Minimal Area of a Voronoi Cell in a Packing of Unit Circles
A. Mazel, I. Stuhl, Y. Suhov
我们提出了一个新的自包含的证明众所周知的事实，即Voronoi细胞在单位圆包装的最小面积等于$2\sqrt{3}$，和最小的是实现了一个完美的六边形。证明是简短的，在我们看来，有指导意义。
We present a new self-contained proof of the well-known fact that the minimal area of a Voronoi cell in a unit circle packing is equal to $2\sqrt{3}$, and the minimum is achieved only on a perfect hexagon. The proof is short and, in our opinion, instructive.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Improving Rogers' upper bound for the density of unit ball packings via estimating the surface area of Voronoi cells from below in Euclidean d-space for all d>7
球填充问题要求单位球在d维欧几里得空间中的稠密填充。这个问题有其根源的几何，数论，它是一部分希尔伯特的第18个问题。1958年C. A.罗杰斯证明了一个非平凡的上界的密度单位球填充在d维欧几里得空间的所有d>0。1978年Kabatjanskii和Levenstein改进了大d的这个界。事实上，罗杰斯的界限是目前已知的43>d>3的最佳界限，在此之上，Kabatjanskiii-Levenstein界限接管。本文改进了Rogers关于欧氏d-空间中单位球填充密度的上界，其中d>7。我们这样做是通过估计从下面的表面积的Voronoi细胞在任何包装的单位球在欧几里德d-空间的所有d>7。
The Voronoi Cell in a saturated Circle Packing and an elementary proof of Thue's theorem
著名的开普勒猜想有一个不那么引人注目的二维等价物：图厄定理指出，欧几里得平面上的密圈填充具有六边形结构。一个常见的证明使用Voronoi细胞，并分析其面积应用Jensen不等式的凸函数，以获得一个局部估计，这是全球有效的。基于Voronoi胞的概念，我们将引入一个新的镶嵌到所谓的L-三角形，它可以与基本平行四边形的格子圆包装。因此，一个整体无序的圆填充可以减少到局部有序的配置：我们将展示如何拉格朗日定理的格子圆填充可以适用于非格子圆填充。因此，我们得到了图厄定理的一个新的证明。
Two-Fold Circle-Covering of the Plane under Congruent Voronoi Polygon Conditions
$k$ -覆盖问题是找到最小数量的圆盘，使得给定平面中的每个点至少被$k$圆盘覆盖。在单位圆盘条件下，当$k$ =1时，Kershner在1939年解决了这个问题.但是，当$k > 1$，它变得极其困难。有人试图用不同的限制来解决这个问题。本文将约束条件限定为全等Voronoi多边形，并证明了在这种约束条件下两覆盖的最小密度。我们的证明比Yun等人最近给出的证明更简单，更严格。
Calculating the sequences behind a hexagonal lattice based equal circle packing in the Euclidian plane
本文计算了欧几里得平面中基于六边形格子的等圆填充在圆形、等边三角形和等边六边形区域内的密度序列，发现等边六边形区域能更快收敛到理论极限π/(2√3)，是追求高填充密度的优选形状。
A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing
给出了图厄定理在圆填充上的一个简单证明.证明仅基于饱和圆构形中圆心点集的Delaunay三角剖分的密度分析。
Optimal Packings of Two to Four Equal Circles on Any Flat Torus
我们发现明确的公式半径和位置的圆在所有的最佳密集包装的两个，三个或四个平等的圆在任何平面环面，定义为商的欧几里得平面所产生的晶格由两个独立的向量。我们证明了最优的安排使用刚性理论和拓扑图论的技术。
