A Version of the Circle Method for the Representation of Integers by Quadratic Forms
Nic Niedermowwe
本文应用带高斯权的圆方法，得到了非零整数的至少四元非奇异二次型表示的密度的渐近公式.
We apply the circle method with a Gaussian weight to obtain an asymptotic formula for the density of representations of non-zero integers by non-singular quadratic forms in at least four variables.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Circumscribed Circles in Integer Geometry
本文研究平面整数几何中有限整数集合的外接圆，提出整数与有理外接圆概念，并给出其存在条件及半径谱。
A proof of the positive density conjecture for integer Apollonian circle packings
有界阿波罗圆填充（英语：Bounded Apollonian circle packing，ACP）是一种古希腊的构造，它是通过在笛卡尔配置的四个相互相切的圆的三角形空隙中重复内接圆而制成的。值得注意的是，如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。本文计算了有界整数ACP $P$中曲率小于$X$的整数个数$κ(P,X)$的下界，并证明了Graham，Lagarias，Malows，Wilkes和Yan的一个猜想：当$X$趋于无穷大时，$κ(P,X)$的比值$κ(P,X)/X$大于0.
The Kloosterman circle method and weighted representation numbers of quadratic forms
本文发展了一种带凸函数的Kloosterman圆法，为非奇异整二次型的加权表示数提供显式常数的渐近公式，并探讨其在Kleinian球堆积强局部-全局原理证明中的潜在应用。
Solving quadratic forms in restricted variables with the circle method
本文研究用圆法计数受限变量中非奇异二次型的有界高度加权解，给出了权重序列和二次型满足的条件。
Apollonian Circle Packings: Number Theory
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在这样的填充中，每个圆都可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为{ \em积分阿波罗圆填充}。本文研究了这类填充中出现的整数曲率集的数论性质。填充中的四个相切圆的每个笛卡尔四元组给出{ \em笛卡尔方程}的整数解，该方程与四个相互相切的圆的曲率半径相关：$2 (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) - (x + y + z + w)^2 = 0.$每个完整的阿波罗圆填充由满足笛卡尔方程的整数的某个{ \em根四元组}分类，并且对应于填充中出现的特定四元组圆。我们确定的根四倍体的大小低于$T$的数量的渐近。我们研究的整数出现在一个给定的整数包装，并确定同余限制，有时适用。最后，我们提出的证据表明，出现在一个完整的阿波罗圆包装的整数曲率半径的集合具有正密度，实际上代表了所有足够大的整数不排除的同余条件。在一系列的同伴论文“阿波罗圆填充：几何和群论”，我们调查了各种群论性质的这些配置，以及各种扩展到更高的维度和其他空间，如双曲空间。
Ford Circles and Spheres
福特圆由有理数参数化，但也是迭代几何过程的结果。我们回顾这一点，并介绍了一个显然是新的参数化的解决方案，一定的二次丢番图方程。然后，我们推广到爱森斯坦和高斯的理性，由此产生的“福特领域”也是迭代几何程序的结果，也参数化的解决方案，某些二次丢番图方程。我们还进一步推广到虚二次域。
The Local-Global Conjecture is False for Generalized Circle Packings
本文扩展了Haag等人对Apollonian圆排列中局部-整体猜想的反驳，针对四种积分圆排列类型发现二次不变量，揭示了二次互反律对猜想的阻碍，同时展示了曲率的可预测互反结构。
On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle
令$\mathrm{d}(A)$为整数序列$A$的渐近密度（如果存在）。对任意实数$0\leqα\leqβ\leq 1$，我们解决了正整数序列$A$的存在性问题，使得$\mathrm{d}(A)=α$和$\mathrm{d}(A+A)=β$ .更一般地，我们研究了$A\subset \mathbb{N}$的$k$ -元组$(\mathrm{d}(iA))_{1\leq i\leq k}$的集合。这导致我们引入由丢番图约束定义的子集，这些子集被称为“伪$s$次幂”的随机整数集。我们考虑类似的问题，循环$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的子集，也就是说，我们部分地确定了一套$k$元组$(μ(iA))_{1\leq i\leq k}$为$A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。
Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在欧几里得空间中，这样的填充中的每个圆都有可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为积分阿波罗圆填充。有无穷多个不同的积分填料;这些研究的文件\cite{GLMWY21}。球面和双曲空间中也存在积分圆填充，只要使用适当的曲率定义（参见\cite{LMW02}），并且同样存在无限数量的不同积分填充。本文研究这类填充的数论性质。这相当于研究不定四元二次型$Q_{\sD}(w, x, y, z)= 2(w^2+x^2 +y^2 + z^2) - (w+x+y+z)^2$的积分自同构群的特定子群$\sA$的轨道。这个子群称为阿波罗群，作用于整数解$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$。本文给出了作用于$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$整数解的$\sA$轨道的一个约化理论，该理论对所有整数$k$都有效.它还分类轨道的所有$k \equiv 0 \pmod{4}$在额外的参数$n$和一个辅助类组（取决于$n$和$k$），并研究在给定的轨道上的整数同余条件。
On Positive Integer Descartes-Steiner Curvature Quintuplets
本文研究了正整数笛卡尔-斯蒂纳曲率五元组的性质，探讨了两种类型三元组的生成方法及退化情况的描述。
Quadratic Equations in Three Variables over Gaussian Integers
给出了研究高斯整数环上三元丢番图二次方程的一种代数方法。
Quadratic forms representing all integers coprime to 3
根据Bhargava和Hanke的著名的290定理，我们证明了一个普遍性定理的所有正定整数值二次型，表示所有正整数互质$3$。特别地，如果正定二次型表示与$3$和$\leq 290$互质的所有正整数，则它表示与$3$互质的所有正整数。我们使用类似的方法所使用的劳斯证明（假设GRH），正定二次型表示$1$和$451$之间的每一个奇数表示所有正的奇数。
Ternary quadratic forms representing same integers
在1997年，Kaplansky证明了如果两个正定的整数系数三元二次型有完全相同的整表示，那么它们是等距的，都是正则的，或者包括两个三元二次型族中的任何一个。本文证明了不属于Kaplansky表中的表示相同整数的三元二次型对的存在性。
Euclidean rings of $S$-integers in complex quadratic fields
本文给出了复二次域上$S$ -整数环关于$S$ -范数是否欧氏的一个初等方法.
Representing rational integers by generalized quadratic forms over quadratic fields
研究二次域上值域为有理整数的广义二次型，证明实二次域中存在正定二元广义二次型可表示所有正整数，并证明仅有有限多个二次域存在三元广义二次型具有此类性质。
Apollonius circles and irreducibility criteria for polynomials
证明了根位于Apollonius圆内的整数多项式$f(X)$的不可约性，该圆与实轴上的两个点相关联，其横坐标为整数$a$和$b$，到这些点的距离之比取决于$f(a)$和$f(b)$的正则分解.特别是，我们得到的情况下，$f(a)$和$f(b)$有几个素因子，和$f$是Eneström-Kakeya多项式，或有一个大的首项系数的不可约准则。类似的结果也提供了多元多项式在任意领域，在非阿基米德设置。
Representations of integers by certain $2k$-ary quadratic forms
假设$k$是正整数。在这项工作中，我们建立了整数的二次型$$ x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}+l\left(x_{k+1}^{2}+\cdots+x_{2k}^{2}\right) $$的$l\in\{2,4\}$的表示数的公式。
Representations of an integer by some quaternary and octonary quadratic forms
本文考虑了某些四元二次型和八元二次型，并利用模形式理论，得到了这些二次型表示正整数个数的公式。
On the representation of integers by binary quadratic forms
本文证明了对于给定的整数系数不可约二元二次型$f(x,y)$，只要对整数$x,y,u,v$有$f(x,y) = f(u,v)$，就存在$f$的有理自同构，它将$(x,y)$发送给$(u,v)$ .
Small-span Hermitian matrices over quadratic integer rings
在小跨距（跨距小于4）整数对称矩阵的特征多项式分类的基础上，得到了二次整数环上埃尔米特矩阵的特征多项式的小跨距多项式分类.以二次整数环为基，得到了一些低次小跨度多项式作为特征多项式，这些多项式不是任何整数对称矩阵的特征（或极小）多项式.
