Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在欧几里得空间中，这样的填充中的每个圆都有可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为积分阿波罗圆填充。有无穷多个不同的积分填料;这些研究的文件\cite{GLMWY21}。球面和双曲空间中也存在积分圆填充，只要使用适当的曲率定义（参见\cite{LMW02}），并且同样存在无限数量的不同积分填充。本文研究这类填充的数论性质。这相当于研究不定四元二次型$Q_{\sD}(w, x, y, z)= 2(w^2+x^2 +y^2 + z^2) - (w+x+y+z)^2$的积分自同构群的特定子群$\sA$的轨道。这个子群称为阿波罗群，作用于整数解$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$。本文给出了作用于$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$整数解的$\sA$轨道的一个约化理论，该理论对所有整数$k$都有效.它还分类轨道的所有$k \equiv 0 \pmod{4}$在额外的参数$n$和一个辅助类组（取决于$n$和$k$），并研究在给定的轨道上的整数同余条件。
2005-03-09 math.NT
Some experiments with integral Apollonian circle packings
有界Apollonian圆填充（ACP）是通过在四个相互相切的圆的三角形间隙中重复内接圆来构造的，其中一个圆与其他三个圆内切。如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。在\cite{ll}中，Sarnak证明了在一个本原积分ACP中有无穷多个原曲率圆和无穷多对原曲率相切圆。在本文中，我们给出了一个启发式的数值数据支持的数量的圆的素数曲率小于$x$，和"接吻素数"，或{\it对}的数量的素数曲率小于$x$的圆的原始积分ACP。我们还提供了实验证据，对一个本地到全球的原则，在一个原始的积分ACP的曲率。
2010-01-11 math.NT
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
2023-10-16 math.MG math.NT
Prime and thickened prime components in Apollonian circle packings
受Sarnak问题启发，本文在Apollonian圆填充中引入了素数分量与加厚素数分量的概念，研究了曲率的剩余类、圆数量及素数分量数量，并计算分析了曲率高达约$10^{13}$的示例分量。
2025-04-30 math.NT
Radial Density in Apollonian Packings
给定阿波罗圆包装$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}$中的圆$C_0 = \partial B(z_0, r_0)$，将$\mathcal{P}$中与$C_0$相切的圆盘集涂为红色。同心圆$C_ε = \partial B(z_0, r_0 + ε)$中红色的比例是多少，这个量作为$ε\rightarrow 0$的行为是什么？使用均匀分布的封闭的horocycles上的模块化表面$\mathbb{H}^2/SL(2, \mathbb{Z})$，我们表明，答案是$\frac{3}π = 0.9549\dots$。我们还描述了一个观察由于亚历克斯Kontorovich连接的速度，这种收敛的法利-福特包装的黎曼假设。对于Soddy Sphere填料的类似问题，我们发现极限径向密度为$\frac{\sqrt{3}}{2V_T}=0.853\dots$，其中$V_T$表示具有二面角的理想双曲四面体的体积$π/3$。
2014-11-22 math.NT
Apollonian circle packings of the half-plane
我们考虑半欧几里德平面上的Apollonian圆填充。我们给出了两个这样的包装的充要条件相关的欧氏相似性（即，通过平移，反射，旋转和膨胀），并明确描述了一个给定的包装的自相似性组。我们观察到，包装与非平凡的自相似性对应的正实数的根的二次多项式的合理系数。这反映在阿波罗圆填料和连分数之间的密切联系，使我们能够完全分类这种包装的相似性。
2012-09-14 math.MG math.NT
Apollonian Packings and Kac-Moody Root Systems
研究了一类秩为4的不定Kac-Moody根系$Φ$的Apollonian圆填充.引入了一个填充的生成函数$Z(\mathbf{s})$，它是一个具有阿波罗对称群的四元指数级数，它与$Φ$的Weyl-Kac特征有关.利用$Φ$的仿射和Lorentz双曲根子系统的存在性，利用自守Weyl算子，用Jacobi θ函数和Siegel模形式$Δ_5$表示$Z(\mathbf{s})$.我们还证明了$Z(\mathbf{s})$的收敛域是$Φ$的Tits锥，并发现这个收敛域继承了Apollonian填充的复杂几何结构.
