Apollonian circle packings of the half-plane
我们考虑半欧几里德平面上的Apollonian圆填充。我们给出了两个这样的包装的充要条件相关的欧氏相似性（即，通过平移，反射，旋转和膨胀），并明确描述了一个给定的包装的自相似性组。我们观察到，包装与非平凡的自相似性对应的正实数的根的二次多项式的合理系数。这反映在阿波罗圆填料和连分数之间的密切联系，使我们能够完全分类这种包装的相似性。
2012-09-14 math.MG math.NT
The sensual Apollonian circle packing
积分阿波罗圆填充中的圆的曲率，以Perga的阿波罗纽斯（公元前262-190年）命名，形成了一个无限的整数集合，其丢番图性质最近引起了人们的兴趣。在这里，我们对建立在Z[i]^2的基集合研究基础上的阿波罗圆填充给出了一个新的描述，它受到康威的“感性二次型”的启发，并与之密切相关。
2014-03-12 math.MG math.NT
Apollonian packings in seven and eight dimensions
在较早的工作中，我们提出了一个推广的阿波罗包装在任意维，并表明，所产生的对象在四，五，和六个维度的性质一致的阿波罗圆和球包装在二维和三维。在这项工作中，我们调查的推广，在7和8维，并表明，他们也有许多的性质，那些在较低的维度。特别是，超球面相切或不相交;它们填充超空间;对象包括相互相切的超球面的最大簇;并且存在对象中所有超球面都具有整数曲率的透视图。
2019-01-10 math.GR math.MG
From Apollonian packings to homogeneous sets
我们延长阿波罗包装，这构成了一个主要的研究对象，在数论的基本结果，某些齐次集自然出现在复杂的动力学和几何群论。特别地，我们给出了D的一个类似物。W. Boyd定理（将阿波罗填充的曲率分布函数与其指数和剩余集的豪斯多夫维数联系起来），用于Sierpienski地毯，即双曲有理映射的朱利亚集。
2014-02-23 math.DS math.MG math.NT
A note on unbounded Apollonian disk packings
给出了平面和半平面上两个无界Apollonian圆盘填充的构造和代数刻画。两者都涉及黄金分割。
2019-10-14 math.MG
Spinors, lattices, and classification of integral Apollonian disk packings
提出了一种用二维积分向量对积分笛卡尔构型（有效地是阿波罗圆盘填料）进行参数化的方法。这些向量，在这里称为切旋量，定义为切圆盘对，是与三维闵可夫斯基空间的克利福德代数相关的旋量。一个版本与泡利旋量。该构造为已知的丢番图方程参数化积分阿波罗填充提供了一种新的解释。
2020-01-15 math.MG
Apollonian Ball Packings and Stacked Polytopes
本文研究了维数为$d\ge 3$的Apollonian $d$ -球填充与堆叠$(d+1)$ -多面体之间的关系.对于$d=3$，我们证明了堆叠的$4$ -多面体的$1$ -骨架是阿波罗$3$ -球填充的切线图当且仅当没有六个$4$ -团共享一个$3$ -团.对于高维情形，我们得到了一些部分结果。
2013-12-23 math.CO math.MG
Quaternion Orders and Sphere packings
我们介绍了一个模拟的Bianchi群的合理四元数代数，并用它来构建球包装，是类似的阿波罗圆包装被称为积分结晶包装。
2018-09-06 math.GR math.MG math.NT
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Statistical Regularity of Apollonian Gaskets
阿波罗垫圈是通过用另外的相切圆重复填充三个相切圆之间的间隙而形成的。本文给出了固定Apollonian垫片的极限对相关和极限最近邻圆心间距的显式表达式。这些都是我们证明的矩收敛的推论。遍历论的输入是Mohammadi-Oh关于无限体积双曲空间中膨胀水平球等分布定理的推广。
2017-09-10 math.DS math.MG math.NT
Apollonian circles and hyperbolic geometry
本文的目的是研究双曲几何的两个基本问题。第一个问题是比较双曲距离和欧几里得距离。第二个问题是寻找一些基本尺规作图法的双曲对应，如双曲测地线线段的中点的作图。阿波罗圆在这项研究中起着关键作用。
