偶码.
2016-03-10 math.NT
Arithmetic Dijkgraaf-Witten invariants for real quadratic fields, quadratic residue graphs, and density formulas
本文针对实二次域整数环，利用素数间的二次剩余图简化了 Hirano 的模 2 算术 Dijkgraaf-Witten 不变量公式，回答了 Ken Ono 的问题，并进一步给出了相应不变量的密度公式。
2023-08-10 math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
Quadratic residues and a new infinity of orders for which a conjecture of Ryser about Circulant Hadamard matrices holds
对任何正整数$k$，使得$k>1,$存在无穷多个奇整数$h$，它们具有$ω(h) =k$不同的素除子因子，使得不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵$H$。此外，我们的主要结果意味着，对所有奇数$h$，对于$1< h < 10^{13}$，不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵
2014-11-09 math.NT
Power residues, digit expansions and relative class numbers
本文综述了模素数幂剩余分布与相对类数的联系，重点在二次和六次幂剩余，狄利克雷类数公式及几何在推广中起关键作用。
2025-09-25 math.NT
Generalized Sato-Tate and quadratic residues
本文证明广义Sato-Tate猜想可用于精确刻画大素数模下连续二次剩余的分布规律。
2025-10-16 math.AG math.NT
A new theorem on quadratic residues modulo primes
令$p>3$为素数，令$(\frac{\cdot}p)$为勒让德符号。设$b\in\mathbb Z$和$\varepsilon\in\{\pm 1\}$。本文主要证明了$$\left|\left\{N_p(a,b):\ 1<a<p\ \text{and}\ \left(\frac ap\right)=\varepsilon\right\}\right|=\frac{3-(\frac{-1}p)}2,$$，其中$N_p(a,b)$是正整数$x<p/2$与$\{x^2+b\}_p>\{ax^2+b\}_p$的个数，而$\{m\}_p$与$m\in\mathbb{Z}$是$m$模$p$的最小非负剩余.
2022-10-06 math.NT
Upperbound for Dimension of Hilbert Cubes contained in the Quadratic Residues of $\mathbb{F_p}$
本文考虑不含任何原根的有限域$\mathbb{F_p}$中Hilbert立方体维数的界问题。我们表明，这样的希尔伯特立方体的尺寸是$O_ε(p^{1/8+ε})$的任何$ε> 0$，匹配什么可以推导出从经典的伯吉斯估计的特殊情况下，希尔伯特立方体是一个等差数列。我们还考虑了避免区间的乘法希尔伯特立方体的维数的双重问题。
2021-08-06 math.NT
When the number of divisors is a quadratic residue
设$q > 2$为素数，定义$λ_q := \left( \fracτ{q} \right)$，其中$τ(n)$为$n$的约数，$\left( \frac{\cdot}{q} \right)$为Legendre符号。当$τ(n)$是模$q$的二次剩余时，则$\left( λ_q \star \mathbf{1} \right) (n)$可以接近于$n$的约数。这是这项工作的目的是比较平均值的功能$λ_q \star \mathbf{1}$的$τ$众所周知的平均顺序。证明表明，结果严重依赖于$\left( \frac{2}{q} \right)$的值。本文还利用某些光滑曲线附近的整数点理论的深刻结果，给出了$q=5$情形下短和的一个界。
2017-01-09 math.NT
$k$th power residue chains of global fields
1974年，Vegh证明了：若$k$是素数，$m$是正整数，则对于无穷多个素数，存在$k$次幂剩余的$m$项置换链[E.Vegh，$k$次幂剩余链，数论杂志，9（1977），179-181].事实上，他的证明表明，$1,2,2^2,...,2^{m-1}$是一个$k$项置换链的$k$次幂剩余的无限多个素数。本文证明了对于任何“可能的”$m$项序列$r_1,r_2,...,r_m$，存在无穷多个素数$p$使其成为$k$次幂剩余模$p$的$m$项置换链，其中$k$是任意正整数[见定理1.2].从我们的结果中，我们看到Vegh定理对任何正整数$k$都成立，而不仅仅是对素数。事实上，我们证明了我们的结果在更一般的整数环$\Z$被替换为任何$S$ -整数环的整体域（即代数数域或代数函数域有限域）。
2010-01-21 math.NT
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
2019-01-29 math.NT
Beurling numbers whose number of prime factors lies in a specified residue class
我们发现$S_{K,c}(x)$的渐近性，$x$以下的正整数的数目，其素因子的数目是$c \; \mathrm{mod}\; K$。我们在Beurling整数的背景下研究这个问题。
2020-02-03 math.NT
Biases Towards the Zero Residue Class for Quadratic Forms in Arithmetic Progressions
本文研究了二元二次型表示整数向零剩余类的偏向，证明该偏向多源于渐近展开的次级项，对未证情形提出猜想，并给出相关分布结果与数值数据。