Counting solutions to quadratic polynomials
本文利用圆法，对一类二次多项式建立了关于系数一致的整数解数量渐近公式。
Some results on integer solutions of quadratic polynomials in two variables
我们使用我们以前的工作中的思想来获得一些定理，这些定理将允许我们获得表示自然数的二元二次多项式的整数解
House of algebraic integers symmetric about the unit circle
给出了根关于单位圆对称的一元整多项式的根的最大模的Schinzel-Zassenhaus型下界.我们的结果推广了Dimitrov的工作，Dimitrov利用整系数幂级数的Pólya合理性定理证明了一般的Schinzel-Zassenhaus猜想，并给出了集合的对数容量（超限直径）的一些估计.我们使用增强的Pólya的结果得到的罗宾逊，其中涉及劳伦特型有理函数与小的上确界规范，从而取代了对数容量与一个更小的数量。这个较小的量通过加权切比雪夫常数表示，该常数与罗宾逊合理性定理中使用的季米特洛夫函数相关联。我们的房子的下界证实了博伊德的一个猜想。
Cyclotomic matrices over real quadratic integer rings
我们分类所有分圆矩阵的实二次整数环，我们表明，这种分类是相同的分类分圆矩阵的compositum所有的实二次整数环。此外，我们列举了一类相关的对称矩阵;这些矩阵的特征值包含在区间[-2，2]内，但其特征多项式不在Z[x]内。
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
On the representation of integers by quadratic forms
设Q为整系数非奇异二次型。当Q是不定的时，我们给出了方程Q=0的最小非平凡积分解的新的上界。当Q是正定的，我们提供了改进的上界的最小正整数k，使方程Q=k是不溶于整数，尽管是可溶模每个素数的权力。
Polynomials Consisting of Quadratic Factors with Roots Modulo Any Positive Integer
本文给出了一类多项式的无穷族，它们的根模为每一个正整数，但没有有理根。这个族中的每个多项式都是由一元二次因子组成的，没有线性项。
Eisenstein circle packings and the Eisenpint Schmidt arrangement
本文研究了Eisenstein圆排列的数论性质，包括二次型家族、强近似、同余障碍和局部-整体密度，揭示了Eisenpint Schmidt安排与Eisenstein圆排列之间的关系。
Additive structure of totally positive quadratic integers
设$K=\mathbb Q(\sqrt D)$是一个实二次域.我们考虑$K$中的全正整数的加法半群$\mathcal O_K^+(+)$，确定了它的生成元（不可分解的整数）和关系，它们可以用$\sqrt D$的周期连分数很好地描述.我们还刻画了$K$中所有可唯一分解的整数，并估计了它们的范数。利用这些结果，我们证明了半群$\mathcal O_K^+(+)$完全决定实二次域$K$ .
Rational integers as sums of units -- the quadratic case
本文研究了二次数域中自然数作为k个单位和的渐进行为，解决了Jarden和Narkiewicz在2007年提出的问题。
Quadratic irrational integers with partly prescribed continued fraction expansion
我们概括的言论欧拉和佩龙解释如何详细说明所有二次无理整数的对称部分期间，其连分数扩大开始与规定的部分不合理。函数字段的情况尤其引人注目。
Visualising the arithmetic of imaginary quadratic fields
研究了Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$下的$\mathbb{R}$的轨道，其中$K$是虚二次域.这个轨道称为施密特排列$\mathcal{S}_K$，是$K$算术的一种几何实现，是一种复杂的圆填充。本文介绍了这种现象的几个例子。首先，我们证明了圆的曲率是$\sqrt{-Δ}$的整数倍，并用$\mathcal{O}_K$的范数形式描述了切圆的曲率。其次，我们表明，圆本身是双射与某些理想类的订单$\mathcal{O}_K$，导体是一定的倍数的曲率。这允许我们用类数来计算圆。第三，我们证明了圆的排列是连通的当且仅当$\mathcal{O}_K$是欧几里得的。这些结果的意思是作为基础的研究一类新的薄推广阿波罗群，在一个配套文件。
Values of binary quadratic forms at integer points and Schmidt games
证明了对任意实数可数集$A$，使得$Q(\mathbb{Z}^2)$的闭包与$A$不相交的二元不定二次型集$Q$具有满豪斯多夫维数.
Representations of integers by certain positive definite binary quadratic forms
本文证明了Borwein和Choi关于无平方数整数N的n=x^2+Ny^2的解的个数的平方的估计的猜想的一部分。
Integer Sequences from Circle Divisions in Rational Billiards
本文研究有理圆形台球，通过轨迹对圆内区域的分割推导每次反射后区域数的一般公式，并在特定角度条件下揭示该整数序列与 Gauss 等差数列的关系。
The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials
一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。
Estimates on Lattice Points in the Circle
本文给出了以原点为圆心的圆上的整数格点数与面积之差的估计。该估计具有半径的对数与半径的2b次幂的乘积的“大O”形式。最简单的新估计是b = 5/16;最好的是b = 1507/4875 = .309128205.