2021-02-03 math.NT math.RT
On the Local-Global Principle for Integral Apollonian-3 Circle Packings
本文研究了Apollonian-3圆填充的积分性质，它是标准Apollonian圆填充的变形。具体地说，我们研究了约化理论，提出了一个局部-全局猜想，并证明了这个猜想的一个密度版本。一路上，我们证明了一个统一的谱间隙的对称群的同余塔。
2015-04-20 math.GR math.NT math.SP
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory II. Super-Apollonian Group and Integral Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。这样的填充可以用它们所包含的笛卡尔构型来描述。它观察到存在无穷多种类型的积分阿波罗填充，其中所有圆都具有整数曲率，积分结构与阿波罗群的积分性质有关。在这里，我们考虑一个更大的离散群，超阿波罗群，也有一个完整的结构，其轨道描述的笛卡尔四元组的几何对象，我们称之为超包装。超包装中的圆从不相互交叉，而是嵌套到任意深度。某些Apollonian填充和超填充是强积分的，因为所有圆的曲率是积分的，并且所有圆的曲率$\times$中心是积分的。我们表明，（规模）有8个不同的（几何）强积分超包装，每个包含一个副本的每一个完整的阿波罗圆包装（也规模）。我们证明了超Apollonian群在笛卡尔组态参数空间的所有自同构群中具有有限体积，它同构于洛伦兹群$O(3, 1)$ .
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The sensual Apollonian circle packing
积分阿波罗圆填充中的圆的曲率，以Perga的阿波罗纽斯（公元前262-190年）命名，形成了一个无限的整数集合，其丢番图性质最近引起了人们的兴趣。在这里，我们对建立在Z[i]^2的基集合研究基础上的阿波罗圆填充给出了一个新的描述，它受到康威的“感性二次型”的启发，并与之密切相关。
2014-03-12 math.MG math.NT
The local-global principle for integral bends in orthoplicial Apollonian sphere packings
本文介绍了一种正交Apollonian球面填充，它是通过用4-正交切图依次反转8个球面的构形而得到的球面填充。我们将证明存在这样的填充，其中所有组成球的弯曲是积分的，并建立这些填充中弯曲集合的渐近局部-整体原理。
2014-01-13 math.GR math.MG math.NT
Integral spinors, Apollonian disk packings, and Descartes groups
证明了在欧几里得空间中，每一个不可约的积分Apollonian填充都能使它的切旋量、约化坐标和余曲率都是积分的.作为一个副产品，我们证明，在任何积分笛卡尔配置，两个相邻的磁盘的曲率之和可以写为两个平方和。笛卡尔集团的定义，并发现一个有趣的发生斐波那契序列。
2021-05-27 math.GR math.NT
From Apollonian packings to homogeneous sets
我们延长阿波罗包装，这构成了一个主要的研究对象，在数论的基本结果，某些齐次集自然出现在复杂的动力学和几何群论。特别地，我们给出了D的一个类似物。W. Boyd定理（将阿波罗填充的曲率分布函数与其指数和剩余集的豪斯多夫维数联系起来），用于Sierpienski地毯，即双曲有理映射的朱利亚集。
2014-02-23 math.DS math.MG math.NT
Apollonian circle packings: Dynamics and Number theory
我们给出了一个概述的各种计数问题的阿波罗圈包装，这原来是有关的问题，在动力学和数论薄群体。这篇调查文章是我为2013年秋季在京都RIMS举行的第13次高木讲座准备的讲义的扩展版本。
2014-01-23 math.DS math.GT math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory I. The Apollonian Group
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。我们观察到存在具有强积分性质的Apollonian填充，其中填充中的所有圆具有整数曲率和有理中心，使得（曲率）$\times$（中心）是整数向量.这一系列的论文解释了这些性质。{ \em Descartes configuration}是一组四个内部不相交的相切圆。我们描述的空间的所有笛卡尔配置使用的坐标系$\sM_\DD$组成的那些$4 \times 4$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$其中$\bQ_D$是矩阵的笛卡尔二次型$Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$和$\bQ_W$的二次型$Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$。在参数空间$\sM_\DD$上存在自然的群作用。我们观察到，笛卡尔配置在每个阿波罗包装形成一个轨道下的某个离散生成的群，{ \em阿波罗群}。这个群由$4 \times 4$整数矩阵组成，它的完整性性质导致了在一些阿波罗圆填充中观察到的完整性性质。我们引入了两个更相关的非线性生成群，对偶Apollonian群和超Apollonian群，它们具有很好的几何解释。我们证明了这些群是双曲Coxeter群。
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The Apollonian structure of Bianchi groups
