Spatial Statistics of Apollonian Gaskets
阿波罗垫圈是通过用另外的相切圆重复填充四个相互相切的圆之间的空隙而形成的。我们实验研究了阿波罗垫片的对关联、静电能和最近邻圆心间距。即使这些圆的中心在任何“环境”空间中不是均匀分布的，经过适当的归一化，所有这些统计数据似乎都表现出一些有趣的限制行为。
2017-05-18 math-ph math.DS math.MG
Statistical Regularity of Apollonian Gaskets
阿波罗垫圈是通过用另外的相切圆重复填充三个相切圆之间的间隙而形成的。本文给出了固定Apollonian垫片的极限对相关和极限最近邻圆心间距的显式表达式。这些都是我们证明的矩收敛的推论。遍历论的输入是Mohammadi-Oh关于无限体积双曲空间中膨胀水平球等分布定理的推广。
2017-09-10 math.DS math.MG math.NT
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
2023-10-16 math.MG math.NT
The Apollonian staircase
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
2023-02-23 math.MG math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory III. Higher Dimensions
本文在第一部分和第二部分中给出了Apollonian圆填充的$n$ -维类似物.我们工作在空间$\sM_{\dd}^n$的所有$n$维定向笛卡尔配置参数化的坐标系，ACC坐标，作为那些$(n+2) \times (n+2)$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D,n} \bW = \bQ_{W,n}$其中$Q_{D,n} = x_1^2 +... + x_{n+2}^2 - \frac{1}{n}(x_1 +... + x_{n+2})^2$是$n$维笛卡尔二次型，$Q_{W,n} = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + ... + 2x_{n+2}^2$，和$\bQ_{D,n}$和$\bQ_{W,n}$是它们相应的对称矩阵。在参数空间$\sM_{\dd}^n$上有自然的动作。我们介绍$n$维类似物的阿波罗群，对偶阿波罗群和超阿波罗群。这些是具有以下积分性质的双生成群：对偶阿波罗群由所有维度的积分矩阵组成，而其他两个由有理矩阵组成，其中的分解子具有从有限集合$S$中提取的素因子，这取决于维度。我们证明了Apollonian群和对偶Apollonian群的存在性，并且证明了它们是Coxeter群.我们定义一个阿波罗集群合奏下的阿波罗组的任何轨道，与其他两个群体类似的概念。我们确定在哪些维度可以找到合理的阿波罗集群合奏（所有曲率合理）和强合理的阿波罗球合奏（所有ACC坐标合理…
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The Apollonian structure of Bianchi groups
本文研究了$\widehat{\mathbb{R}}$在$\widehat{\mathbb{C}}$上的Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$的Möbius作用下的轨道，其中$\mathcal{O}_K$是虚二次域$K$的整数环.轨道$\mathcal{S}_K$，称为施密特排列，是$K$的算术的几何实现，作为复杂的圆填充。本文给出了$\mathcal{S}_K$推广的Apollonian圆填充的某些子集的一个简单的几何特征，并证明了$\mathcal{S}_K$，考虑方向，是所有像$K$ -Apollonian填充这样的本原积分的不交并.这些填充由一类新的薄的算术兴趣称为$K$ -阿波罗群。我们对这些填充的曲率进行了一个猜想，推广了Apollonian圆填充的局部到全局猜想。
2015-10-08 math.GR math.MG math.NT
