A proof of the positive density conjecture for integer Apollonian circle packings
有界阿波罗圆填充（英语：Bounded Apollonian circle packing，ACP）是一种古希腊的构造，它是通过在笛卡尔配置的四个相互相切的圆的三角形空隙中重复内接圆而制成的。值得注意的是，如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。本文计算了有界整数ACP $P$中曲率小于$X$的整数个数$κ(P,X)$的下界，并证明了Graham，Lagarias，Malows，Wilkes和Yan的一个猜想：当$X$趋于无穷大时，$κ(P,X)$的比值$κ(P,X)/X$大于0.
2010-01-21 math.NT
Some experiments with integral Apollonian circle packings
有界Apollonian圆填充（ACP）是通过在四个相互相切的圆的三角形间隙中重复内接圆来构造的，其中一个圆与其他三个圆内切。如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。在\cite{ll}中，Sarnak证明了在一个本原积分ACP中有无穷多个原曲率圆和无穷多对原曲率相切圆。在本文中，我们给出了一个启发式的数值数据支持的数量的圆的素数曲率小于$x$，和"接吻素数"，或{\it对}的数量的素数曲率小于$x$的圆的原始积分ACP。我们还提供了实验证据，对一个本地到全球的原则，在一个原始的积分ACP的曲率。
2010-01-11 math.NT
A geometric study of circle packings and ideal class groups
对每个虚二次域$K$引入了一族分形圆排列.总的来说，这些安排包含（直到仿射变换）在扩充复平面中具有积分曲率和Zebriki稠密对称群的每一组圆。当该集合是一个圆包装，我们展示了如何我们的安排的环境结构给出了一个几何标准，满足几乎本地全球的原则。还探索了与$K$的类组的连接。其中有一个几何性质保证了某些理想类是群生成元。
2022-02-21 math.NT
Local-global principles in circle packings
我们推广工作的Bourgain-Kontorovich和张，证明了一个几乎本地到全球性质的曲率的某些圆包装，一大类Kleinian群。具体而言，我们关联在一个自然的方式，一个无限家庭的积分包装的圆的任何Kleinian群$\mathcal A\leq\textrm{PSL}_2(K)$满足一定的条件，其中$K$是一个虚二次域，并表明，曲率的圆在任何这样的包装满足几乎本地到全球的原则。在证明这一点的一个关键因素是，$\mathcal A$具有谱隙属性，我们证明任何无穷余体积，几何有限的，Zebraki密集Kleinian群在$\textrm{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$包含Zebraki密集子群的$\textrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$。
2017-08-07 math.NT
Effective bisector estimate with application to Apollonian circle packings
设Γ< \PSL（2，\C）是一个几何有限的非初等离散子群，其临界指数δ大于1.利用\PSL（2，\C）的表示论证明了一个有效的对分计数定理，该定理允许对\PSL（2，\C）中一般扩展区域中的点进行计数，并给出了一个显式的误差项.我们应用这一定理，以节省电源在阿波罗圆包装问题和相关的计数问题。
2012-04-24 math.NT
Prime and thickened prime components in Apollonian circle packings
受Sarnak问题启发，本文在Apollonian圆填充中引入了素数分量与加厚素数分量的概念，研究了曲率的剩余类、圆数量及素数分量数量，并计算分析了曲率高达约$10^{13}$的示例分量。
2025-04-30 math.NT
The local-global conjecture for Apollonian circle packings is false
本文证明阿波罗尼奥斯圆填充的局部-全局猜想对许多填充不成立，发现由二次与四次互反律产生的新障碍，并基于计算证据提出新猜想。
2024-09-05 math.NT
Gap Distributions in Circle Packings
我们确定的最近邻间距之间的切线到一个固定的圆在一类圆填充反射产生的分布。我们结合使用几何工具和自守形式理论。
2015-09-10 math.DS math.NT
Apollonian circle packings of the half-plane
我们考虑半欧几里德平面上的Apollonian圆填充。我们给出了两个这样的包装的充要条件相关的欧氏相似性（即，通过平移，反射，旋转和膨胀），并明确描述了一个给定的包装的自相似性组。我们观察到，包装与非平凡的自相似性对应的正实数的根的二次多项式的合理系数。这反映在阿波罗圆填料和连分数之间的密切联系，使我们能够完全分类这种包装的相似性。
2012-09-14 math.MG math.NT
The sensual Apollonian circle packing
积分阿波罗圆填充中的圆的曲率，以Perga的阿波罗纽斯（公元前262-190年）命名，形成了一个无限的整数集合，其丢番图性质最近引起了人们的兴趣。在这里，我们对建立在Z[i]^2的基集合研究基础上的阿波罗圆填充给出了一个新的描述，它受到康威的“感性二次型”的启发，并与之密切相关。
2014-03-12 math.MG math.NT
Eisenstein circle packings and the Eisenpint Schmidt arrangement