2012-04-17 math.MG
The Apollonian staircase
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
2023-02-23 math.MG math.NT
Apollonian depth and the accidental fractal
引入了表示三个相切圆曲率的三个数深度函数。它的2D图导致相互相切的圆/盘的三元组的模空间的分区，这是一个出乎意料的美丽的分形，其一般形式类似于阿波罗圆盘包装，除了它由椭圆而不是圆组成。
2020-02-10 math.MG
Spatial Statistics of Apollonian Gaskets
阿波罗垫圈是通过用另外的相切圆重复填充四个相互相切的圆之间的空隙而形成的。我们实验研究了阿波罗垫片的对关联、静电能和最近邻圆心间距。即使这些圆的中心在任何“环境”空间中不是均匀分布的，经过适当的归一化，所有这些统计数据似乎都表现出一些有趣的限制行为。
2017-05-18 math-ph math.DS math.MG
Apollonian coronas and a new Zeta function
我们找到了一个公式的面积切到一个给定的磁盘在阿波罗磁盘包装（电晕）在某种新的算术Zeta函数。这个想法是基于“相切旋量”定义的切磁盘对。
2019-09-22 math.MG
Apollonian sets in taxicab geometry
在平面上固定两个点$p$和$q$，并固定一个正数$k \neq 1$。Perga的Apollonius的一个结果指出，满足$d(x, p)/d(x, q) = k$的点集$x$形成一个圆。本文研究出租车几何中的相似集。我们发现，虽然阿波罗集是不是taxicab圈，更复杂的阿波罗集可以用简单的。
2018-09-20 math.MG
Spinors and Descartes configurations of disks
本文定义了欧氏平面上切圆对的旋量，并证明了一些定理，其中一个可解释为“笛卡尔定理的平方根”。在任何阿波罗盘堆积中，旋量形成一个网络。在阿波罗窗口中，阿波罗圆盘填充的一个特例，所有的旋量都是积分的。
2019-09-16 math-ph math.MG math.MP
Hausdorff dimension of the Apollonian gasket
本文针对阿波罗尼奥斯垫片豪斯多夫维数缺乏闭形式且难以严格计算的问题，提出一种高效估计抛物极限集维数的方法，首次将其计算至128位小数并给出严格误差界，且有望推广至其他抛物分形。
2024-06-07 cs.NA math.DS math.MG
A game of packings
本文研究了一个无限单参数的圆填充族，每个圆填充族都有三个相切的圆。我们使用这些来生成一个无限集的圆填充与阿波罗属性。也就是说，填充中的每个圆都是四个相切圆的簇的成员。
2020-05-31 math.GT math.MG
Eisenstein circle packings and the Eisenpint Schmidt arrangement
Saint Mary’s University（圣玛丽大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文研究了Eisenstein圆排列的数论性质，包括二次型家族、强近似、同余障碍和局部-整体密度，揭示了Eisenpint Schmidt安排与Eisenstein圆排列之间的关系。
2026-05-15 math.MG math.NT
$3$-webs generated by confocal conics and circles
我们认为家庭的共焦二次曲线和两个铅笔的阿波罗圆具有相同的焦点。我们将证明这些曲线族生成平凡的3-网，并找到描述它们的精确公式。
2017-05-03 math.MG
Periodicity and Circle Packing in the Hyperbolic Plane
本文证明了给定一个固定的半径$r$，在双曲平面的“零”半径$r$ -圆填充上支撑的等距不变概率测度集在半径$r$ -圆填充空间上的所有等距不变概率测度空间中是稠密的.所谓周期堆积，我们指的是具有上有限对称群的堆积。作为推论，我们证明了在双曲平面的半径为$r$ -填充的空间上等距不变概率测度所达到的最大密度是周期填充密度的上确界.我们还证明了最大密度函数随半径连续变化。
2003-09-03 math.GR math.MG
Proof of Descartes circle formula and its generalization clarified