$3$-webs generated by confocal conics and circles
我们认为家庭的共焦二次曲线和两个铅笔的阿波罗圆具有相同的焦点。我们将证明这些曲线族生成平凡的3-网，并找到描述它们的精确公式。
2017-05-03 math.MG
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Hausdorff dimension of the Apollonian gasket
本文针对阿波罗尼奥斯垫片豪斯多夫维数缺乏闭形式且难以严格计算的问题，提出一种高效估计抛物极限集维数的方法，首次将其计算至128位小数并给出严格误差界，且有望推广至其他抛物分形。
2024-06-07 cs.NA math.DS math.MG
Proof of Descartes circle formula and its generalization clarified
在他的谈话“积分阿波罗磁盘包装”彼得Sarnak问是否有一个“证明书”的笛卡尔定理的圆圈。本文给出了这样一个证明的一个候选
2019-10-21 math.HO math.MG
Apollonian carpets and the boundary of the Kahler cone of a hyperkahler manifold
HSE University（高等经济大学）
该研究探讨超Kähler流形丰沛锥的迷向边界与全纯自同构群动力学的关系，证明迷向边界上无理点均属极限集，实解析曲线含于测地球面，还研究了Apollonian地毯的分形几何及其与自同构群的关联。
2026-10-21 math.AG math.MG
On a Fabric of Kissing Circles
本文通过圆反演构建亲吻圆织物，证明其框架圆曲率为双无限等差数列、链圆曲率为二次双序列，并应用结果解决两个算额问题。
2020-10-20 math.MG
Rigidity of Circle Polyhedra in the 2-Sphere and of Hyperideal Polyhedra in Hyperbolic 3-Space
本文将Cauchy关于欧氏$3$ -空间$\mathbb{E}^{3}$中凸多面体整体刚性的著名定理推广到$2$ -球面$\mathbb{S}^{2}$中的圆多面体.证明了任意两个具有一致定向的Möbius全等面的凸的和真的非酉的c-多面体都是Möbius全等的。我们的结果包含了黎曼球面中凸反距离圆填充的整体刚性以及$\mathbb{H}^{3}$中某些超理想双曲多面体的整体刚性。
2017-06-01 math.MG
Apollonius "circle" in Hyperbolic Geometry
在欧几里德几何中，阿波罗尼斯圆是平面上的点的轨迹，从该轨迹上，两个共线的相邻线段被认为具有相同的长度。在双曲几何中，这个轨迹的类似物是四次的代数曲线，它可以是有界的或“无界的”。我们研究这个轨迹，并给出了一个简单的描述，这条曲线使用半平面模型。最后，我们给出了我们研究的动机，并计算了三个共线相邻段可以被视为相同的正长度的概率，在一些自然的假设下的设置的随机性考虑。
2016-12-05 math.MG
On Problem of Best Circle to Discontinuous Groups in Hyperbolic Plane
在Bolyai-Lobachevsky双曲平面上，给出了不连续群的基本区的最大内切圆的刻划.我们给出了Poincare-Delone问题的一些已知的基本事实和内切圆的存在性概念。本文研究了群G = [3，3，3，3]的最佳圆，其转动中心为4个，每个转动中心的阶数为3。利用拉格朗日乘子法描述最佳内切圆的特性。该方法可以应用于G = [3，3，3，.，3]通过越来越多的计算，至少有4个旋转中心，每个旋转中心的阶数为3。我们观察到一个更几何定理2，最大半径是通过相等的角度在等价的中心和额外的顶点平凡稳定，分别获得。定理3将结束我们的论证，其中引理3和引理4起着关键作用。
2022-12-30 math.MG
A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem
本文将解释七圆定理与双曲几何的联系，并证明一个关于双曲几何六边形的更强结果，该结果将七圆定理作为一个特例.