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
Notes on the Quadratic Integers and Real Quadratic Number Fields
证明了当考虑一个范数固定的实二次整数$ξ$时，域$\mathbb{Q}(ξ) = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$的基本单位$\varepsilon_d$几乎总是满足$\log \varepsilon_d \gg (\log d)^2$.通过二次序列给出了一个更一般的集合，包含所有的根$d$的字段的一个简单的建设，并估计这种替代的效率明确。当$μ= -1$时，该构造给出了负佩尔方程$X^2 - d Y^2 = -1$（或更一般地$X^2 - D Y^2 = -4$）可解的所有$d$。当$μ$是素数时，它给出了所有的实二次域，其中位于$μ$上的素理想是主理想。
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
Integer matrix factorisations, superalgebras and the quadratic form obstruction
我们确定和分析的障碍因式分解成产品的整数矩阵$N^T N$或$N^2$的矩阵与理性或整数条目。障碍物作为具有整数系数的二次型出现，并提出了这种形式的离散范围的问题。它们是通过考虑超代数上的矩阵分解得到的。我们进一步得到了一个公式的行列式的方阵的这些矩阵分解，以及确定一个$\it co-Latin$对称空间的伴随。
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
Norms of indecomposable integers in real quadratic fields
研究实二次域$\mathbb Q(\sqrt D)$中的完全正的不可加分解整数.我们估计一个不可分解的整数的范数的大小，通过将其表示为$u_i^{-1}$中的幂级数，其中$\sqrt D$具有周期连分数展开式$[u_0, u_1, u_2, \dots, u_{s-1}, 2u_0, u_1, u_2, \dots]$。这使我们能够反驳Jang-Kim [JK]关于不可分解整数的范数的最大大小的猜想。
Pairs of diagonal quadratic forms and linear correlations among sums of two squares
对于合适的对角二次型在8个变量，我们使用圆的方法来调查密度的同时整数解，并与此有关的问题估计两个平方和之间的线性相关。
Simultaneous Integer Values of Pairs of Quadratic Forms
我们证明了一对整二次型在5个或更多的变量将同时表示“几乎所有”的整数对，满足必要的局部条件，只要形式满足适当的非奇异性条件。特别是，如果明显的局部条件成立，这些形式同时达到素值。证明使用圆的方法，特别是开拓者的Kloosterman细化的二维版本。
Cubic residuacity of real quadratic integers
针对带三次范数的实二次整数，本文确定相关型类群中表示对应素数的所有类，证明了2025年相关论文提出的一个特例猜想。
Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach
1957年，N.C.安克尼利用数的几何提供了三平方定理的新证明。本文推广了Ankeny的技巧，证明了哪些整数可用$x^2 + 2y^2 + 2z^2$和$x^2 + y^2 + 2z^2$表示，并给出了整数可用$x^2+y^2+3z^2$和$x^2 + y^2 + 7z^2$表示的充分条件.
Lehmer's conjecture for matrices over the ring of integers of some imaginary quadratic fields
设$R=\mathcal{O}_{\Q(\sqrt{d})}$为$d<0$，无平方，$d\neq -1,-3$。证明了关于$R$ -矩阵的相关互反多项式的Lehmer猜想，即任何非分圆$R$ -矩阵至少有$λ_0=1.176...$的Mahler测度.
Representations of integers by systems of three quadratic forms
这是经典的已知，圆的方法产生一个渐近的数量表示的元组的整数$(n_1,\ldots,n_R)$由一个系统的二次型$Q_1,\ldots, Q_R$在$k$变量，只要$k$是足够大;减少所需的变量数量仍然是一个重要的开放问题。在这项工作中，我们考虑的情况下，3形式和改进的经典结果减少所需的变量的数量$k \geq 10$“几乎所有”元组，适当的非奇异性假设下的形式$Q_1,Q_2,Q_3$。为了实现这一点，我们开发了一个三维模拟Kloosterman的圆的方法，特别是利用适当的系统的三个二次型的几何性质。
The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
Integers in number systems with positive and negative quadratic Pisot base
我们考虑了以$β$和$-β$为基的计数系统，对于二次Pisot数$β$，着重比较了以$β$为基的整数展开数的集合$\Z_β$和$\Z_{-β}$的组合结构. $-β$。我们的主要结果是比较语言的无限词$u_β$和$u_{-β}$编码顺序之间的距离连续$β$ -和$(-β)$ -整数。结果表明，对于$x^2-mx-m$的一类根$β$，语言一致，而对于其他二次皮索数，$u_β$的语言只能与$u_{-β}$的形态像的语言相识别。我们还研究了$(-β)$ -整数的群结构。
An algebraic approach to count the number of representations of an integer by the quadratic form $x^2+ay^2$ for certain values of $a$
通过考虑$\mathbb{Q}(\sqrt{-a})$中整数环元素的范数，给出了计算$x^2+ay^2=n$型丢番图方程整数解个数的代数方法，其中$a$是Heegner数或$a=27$ .