在他的谈话“积分阿波罗磁盘包装”彼得Sarnak问是否有一个“证明书”的笛卡尔定理的圆圈。本文给出了这样一个证明的一个候选
2019-10-21 math.HO math.MG
Calculating the sequences behind a hexagonal lattice based equal circle packing in the Euclidian plane
本文计算了欧几里得平面中基于六边形格子的等圆填充在圆形、等边三角形和等边六边形区域内的密度序列，发现等边六边形区域能更快收敛到理论极限π/(2√3)，是追求高填充密度的优选形状。
2024-01-18 math.MG
A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing
给出了图厄定理在圆填充上的一个简单证明.证明仅基于饱和圆构形中圆心点集的Delaunay三角剖分的密度分析。
2010-09-22 math.MG
Random walks of circle packings
引入了圆填充的随机游动概念。这一概念背后的几何进行了讨论，连同一些应用。特别地，我们得到了一个关于圆填充的类型问题的结果的简短证明，这表明圆填充的类型与其切图的类型密切相关。
1995-08-16 math.CV math.MG
A Taxonomy of Crystallographic Sphere Packings
在过去的半个世纪里，由平面上三个相互相切的圆产生的阿波罗圆填充启发了对其他类型的空间填充的研究，无论是在二维还是更高维。最近，Kontorovich和Nakamura引入了晶体球填充的概念，$n$ -具有对称群的球的维度填充是$\mathbb{H}^{n+1}$的等距。至少有三个来源，使晶体包装，即多面体，反射扩展Bianchi群，和各种高维二次型。当与Koebe-Andreev-Thurston定理一起应用时，Kontorovich和Nakamura的结构定理保证了从$n=2$中的多面体生成晶体学填充。结构定理同样允许我们从$n=2$中的反射扩展Bianchi群生成填充，通过应用Vinberg算法来获得适当的Coxeter图。在$n>2$中，当与Vinberg算法一起使用时，结构定理允许我们探索对于给定的二次型，$\mathbb{H}^{n+1}$中的某些Coxeter图是否允许填充。Kontorovich和Nakamura的线性定理表明，只存在1000类这样的超积分填充，它们都存在于$n\le20$维中。在这项工作中，我们系统地确定了所有已知的晶体球填料的例子。
2019-03-07 math.MG math.NT
Rigidity of Circle Packings with Flexible Radii
针对表示平面图且半径受等式与不等式约束的圆堆积，本文提出一阶刚性的对偶充分条件，并讨论超越一阶的刚性研究难点。
2025-08-31 math.CO math.MG
Recurrent random walks, Liouville's theorem, and circle packings
它已被证明，单价圆填充在复平面$\bold C$是唯一的$\bold C$的相似性。在这里，我们证明了有界度支圆填充适当覆盖$\bold C$是唯一确定的，直到$\bold C$的相似性，由他们的分支集。特别地，当所考虑的填充的分支集是空的，我们得到较早的结果。我们还建立了一个类似于Liouville定理的圆填充：如果$f$是一个圆填充映射，其区域填充是无限的，单叶的，并且有递归切图，那么与$f$相关的比率映射是无界的或常数的.
1995-05-10 math.CV math.MG
A Densest ternary circle packing in the plane
我们考虑平面上的圆填充，其圆的大小为$1$、$r\simeq 0.834$和$s\simeq 0.651$。这些尺寸是允许紧凑填充的代数数，即，其中每个孔由三个相互相切的圆形成的填充。人们认为，在可能的情况下，紧凑的填料可以使密度最大化。我们证明，这确实是这些尺寸的情况下。证明应该是可推广到其他尺寸，允许紧凑的包装，是第一步走向一般的结果。
2019-12-04 cs.CG math.MG
Revisiting the hexagonal lattice: on optimal lattice circle packing
本文给出了$R^2$中六角格圈填充密度最高的经典事实的一个简单证明。与事后的好处，我们表明，这个问题可以被限制到一个重要的类的良好的圆形格，密度函数采取特别简单的形式。我们的证明强调了离散最优化问题的全面格的作用。
2009-11-20 math.CO math.MG math.NT