本文研究了$\widehat{\mathbb{R}}$在$\widehat{\mathbb{C}}$上的Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$的Möbius作用下的轨道，其中$\mathcal{O}_K$是虚二次域$K$的整数环.轨道$\mathcal{S}_K$，称为施密特排列，是$K$的算术的几何实现，作为复杂的圆填充。本文给出了$\mathcal{S}_K$推广的Apollonian圆填充的某些子集的一个简单的几何特征，并证明了$\mathcal{S}_K$，考虑方向，是所有像$K$ -Apollonian填充这样的本原积分的不交并.这些填充由一类新的薄的算术兴趣称为$K$ -阿波罗群。我们对这些填充的曲率进行了一个猜想，推广了Apollonian圆填充的局部到全局猜想。
2015-10-08 math.GR math.MG math.NT
Effective Circle Count for Apollonian packings and Closed horospheres
本文的主要结果是对有界的或包含两条平行线的Apollonian圆填充的有效计数。我们证明了一个有效的等距分布的单位切丛的几何有限双曲3-流形的体积无限，其基本群的临界指数大于1的封闭horospheres。我们还讨论了仿射筛的应用。表面的类似结果也被处理。
2012-07-18 math.DS math.GT math.NT
Regular polytopes, sphere packings and Apollonian sections
本文研究了由任意维度正多胞体诱导的多胞体球填充的几何与算术性质，证明了所有整多胞体皆为晶体学的且共有11个晶体学正多胞体，引入阿波罗尼奥斯截面概念以确定相关截面填充，并计算了所有正多胞体的Möbius谱。
2024-10-10 math.CO math.GR math.MG
On the Local-Global Conjecture for integral Apollonian gaskets
我们证明了一组密度1满足局部-整体猜想的积分阿波罗垫片。也就是说，对于一个固定的整数，原始的阿波罗垫片，几乎每个（在密度意义上）容许的（通过局部障碍物）整数都是垫片中某个圆的曲率。
2013-05-14 math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory III. Higher Dimensions
本文在第一部分和第二部分中给出了Apollonian圆填充的$n$ -维类似物.我们工作在空间$\sM_{\dd}^n$的所有$n$维定向笛卡尔配置参数化的坐标系，ACC坐标，作为那些$(n+2) \times (n+2)$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D,n} \bW = \bQ_{W,n}$其中$Q_{D,n} = x_1^2 +... + x_{n+2}^2 - \frac{1}{n}(x_1 +... + x_{n+2})^2$是$n$维笛卡尔二次型，$Q_{W,n} = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + ... + 2x_{n+2}^2$，和$\bQ_{D,n}$和$\bQ_{W,n}$是它们相应的对称矩阵。在参数空间$\sM_{\dd}^n$上有自然的动作。我们介绍$n$维类似物的阿波罗群，对偶阿波罗群和超阿波罗群。这些是具有以下积分性质的双生成群：对偶阿波罗群由所有维度的积分矩阵组成，而其他两个由有理矩阵组成，其中的分解子具有从有限集合$S$中提取的素因子，这取决于维度。我们证明了Apollonian群和对偶Apollonian群的存在性，并且证明了它们是Coxeter群.我们定义一个阿波罗集群合奏下的阿波罗组的任何轨道，与其他两个群体类似的概念。我们确定在哪些维度可以找到合理的阿波罗集群合奏（所有曲率合理）和强合理的阿波罗球合奏（所有ACC坐标合理…
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Domains of Convergence for Polyhedral Packings
多面体圆填充是阿波罗填充的推广。我们发展了阿波罗群、笛卡尔二次型和所有多面体填充的相关对象的理论。我们使用这些工具来确定域的生成函数，可以与任何多面体包装的绝对收敛。这个收敛域是无限根系的锥。
2021-09-03 math.CO math.NT
Statistical Regularity of Apollonian Gaskets
阿波罗垫圈是通过用另外的相切圆重复填充三个相切圆之间的间隙而形成的。本文给出了固定Apollonian垫片的极限对相关和极限最近邻圆心间距的显式表达式。这些都是我们证明的矩收敛的推论。遍历论的输入是Mohammadi-Oh关于无限体积双曲空间中膨胀水平球等分布定理的推广。
2017-09-10 math.DS math.MG math.NT
Apollonian packings as physical fractals
阿波罗填充（Apollonian packings，AP）是由球体填充空间过程产生的分形。我们讨论了填充球的最大和最小尺寸之间的有限区间$s\in[s_\mathrm{min},s_\mathrm{max}]$的有限尺寸效应。我们推导出一个简单的分析推广的无标度的法律，这使得定量研究这样的\textit{physical fractals}。为了检验我们的结果，一个新的有效的空间填充算法已被开发，产生随机AP的球体具有有限范围的直径：正确的渐近极限$s_\mathrm{min}/s_\mathrm{max}\rightarrow 0$和已知的AP的分形维数恢复和良好的协议与广义解析定律被证明在整个范围内的大小。