2019-11-01 math.HO math.MG
Rigidity of Koebe Polyhedra and Inversive Distance Circle Packings
James Madison University（詹姆斯麦迪逊大学）；The Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Luxembourg（卢森堡大学）
该研究证明了在放宽条件下的Koebe多面体和反演距离圆打包的全局刚性，扩展了先前的刚性结果。
2026-03-08 math.MG
On some classical constructions extended to hyperbolic geometry
我们考虑双曲几何中的一些构造，它们类似于欧几里得几何中的经典构造。证明了Monge定理和三圆公共弦重合定理在绝对几何中也成立。我们提供了类似的欧拉线和欧拉九点圆，也推广了费尔巴哈的著名定理。
2011-05-11 math.MG
Beyond the Descartes circle theorem
笛卡尔圆定理指出，如果四个圆以不相交的交点相切，则它们的曲率（或“弯曲”）b_j = 1/r_j满足关系式（b_1 + b_2 + b_3 + b_4）^2 = 2（b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2）。我们发现，类似的关系举行涉及在这样的配置，协调为复数，产生一个复杂的笛卡尔定理的圆心。这些关系有矩阵推广到n维的情况下，在每一个欧几里德，球面和双曲几何，他们包括一个笛卡尔圆定理的球面和双曲空间。
2001-01-09 math.MG
Quasi-circles through prescribed points
本文证明了在L-环线性连通的N-加倍完全度量空间中，任意n个点位于K-拟圆上，其中K只依赖于L，N和n.这意味着，例如，如果G是一个双曲群，不分裂任何虚拟循环子群，则G中的任何测地线位于双曲平面的拟等距嵌入副本中。
2013-10-26 math.MG
On the inverse problem of Moebius geometry on the circle
任何（边界连续的）双曲空间在无穷远处的边界上诱导出一个反映该空间最基本的渐近性质的Moebius结构。本文首先研究了由双曲空间至少在圆的最简单情形下诱导的Moebius结构的反问题。对于一个大类的Moebius结构上的圆，我们定义了一个典型的“填充”他们中的每一个，这是一个自然的候选人的逆问题的解决方案。这是一个3维（伪）度量空间Harm，它由相应的Moebius结构的调和4元组组成，距离由锯齿形路径确定。我们的主要结果是证明，每一条线在伤害是测地线，即，每段上的Z字形距离最短。这提供了一个很好的起点，表明伤害是格罗莫夫双曲与规定的莫比乌斯结构在无穷大。
2018-10-07 math.MG
Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area
这第二部分的多边形在双曲平面是基于第一部分，其中涉及的唯一性和存在性的共循环多边形规定的边长。这里的主题是这些多边形面积的最大值问题。证明了最大副本必须是上循环的、有向凸的或具有特殊的共线形状。最大副本是唯一的刚性双曲运动。共圈性是指顶点位于距离圆、距离线或均圈上，这三种类型的圈在双曲平面上。不同的圆类型的现象与欧几里得的情况形成鲜明的对比，并为双曲讨论中的各种困难付出了代价。
2010-08-23 math.MG
Periodicity and Circle Packing in the Hyperbolic Plane
本文证明了给定一个固定的半径$r$，在双曲平面的“零”半径$r$ -圆填充上支撑的等距不变概率测度集在半径$r$ -圆填充空间上的所有等距不变概率测度空间中是稠密的.所谓周期堆积，我们指的是具有上有限对称群的堆积。作为推论，我们证明了在双曲平面的半径为$r$ -填充的空间上等距不变概率测度所达到的最大密度是周期填充密度的上确界.我们还证明了最大密度函数随半径连续变化。
2003-09-03 math.GR math.MG
On a Configuration with Circle-Conic Tangency and Sharygin Points
本文研究圆与圆锥曲线两次相切的构型，通过沙里金点和双曲几何给出主定理的两种证明，并应用于奥林匹克竞赛问题，展示了非欧几何与经典平面几何结合的有效性。
2025-10-16 math.MG
Generalized Apollonius Circles As Equioptic Curves Of Circles In Constants Curvature Geometries
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；University of Debrecen（德布勒森大学）