Minimal Area of a Voronoi Cell in a Packing of Unit Circles
我们提出了一个新的自包含的证明众所周知的事实，即Voronoi细胞在单位圆包装的最小面积等于$2\sqrt{3}$，和最小的是实现了一个完美的六边形。证明是简短的，在我们看来，有指导意义。
2022-11-07 math.MG
The Voronoi Cell in a saturated Circle Packing and an elementary proof of Thue's theorem
著名的开普勒猜想有一个不那么引人注目的二维等价物：图厄定理指出，欧几里得平面上的密圈填充具有六边形结构。一个常见的证明使用Voronoi细胞，并分析其面积应用Jensen不等式的凸函数，以获得一个局部估计，这是全球有效的。基于Voronoi胞的概念，我们将引入一个新的镶嵌到所谓的L-三角形，它可以与基本平行四边形的格子圆包装。因此，一个整体无序的圆填充可以减少到局部有序的配置：我们将展示如何拉格朗日定理的格子圆填充可以适用于非格子圆填充。因此，我们得到了图厄定理的一个新的证明。
2019-05-13 math.HO math.MG
Approximation of analytic functions with prescribed boundary conditions by circle packing maps
我们使用最近的进展，在圆包装理论发展的一个建设性的方法近似的解析函数$F:Ω\to \bold C$的圆包装地图提供我们只给$Ω$，$|F'|\big|_Ω$，和一组临界点的$F$。这推广了Ithiel Carter和Burt Rodin [CR]关于无临界点的$F$的早期结果。
1995-01-25 math.CV math.MG
Optimal Packings of Two to Four Equal Circles on Any Flat Torus
我们发现明确的公式半径和位置的圆在所有的最佳密集包装的两个，三个或四个平等的圆在任何平面环面，定义为商的欧几里得平面所产生的晶格由两个独立的向量。我们证明了最优的安排使用刚性理论和拓扑图论的技术。
2019-05-14 math.MG
Mathematical analysis of 2D packing of circles on bounded and unbounded planes
本文给出了求圆弧（包括扇形、半圆和四分之一圆）和直线围成的平面区域内的内接圆或积圆的半径的解析公式、推广公式和递推关系式的数学推导。通过与MATLAB程序计算结果的比较，验证了用解析公式和递推关系计算得到的半径值的正确性。本文中使用的方法包装圆是确定性的启发式策略和优化技术不同。所导出的切圆平面堆积解析公式可推广到三维空间中球体的堆积和球面上类似于非点电荷分布的圆的堆积。本文给出并分析了在正六边形平面和无限平面上最密集的外切全同圆的堆积密度。该研究为解决二维容器中圆的密集堆积问题、球体在空隙（四面体和八面体）中的堆积问题以及寻找晶面上的平面密度问题奠定了基础。
2022-08-21 math.DG math.MG
Optimal packings of congruent circles on a square flat torus
我们考虑正方形平面环面上全等圆的填充，即，定期（w.r.t.正方形格子）平面圆填充，具有最大圆半径。这个问题是有趣的，由于一个实际的原因-问题的“超分辨率的图像。“我们已经找到了N=6，7和8圈的最佳安排。令人惊讶的是，对于N=7的情况，存在三种不同的最佳布置。我们的证明是基于计算机枚举的环形不可约接触图。
2012-12-06 math.CO math.MG
The Discrete Schwarz-Pick Lemma For Circle Packings Revisited
本文拓展圆填充离散Schwarz-Pick引理的适用范围，证明其在三角形权重满足附加条件时对反演距离$(-1,1]$的相交圆填充成立，同时构造反例说明其在$I\geq1$的相离圆填充中不成立。
2025-11-13 math.GT math.MG
Minimal surfaces from infinitesimal deformations of circle packings
我们研究了圆填充与组合的一个三角形的磁盘在平面上和参数化的变形圆填充的顶点旋转和交比。我们表明，有一个Weierstrass表示公式有关的无限小变形的圆包装离散极小曲面的Koebe型。而且，每一个Koebe型的极小曲面都可以自然地扩张为一般型的离散极小曲面.这样，通过Steiner公式得到的离散极小曲面就统一了.
