AI 中文总结
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
AI 中文摘要
设$\u2113(n)$表示模$n$的最小非平凡既约二次剩余；即$\u2113(n)$表示满足$(r,n)=1$且$r\not\to x^2 \bmod{n}$的最小无平方因子整数$r>1$。我们建立了$\u2113(n)$的近乎最优界，同时从$n$的大小及其素因子个数$\u03c9(n)$两个维度进行刻画。特别地，我们构造了一类模$n$，其$\u2113(n)$出乎意料地大。作为结果的应用，我们证明了具有有界判别式的二元二次型表示所有不超过$N$的正整数的速率的界。
英文摘要
Let $\ell(n)$ denote the least non-trivial reduced quadratic residue modulo $n$; that is, $\ell(n)$ denotes the smallest square-free integer $r>1$ with $(r,n)=1$ and $r\equiv x^2 \bmod {n}$. We establish nearly optimal bounds for $\ell(n)$, both in terms of the magnitude of $n$ and of its number of prime factors $ω(n)$. In particular, we construct moduli $n$ for which $\ell(n)$ is unexpectedly large. As an application of our results, we prove bounds for the rate at which binary quadratic forms with bounded discriminant represent all positive integers up to $N$.
Comments12 pages