Saint Mary’s University（圣玛丽大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文研究了Eisenstein圆排列的数论性质，包括二次型家族、强近似、同余障碍和局部-整体密度，揭示了Eisenpint Schmidt安排与Eisenstein圆排列之间的关系。
2026-05-15 math.MG math.NT
On the Local-Global Principle for Integral Apollonian-3 Circle Packings
本文研究了Apollonian-3圆填充的积分性质，它是标准Apollonian圆填充的变形。具体地说，我们研究了约化理论，提出了一个局部-全局猜想，并证明了这个猜想的一个密度版本。一路上，我们证明了一个统一的谱间隙的对称群的同余塔。
2015-04-20 math.GR math.NT math.SP
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory II. Super-Apollonian Group and Integral Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。这样的填充可以用它们所包含的笛卡尔构型来描述。它观察到存在无穷多种类型的积分阿波罗填充，其中所有圆都具有整数曲率，积分结构与阿波罗群的积分性质有关。在这里，我们考虑一个更大的离散群，超阿波罗群，也有一个完整的结构，其轨道描述的笛卡尔四元组的几何对象，我们称之为超包装。超包装中的圆从不相互交叉，而是嵌套到任意深度。某些Apollonian填充和超填充是强积分的，因为所有圆的曲率是积分的，并且所有圆的曲率$\times$中心是积分的。我们表明，（规模）有8个不同的（几何）强积分超包装，每个包含一个副本的每一个完整的阿波罗圆包装（也规模）。我们证明了超Apollonian群在笛卡尔组态参数空间的所有自同构群中具有有限体积，它同构于洛伦兹群$O(3, 1)$ .
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
Apollonian circle packings: Dynamics and Number theory
我们给出了一个概述的各种计数问题的阿波罗圈包装，这原来是有关的问题，在动力学和数论薄群体。这篇调查文章是我为2013年秋季在京都RIMS举行的第13次高木讲座准备的讲义的扩展版本。
2014-01-23 math.DS math.GT math.NT
Effective Circle Count for Apollonian packings and Closed horospheres
本文的主要结果是对有界的或包含两条平行线的Apollonian圆填充的有效计数。我们证明了一个有效的等距分布的单位切丛的几何有限双曲3-流形的体积无限，其基本群的临界指数大于1的封闭horospheres。我们还讨论了仿射筛的应用。表面的类似结果也被处理。
2012-07-18 math.DS math.GT math.NT
Revisiting the hexagonal lattice: on optimal lattice circle packing
本文给出了$R^2$中六角格圈填充密度最高的经典事实的一个简单证明。与事后的好处，我们表明，这个问题可以被限制到一个重要的类的良好的圆形格，密度函数采取特别简单的形式。我们的证明强调了离散最优化问题的全面格的作用。
2009-11-20 math.CO math.MG math.NT
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
2023-10-16 math.MG math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory I. The Apollonian Group
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。我们观察到存在具有强积分性质的Apollonian填充，其中填充中的所有圆具有整数曲率和有理中心，使得（曲率）$\times$（中心）是整数向量.这一系列的论文解释了这些性质。{ \em Descartes configuration}是一组四个内部不相交的相切圆。我们描述的空间的所有笛卡尔配置使用的坐标系$\sM_\DD$组成的那些$4 \times 4$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$其中$\bQ_D$是矩阵的笛卡尔二次型$Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$和$\bQ_W$的二次型$Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$。在参数空间$\sM_\DD$上存在自然的群作用。我们观察到，笛卡尔配置在每个阿波罗包装形成一个轨道下的某个离散生成的群，{ \em阿波罗群}。这个群由$4 \times 4$整数矩阵组成，它的完整性性质导致了在一些阿波罗圆填充中观察到的完整性性质。我们引入了两个更相关的非线性生成群，对偶Apollonian群和超Apollonian群，它们具有很好的几何解释。我们证明了这些群是双曲Coxeter群。
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The Apollonian staircase
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
2023-02-23 math.MG math.NT
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Quaternion Orders and Sphere packings
我们介绍了一个模拟的Bianchi群的合理四元数代数，并用它来构建球包装，是类似的阿波罗圆包装被称为积分结晶包装。
2018-09-06 math.GR math.MG math.NT