2011-11-22 cond-mat.stat-mech math.NT physics.comp-ph
The Apollonian staircase
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
2023-02-23 math.MG math.NT
On a Diophantine equation that generates all integral Apollonian Gaskets
一个非常简单的丢番图二次方程是众所周知的，以产生所有阿波罗积分垫圈（磁盘填料）。本文基于反演几何给出了该公式的一种新的推导方法。还讨论了这种垫片中勾股的出现。
2020-08-10 math.MG math.NT
The Apollonian structure of integer superharmonic matrices
我们证明了格$\mathbb{Z}^2$上的整数值上调和函数所能达到的二次增长集具有Apollonian圆填充的结构。这完全表征了PDE，它决定了阿贝尔沙堆在格子$\mathbb{Z}^2$上的连续标度极限。
2017-07-17 math.AP math.NT math.PR
The Local-Global Conjecture is False for Generalized Circle Packings
本文扩展了Haag等人对Apollonian圆排列中局部-整体猜想的反驳，针对四种积分圆排列类型发现二次不变量，揭示了二次互反律对猜想的阻碍，同时展示了曲率的可预测互反结构。
2026-03-25 math.NT
Circle Packings from Tilings of the Plane
本文在平面上引入了一类新的分形圆填充，推广了Kontorovich和Nakamura定义的多面体填充。这些填充的存在性和唯一性由Koebe-Andreev-Thurston定理的无限版本保证。我们证明了结构定理，给出了完整的描述对称群，这些包装。并举例说明它们的数论意义和群论意义。
2023-02-13 math.NT
A geometric study of circle packings and ideal class groups
对每个虚二次域$K$引入了一族分形圆排列.总的来说，这些安排包含（直到仿射变换）在扩充复平面中具有积分曲率和Zebriki稠密对称群的每一组圆。当该集合是一个圆包装，我们展示了如何我们的安排的环境结构给出了一个几何标准，满足几乎本地全球的原则。还探索了与$K$的类组的连接。其中有一个几何性质保证了某些理想类是群生成元。
2022-02-21 math.NT
Local-global principles in circle packings
我们推广工作的Bourgain-Kontorovich和张，证明了一个几乎本地到全球性质的曲率的某些圆包装，一大类Kleinian群。具体而言，我们关联在一个自然的方式，一个无限家庭的积分包装的圆的任何Kleinian群$\mathcal A\leq\textrm{PSL}_2(K)$满足一定的条件，其中$K$是一个虚二次域，并表明，曲率的圆在任何这样的包装满足几乎本地到全球的原则。在证明这一点的一个关键因素是，$\mathcal A$具有谱隙属性，我们证明任何无穷余体积，几何有限的，Zebraki密集Kleinian群在$\textrm{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$包含Zebraki密集子群的$\textrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$。
2017-08-07 math.NT
Eisenstein circle packings and the Eisenpint Schmidt arrangement
Saint Mary’s University（圣玛丽大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文研究了Eisenstein圆排列的数论性质，包括二次型家族、强近似、同余障碍和局部-整体密度，揭示了Eisenpint Schmidt安排与Eisenstein圆排列之间的关系。
2026-05-15 math.MG math.NT
Gap Distributions in Circle Packings
我们确定的最近邻间距之间的切线到一个固定的圆在一类圆填充反射产生的分布。我们结合使用几何工具和自守形式理论。
2015-09-10 math.DS math.NT
Heron's Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles
这篇文章强调了不同领域的相互作用：三角形面积的赫伦公式，笛卡尔圆方程和具有整数或有理边的直角三角形。新的和旧的结果进行了综合。我们发现，每一个原始的毕达哥拉斯三元组（PPT），crosseshes笛卡尔四元组的切线圆积分曲率，并产生一个完整的阿波罗包装（IAP）包含一个矩形的中心。因此，毕达哥拉斯三元组用于生成大量的不等价的整数填充。
2007-01-22 math.MG math.NT
Tiling, circle packing and exponential sums over finite fields
本文研究了有限域上向量空间的平铺与填充问题，它与经典指数和的零点以及Jacobian猜想的关系
2015-07-21 math.CA math.CO math.NT
Revisiting the hexagonal lattice: on optimal lattice circle packing
本文给出了$R^2$中六角格圈填充密度最高的经典事实的一个简单证明。与事后的好处，我们表明，这个问题可以被限制到一个重要的类的良好的圆形格，密度函数采取特别简单的形式。我们的证明强调了离散最优化问题的全面格的作用。
2009-11-20 math.CO math.MG math.NT