本文扩展了阿波罗尼奥斯圆的定义，使其在欧几里得几何中保持一致，同时在双曲和球面几何中更方便。证明了两个圆心的阿波罗尼奥斯圆与等光曲线一致。
2026-05-14 math.MG
Hyperbolic plane geometry revisited
利用C. Vörös，我们建立结果在双曲平面几何，相关的三角形和圆。给出了Malfatti问题的一个模型无关的构造和几个三角形的三角公式。
2014-10-24 math.MG
Uniformization of Gromov hyperbolic domains by circle domains
Stony Brook University（石溪大学）
本文证明了黎曼球面上的域为Gromov双曲当且仅当共形等价于均匀圆域，解决了Bonk-Heinonen-Koskela猜想并验证了Koebe猜想，且均匀化映射在Möbius变换下唯一。
2024-05-22 math.CV math.MG
Möbius structures and timed causal spaces on the circle
我们讨论了双曲空间和时空之间的对偶性，它们生活在共同绝对空间的对边。这种对偶通过绝对上的莫比乌斯结构，并且在对称秩1空间的经典情况下很容易识别。在一般情况下，这种对偶性的踪迹是未知的。作为这个方向的第一步，我们展示了如何莫比乌斯结构的循环从一个大类，包括那些干从双曲空间产生的二维时空，这是公理版本的德西特2-空间，反之亦然。本文有两个附录，其中之一是由V.施罗德。
2017-05-01 math.MG
Schellbach-style Formulae for the Derousseau-Pampuch Generalizations of the Malfatti Circles
已知存在32个三元组的圆，使得每个圆与其他两个圆相切，并且与三角形的两条边或它们的延伸相切。我们提供的公式，以获得半径的圆的32个三元组的每一个从参考三角形的边长通过三角函数或双曲函数。
2013-04-19 math.MG
Inverse problem for Moebius geometry on the circle
给出了圆上Moebius几何反问题的一种解法。也就是说，我们描述了圆上的一类Moebius结构，其中每个Moebius结构都存在一个双曲空间，使得它的无穷远边界是圆，并且导出的Moebius结构与给定的Moebius结构重合.这个类不是空的，并且在适当的精细拓扑中形成了规范Moebius结构的开邻域。
2019-09-13 math.MG
The existence of inversive distance circle packing on hyperbolic polyhedral surface
本文研究双曲多面体曲面上反演距离圆填充的存在唯一性，结合带翻边手术的离散 Ricci 流、加权 Delaunay 不等式及凸 Ricci 势变分原理完成证明。
2023-11-08 math.DG math.GT math.MG
On cyclic quadrilaterals in euclidean and hyperbolic geometries
在单位圆上按正序排列的四个点确定四边形的顶点，四边形被认为是欧几里得四边形或双曲四边形，这取决于连接顶点的线是欧几里得线还是双曲线。在双曲线的情况下，这种类型的四边形称为理想四边形。我们的主要结果给出了一个欧几里德对应的早期结果的双曲距离之间的对边的理想四边形。证明是基于计算涉及双曲几何。我们还得到了单位圆盘内双曲测地线线段的双曲中点的一个新公式。作为某些几何性质的应用，我们给出了单位圆上任意四点关于一个直径对称化的欧氏构造，它保持了四元组的绝对交比。
2020-06-07 math.HO math.MG
Packable hyperbolic surfaces with symmetries
我们讨论了用圆（半径变化或全等）或均方圆填充双曲曲面的几种方法，并记录了与它们的对称性（或不对称性）有关的一些观察结果。
2022-02-18 math.CO math.GT math.MG
Characterizations of infinite circle patterns and convex polyhedra in hyperbolic 3-space
本文研究了双曲三维空间中无限圆图案和凸多面体的特征化问题，证明了当0≤Θ<π时无限圆图案的刚性和统一化定理，并解决了正则圆图案的分类问题。
2026-04-28 math.CV math.DG math.GT
Spherical and hyperbolic orthogonal ring patterns: integrability and variational principles
本文在球面与双曲平面引入正交环模式，证明其半径由离散可积系统Q4描述，给出基于对数函数椭圆推广的变分原理，并证明了边值问题的存在唯一性及其与常均曲率离散表面的关系。
2024-10-11 math-ph math.CV math.DG