On indefinite and potentially universal quadratic forms over number fields
数域$k$允许二元整二次型局部表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数大于1.在这种情况下，在$k$上只有1000类这样的二元整二次型。数域$k$允许一个三元整二次型表示所有整数而非全局表示当且仅当$k$的类数是偶数。在这种情况下，在$k$上有无穷多类这样的三元整二次型。数域$k$上的一个具有多个变量的整二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$k$的所有整数当且仅当这个二次型表示$k$的有限扩张的整数环上的$1$。
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
Small representations of integers by integral quadratic forms
给定一个数域上的迷向二次型，它取一个值$t$，我们研究这个值被取的点的分布。建立在以前的工作有关的分布小高度零的二次型，我们产生的高度上的点以外的一些代数集在二次空间中的形式假定值$t$。我们的高度界限是明确的形式，空间，代数集和值$t$的高度。
Quadratic fields with cyclic 2-class groups
对任意整数$k\ge 1$，我们证明了存在无穷多个复二次域，其2类群是$2^k$阶循环的.证明结合了圆的方法与代数标准的复二次理想类是一个广场。
Quadratic forms representing all odd positive integers
本文研究了表示所有正奇整数的正定整数值二次型的分类问题。Kaplansky考虑了这个问题的三元形式，给出了一个23个候选人的列表，并证明其中19个代表所有的积极赔率。(Jagy第20集第20集（）假设其余三种形式表示所有的正几率，我们证明了一个任意的，正定二次型表示所有的正几率当且仅当它表示从1到451的奇数。这个结果类似于Bhargava和Hanke著名的290定理。此外，我们证明了这三个剩余的三元表示所有正奇整数，假设广义黎曼假设。这一结果是由一种新的解析方法来确定具有基本判别式的整数值四次二次型$Q$的尖点常数。该方法基于Rankin-Selberg $L$ -函数的解析性质，证明了若$Q$是具有基本判别式的四元形式，则$Q(\vec{x}) = n$无整数解的最大局部表示整数$n$是$O(D^{2 + ε})$ .
On the Power of Integers and Conductors of Quadratic Fields
我们考虑二次域$ \mathbb{Q} (\sqrt{d}$ $)$的整数$α$，其中$d\in \Z$是无平方的，以及$d\equiv 1,2,3 \pmod 4$。设PDMATHAMR是一个奇素数。使用嵌入到$ \text{GL}(2,\mathbb{Z})$，我们得到的第一个$ν\in\N$的界限，使$α^ν\equiv 1\pmod p.$对于导体$f$，我们然后研究的第一个整数$n=n(f)$，使$α^n\in\mathcal{O}_{f}$。我们得到了$n(f)$和$n(fp^{k})$的界。最有趣的情况是$α$是$ \mathbb{Q} (\sqrt{d}$ $)$的基本单位。
The rank of new regular quadratic forms
一个（正定和积分）二次型$f$称为正则的，如果它表示所有局部表示的整数。已知直到等距的正则三元二次型只有200多种。然而，对于任何大于或等于$4$的整数$n$，秩为$n$的正则二次型存在无穷多个等价类。正则二次型$f$称为新的，如果不存在$f$的真子型$g$，使得由$g$表示的整数集合等于由$f$表示的整数集合。本文证明了任何新的正则二次型的秩都有一个绝对常数的界。
On the representation of quadratic forms by quadratic forms
利用圆的方法，证明了对于一个固定的定积分二次型$A$，当$A$的维数与$B$的维数和$B$的连续最小值的最大比足够大时，由$A$表示正定定积分二次型$B$的个数的期望渐近公式成立.并且假设$B$在$A$方面足够大。
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