2023-11-20 math.NT
Beyond the Riemann Hypothesis bounds: A pair-correlation approach to the least prime in arithmetic progression and the smallest quadratic non-residue
Università di Padova（帕多瓦大学）；Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
研究算术级数中最小素数与最小二次非剩余问题，结合广义黎曼假设中零点水平位置与对关联视角，在相关假设下建立更精确估计，为狄利克雷L函数对关联现象与经典问题提供新联系。
2026-07-17 math.NT
Simple arguments on consecutive power residues
通过一些极其简单的论证，我们指出：（1）如果n是模正整数m的最小正k次非剩余，则模m的最大连续k次幂剩余个数小于m/n. (ii)设O_K是二次域$K=Q(\sqrt d)$中的代数整数环，d在{-1，-2，-3，-7，-11}中.然后，对于任何不可约$π\in O_K$和不与$π\barπ-1$互素的正整数k，存在k次幂非剩余$ω\in O_K$模$π$，使得$|ω|<\sqrt{|π|}+0.65$。
2007-02-22 math.NT
Sumsets in quadratic residues
我们把表示二次剩余$R \subseteq \F_p$的所有集合$A \subseteq \F_p$描述为$R=A+A$和$R=A\hat{+} A$。此外，我们考虑的情况下，一个近似相等的$R \approx A+A$和$R \approx A\hat{+} A$，并证明了$A$有一个结构的情况下。
2013-05-17 math.CO math.NT
On residues of rounded shifted fractions with a common numerator
对于任意正整数$n$以及参数$α$和$ν$，我们定义并研究了长度为$n$的$α$ -移位、$ν$ -偏移、floor序列.我们发现确切的和渐近公式的整数在这样一个序列中，是在一个特定的同余类的数量。正如我们将看到的，这些量与计算包含在由圆锥曲线限定的平面区域中的格点的某些问题有关。我们给出了具体的例子，在椭圆区域中包含的格点的数量，并连接到一些著名的整数环，包括高斯整数和爱森斯坦整数。
2022-08-15 math.NT
Classicality of overconvergent Hilbert eigenforms: Case of quadratic residue degree
设$F$是一个二次实数域，$p$是一个在$F$中惰性的有理素数.本文证明了小斜率$F$的过收敛$p$ -adic Hilbert特征形实际上是一个经典的Hilbert模形式.
2011-04-23 math.AG math.NT
A computable formula for the class number of the imaginary quadratic field $Q(\sqrt{-p}), \ p=4n-1$
通过对$p=4n-1.$形式的素数的二次剩余的特殊计数，得到了虚二次域$Q(\sqrt{-p}$的类数$h$的计算公式，并给出了二次剩余和的计算公式.
2021-03-27 math.NT
A conjecture of Sárközy on quadratic residues, II
用$\mathcal{R}_p$表示每个素数$p$的$\mathbf{F}_p$中所有二次剩余的集合。A. Sárközy断言，对于所有足够大的$p$，没有子集$\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq\mathbf{F}_p$与$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|\geqslant2$满足$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{R}_p$。在本文中，我们表明，如果这样的子集$\mathcal{A},\mathcal{B}$确实存在，那么至少有$(\log 2)^{-1}\sqrt p-1.6$元素在$\mathcal{A}+\mathcal{B}$有唯一的表示，应该有\begin{align*} \frac{1}{4}\sqrt{p}< |\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|< 2\sqrt{p}-1. \end{align*}这细化了以前的界限得到的I.E. Shparlinski，I.D. Shkredov和Y.- G. Chen和X.- H.燕.此外，如果$\mathcal{A}+\mathcal{B}$中的元素很少有唯一表示，我们还建立了$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|$和附加能量$E(\mathcal{A},\mathcal{B})$的界限。
2022-02-06 math.NT
A note on Linnik's Theorem on quadratic non-residues
我们提出了一个简短的，自包含的，纯组合证明林尼克定理：对于任何$\varepsilon > 0$存在一个常数$C_\varepsilon$，使任何$N$，有最多$C_\varepsilon$素数$p \leqslant N$，使最小的正二次非剩余模$p$超过$N^\varepsilon$。
2017-12-19 math.CO math.NT
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
2024-07-11 math.NT
Quadratic residue patterns and point counting on K3 surfaces
模素数的二次剩余模式的研究始于19世纪。本文陈述了Lydia Goncharova的最后一个未发表的结果，并将它和以前的结果用代数几何的方法重新表述，证明了这个定理的核心是K3曲面上的点的个数与CM椭圆曲线上的点的个数之间的一个意想不到的关系.