2019-11-29 math.CV math.DG math.MG
A proof of the Koebe-Andre'ev-Thurston theorem via flow from tangency packings
最近，Connelly和Gortler通过引入一种混合组合几何操作flip-and-flow，给出了切向填充的圆填充定理的新证明，该操作允许两个切向填充的接触图通过组合边翻转而不同，从而从一个连续变形到另一个，同时保持所有公共边的相切。从具有期望数量的圆的规范相切圆填充开始，可以应用翻转和流动操作的有限序列来获得具有相同数量的圆的任何期望（适当）接触图的圆填充。在本文中，我们扩展了Connelly-Gortler方法，允许圆重叠的角度高达$π/2$。由此得到了$\mathbb{S}^2$上具有重叠的圆盘填充的广义Koebe-Andre'ev-Thurston定理的一个新的证明和计算它们的一个数值算法.我们的发展利用了$\mathbb{S}^2$上的圆和圆盘与四维闵可夫斯基时空$\mathbb{R}^{1,3}$中的超平面和半空间之间的对应关系，我们在第一节中对此进行了说明。利用这一观点，我们推广了一个概念的凸圆多面体，最近被用来证明全球刚性的某些圆包装。最后，我们用这个观点证明了所有凸圆多面体都是无穷小刚性的，推广了最近的一个相关结果。
2020-07-05 math.MG
Rigidity of Circle Packings with Crosscuts
具有特定切线模式的圆填充形成解析函数的离散对应。本文研究嵌入（或填充）有界单连通区域的单叶填充（以组合闭圆盘为切图）。我们引入了横切的概念，并研究了圆填充关于极大横切的刚性。主要结果是一个离散版本的解析函数的恒等式定理（在Schwarz引理的精神），它的影响，离散共形映射的唯一性声明。
2014-10-13 math.CV math.MG
On compact packings of the plane with circles of three radii
欧几里得平面的紧致圆包装$P$是一组圆，它们将相互不相交的开放圆盘结合在一起，具有以下性质：对于每个圆$S\in P$，存在最大索引集$\{A_{0},\ldots,A_{n-1}\}\subseteq P$，使得对于每个$i\in\{0,\ldots,n-1\}$，圆$A_{i}$与圆$S$和$A_{i+1\mod n}.$都相切。我们证明了存在至多$13617$对$(r,s)$和$0<s<r<1$，对于它们存在紧致圆。由半径为$s$、$r$和$1$的圆组成的平面的填充。我们讨论计算的确切值，这样的$0<s<r<1$多项式的根，并展示了一个选择的紧凑的圆包装组成的圆的三个半径。我们还讨论了明显的不可行性计算\emph{all}这些价值观的当代消费者的硬件与本文所采用的方法。
2019-07-28 math.CO math.MG
Extreme problems of circle packings on a sphere and irreducible contact graphs
最近，我们列举了单位球面上的所有局部刚性圆填充，直到等距，且圆数N<12。这个问题等价于不可约接触图的计数。在本文中，我们表明，通过使用不可约图的列表可以解决各种问题的极端包装，如Tammes问题的球和射影平面，最大接触问题，Danzer的和其他问题的不可约接触图。
2014-10-03 math.CO math.MG
Separating circles on the sphere by polygonal tilings
我们说，一个平铺分离盘的包装在欧几里德平面，如果每个瓷砖包含的只是一个成员的包装。证明圆盘的每一个局部有限填充都存在一个由凸多边形构成的分离镶嵌是一个已知的初等几何问题。在本文中，我们表明，这种分离性质仍然适用于球上和双曲平面的圆填充。此外，我们表明，在欧氏平面圆是唯一的凸盘，其包装与类似的副本总是可以分开的多边形平铺。类似的说法在球面上不成立，在双曲平面上也不知道。
2021-11-06 math.MG
Dense Packings of Congruent Circles in Rectangles with a Variable Aspect Ratio
我们使用计算实验，以找到一个给定的数量n的非重叠全等圆可以包装成最小面积的矩形。没有对矩形的形状做出任何假设。发现的大多数填料具有通常的规则正方形或六边形图案。然而，对于测试范围内的1495个n值，n =< 5000，具体地，对于n = 49、61、79、97、107、. 4999，我们证明，最优不可能实现这样的定期安排。证据表明，当n趋于无穷大时，包含最佳六边形排列的圆的矩形的极限高宽比趋于2-sqrt（3），如果极限存在的话。
2004-05-17 math.MG
Existence of Circle Packings on Translation Surfaces
本文研究平移曲面上圆堆积的实现问题，证明同一圆堆积可在特定层的不同曲面上实现，并分析接触图复杂度在低亏格及亏格大于2的层中的界与可能性。
2023-12-11 math.GT math.MG
Rigidity of Koebe Polyhedra and Inversive Distance Circle Packings
James Madison University（詹姆斯麦迪逊大学）；The Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Luxembourg（卢森堡大学）
该研究证明了在放宽条件下的Koebe多面体和反演距离圆打包的全局刚性，扩展了先前的刚性结果。
2026-03-08 math.MG
The existence of inversive distance circle packing on hyperbolic polyhedral surface
本文研究双曲多面体曲面上反演距离圆填充的存在唯一性，结合带翻边手术的离散 Ricci 流、加权 Delaunay 不等式及凸 Ricci 势变分原理完成证明。
2023-11-08 math.DG math.GT math.MG
A combinatorial criterion for macroscopic circles in planar triangulations
给定一个有限简单三角剖分，我们用Cannon顶点极值长度估计其圆填充中圆的大小。我们的估计提供了对包装中最大圆的大小的控制。利用它们，结合文献[12]的结果，证明了在Duplantier，Gwynne，Miller和Sheffield的离散树配对随机映射模型的适当圆填充中，最大圆的大小以很高的概率趋于零.
2019-06-04 math.MG math.PR
Curved Hexagonal Packings of Equal Disks in a Circle
对于每个k >= 1和相应的六角数h（k）= 3 k（k+1）+1，我们引入m（k）= max[（k-1）！/ 2，1]的圆内h（k）相等圆盘的填充，我们称之为“曲六边形填充”。7个圆盘（k = 1，m（1）=1）的弯曲六边形堆积是众所周知的，并且19个圆盘（k = 2，m（2）=1）中的一个先前已被证明是最佳的。新的37、61和91个圆盘的弯曲六方堆积（k = 3、4和5，m（3）=1，m（4）=3，m（5）=12）是我们使用所谓的“台球”模拟算法在计算机上获得的结果。弯曲的六边形堆积模式在60度旋转下是不变的。当k趋于无穷大时，曲面六角堆积的密度（覆盖分数）趋于π * π/12。该极限小于无限平面中已知的最佳盘填充的密度。我们发现磁盘配置比弯曲的六角形包装127，169，和217磁盘（k = 6，7和8）更密集。除了h（k）圆盘的新填充外，我们还给出了h（k）+1和h（k）-1圆盘的新填充，其中k ≤ 5，即，36、38、60、62、90和92个磁盘。额外的填充显示了k =< 5的弯曲六边形图案的“紧密性”：删除磁盘不会显著改变最佳填充及其质量，但添加磁盘会导致最佳填充的实质性重排并大大降低质量。
2004-06-06 math.MG
An algebraic approach to circle packing
School of Mathematics, Monash University（莫纳什大学数学学院）
本文针对曲面的特定三角剖分，提出用多项式方程组求解圆堆积的代数方法，还建立了旋量方法与经典欧氏几何的联系。
2026-08-05 math.AG math.GT math.MG
Perturbing the hexagonal circle packing: a percolation perspective
我们考虑半径为1/2的六角圆堆积，并通过让圆作为时间t上的独立布朗运动运动对其进行扰动。本文证明了，对于足够大的t，如果λ_t是由时刻t的圆心给出的点过程，则当t为\to \infty时，以λ_t为圆心的圆包含无穷分量的临界半径收敛于连续渗流的临界半径（Balister，Bollobás和Walters基于Monte Carlo估计证明了临界半径严格大于1/2）.另一方面，对于足够小的t，我们表明（使用Monte Carlo估计一个固定的，但高维的积分），工会的圆包含一个无限的连接组件。我们讨论一些扩展和开放的问题。
2012-01-12 math-ph math.MG math.MP
The existence of inversive distance circle packing on polyhedral surface
本文证明多面体曲面的离散共形等价类中存在唯一（相差缩放）达到给定 Gauss-Bonnet 曲率的反演距离圆堆积，并借助纤维丛结构与广义 Ptolemy 边翻转保证离散 Ricci 流收敛。
2023-11-02 math.DG math.GT math.MG