2023-03-06 math.AG math.NT
Elementary Trigonometric Sums related to Quadratic Residues
设p是素数= 3（mod 4）。证明了和T（p）= \sqrt{p} sum_{n=1} ^{（p-1）/2} tan（n^2 π/p）和C（p）= \sqrt{p} sum_{n=1} ^{（p-1）/2} cot（n^2 π/p）的一些优美的数论性质.例如，T（p）等于p乘以集合{1，2，.，p-1};如果p = 3（mod 8），则该数为正，如果p = 7（mod 8），则该数为负。在这个修订版的连接这些和类数h（-p）也进行了讨论。例如，证明了一个非常简单的公式表示h（-p）的方式，上述过剩。参考书目已大大丰富。这篇文章是临时性的。
2012-05-18 math.NT
On the distribution of the order over residue classes
整数g模一个素数p的乘法阶被定义为最小的正整数k，使得g^k与1模p全等。对于固定整数g和d，该阶在剩余类mod d上的分布被认为是p在素数上运行。一个概述给出了最重要的我的结果就这个问题获得（主要）在三个部分系列的文件“关于分布的顺序和指数的g（模p）在剩余类”I-III（出现在杂志的数论，也可从ArXiv）。
2006-08-18 math.NT
The stochasticity parameter of quadratic residues
在V.I. Arnold，我们定义$\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$的子集$U$的随机性参数$S(U)$为$U$中元素间连续距离的平方和.本文研究了模$M$的二次剩余集$R_M$的随机参数.我们提出了一种方法，它允许找到一组正密度的$M$的$S(R_M)$的渐近。特别地，我们得到以下两个推论。用$s(k)=s(k,\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})$表示大小为$k$的所有子集$U\subseteq \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$上的$S(U)$的平均值，它可以被认为是大小为$k$的随机集的随机性参数。令$\mathfrak{S}(R_M)=S(R_M)/s(|R_M|)$。我们证明了a）$\varliminf_{M\to\infty}\mathfrak{S}(R_M)<1<\varlimsup_{M\to\infty}\mathfrak{S}(R_M)$ ; b）集合$\{ M\in \mathbb{N}: \mathfrak{S}(R_M)<1 \}$有正的下密度.
2022-11-16 math.NT
On the residue class distribution of the number of prime divisors of an integer
{ \em Liouville函数}由$\gl(n):=(-1)^{Ω(n)}$定义，其中$Ω(n)$是$n$计数重数的素除子数。设$\z_m:=e^{2πi/m}$是一个本原$m$ -th单位根.作为Liouville函数的推广，我们研究了函数$\gl_{m,k}(n):=\z_m^{kΩ(n)}$ .利用这些函数的性质，我们给出了$Ω(n)$在剩余类之间的一个弱等分布结果.更正式地说，我们表明，对于任何正整数$m$，存在一个$A>0$，使所有的$j=0,1,...,m-1,$，我们有$$#\{n\leq x:Ω(n)\equiv j (\bmod m)\}=\frac{x}{m}+O(\frac{x}{\log^A x}).$$最佳可能的误差项进行了讨论。特别是，我们表明，对于$m>2$的误差项不是$o(x^\ga)$的任何$\ga<1$。
2009-06-05 math.NT
A note on the least totient of a residue class
设$q$为大素数，$a$为任意整数，$ε$为固定的小正数. Friedlander和Shparlinksi \cite{FSh}证明了存在一个正整数$n\ll q^{5/2+ε}$，使得$ϕ(n)$属于剩余类$a \pmod q.$这里，$ϕ(n)$表示欧拉函数。在本文中，我们将这个界改进为$n\ll q^{2+ε}.$
2007-11-19 math.NT
New Residue Arithmetic Based Barrett Algorithms, Part I: Modular Integer Computations
在本文中，我们推导出新的计算技术的剩余数系统（RNS）的基础上巴雷特算法（BA）。工作的重点是一个算法，进行整个计算只使用模算术没有转换到大整数通过孙子剩余定理（CRT）。它还避免了计算上昂贵的缩放舍入操作所需的早期工作。这项工作有两个部分。首先，我们使用两个常数而不是2的幂来建立一个新的BA。其次，描述了基于RNS的BA。一个完整的数学框架，包括证明的各个步骤中的计算和结果的有效性。第三，我们提出了一种基于BA的RNS计算算法。第四，基于RNS的BA被用作用于MoM和MoE的新的基于RNS的算法的基础。我们正在处理的应用程序是在密码学领域。
2016-02-04 math.NT
Sums of squares of integers from residue classes
Korea University（高丽大学）
本文研究了余类模m的整数余类的平方和性质，证明了当余数d≡±1 mod m时，该余类是s-平方universal，并确定了最小的s值。
2026-02-15 math.NT