A proof of the Koebe-Andre'ev-Thurston theorem via flow from tangency packings
最近，Connelly和Gortler通过引入一种混合组合几何操作flip-and-flow，给出了切向填充的圆填充定理的新证明，该操作允许两个切向填充的接触图通过组合边翻转而不同，从而从一个连续变形到另一个，同时保持所有公共边的相切。从具有期望数量的圆的规范相切圆填充开始，可以应用翻转和流动操作的有限序列来获得具有相同数量的圆的任何期望（适当）接触图的圆填充。在本文中，我们扩展了Connelly-Gortler方法，允许圆重叠的角度高达$π/2$。由此得到了$\mathbb{S}^2$上具有重叠的圆盘填充的广义Koebe-Andre'ev-Thurston定理的一个新的证明和计算它们的一个数值算法.我们的发展利用了$\mathbb{S}^2$上的圆和圆盘与四维闵可夫斯基时空$\mathbb{R}^{1,3}$中的超平面和半空间之间的对应关系，我们在第一节中对此进行了说明。利用这一观点，我们推广了一个概念的凸圆多面体，最近被用来证明全球刚性的某些圆包装。最后，我们用这个观点证明了所有凸圆多面体都是无穷小刚性的，推广了最近的一个相关结果。
Separating circles on the sphere by polygonal tilings
我们说，一个平铺分离盘的包装在欧几里德平面，如果每个瓷砖包含的只是一个成员的包装。证明圆盘的每一个局部有限填充都存在一个由凸多边形构成的分离镶嵌是一个已知的初等几何问题。在本文中，我们表明，这种分离性质仍然适用于球上和双曲平面的圆填充。此外，我们表明，在欧氏平面圆是唯一的凸盘，其包装与类似的副本总是可以分开的多边形平铺。类似的说法在球面上不成立，在双曲平面上也不知道。
Dense Packings of Congruent Circles in Rectangles with a Variable Aspect Ratio
我们使用计算实验，以找到一个给定的数量n的非重叠全等圆可以包装成最小面积的矩形。没有对矩形的形状做出任何假设。发现的大多数填料具有通常的规则正方形或六边形图案。然而，对于测试范围内的1495个n值，n =< 5000，具体地，对于n = 49、61、79、97、107、. 4999，我们证明，最优不可能实现这样的定期安排。证据表明，当n趋于无穷大时，包含最佳六边形排列的圆的矩形的极限高宽比趋于2-sqrt（3），如果极限存在的话。
The Dodecahedron as a Voronoi Cell and its (minor) importance for the Kepler conjecture
正十二面体的体积比菱形十二面体小2%，菱形十二面体是fcc填料的Voronoi单元。从这个观点看来，十二面体的方面，这是所谓的十二面体猜想的核心，似乎可能会发挥重要作用的基本证明开普勒猜想。在本文中，我们将表明，由十二面体导致的二十面体配置四面体显着大于体积比fcc基本平行六面体镶嵌四面体。因此，基于一个四面体为基础的观点，球的包装密度，我们将证明次要的十二面体作为一个Voronoi细胞的开普勒猜想。
Random walks of circle packings
引入了圆填充的随机游动概念。这一概念背后的几何进行了讨论，连同一些应用。特别地，我们得到了一个关于圆填充的类型问题的结果的简短证明，这表明圆填充的类型与其切图的类型密切相关。
Rigidity of Koebe Polyhedra and Inversive Distance Circle Packings
该研究证明了在放宽条件下的Koebe多面体和反演距离圆打包的全局刚性，扩展了先前的刚性结果。
Rigidity of Circle Packings with Flexible Radii
针对表示平面图且半径受等式与不等式约束的圆堆积，本文提出一阶刚性的对偶充分条件，并讨论超越一阶的刚性研究难点。
Recurrent random walks, Liouville's theorem, and circle packings
它已被证明，单价圆填充在复平面$\bold C$是唯一的$\bold C$的相似性。在这里，我们证明了有界度支圆填充适当覆盖$\bold C$是唯一确定的，直到$\bold C$的相似性，由他们的分支集。特别地，当所考虑的填充的分支集是空的，我们得到较早的结果。我们还建立了一个类似于Liouville定理的圆填充：如果$f$是一个圆填充映射，其区域填充是无限的，单叶的，并且有递归切图，那么与$f$相关的比率映射是无界的或常数的.
Curved Hexagonal Packings of Equal Disks in a Circle
对于每个k >= 1和相应的六角数h（k）= 3 k（k+1）+1，我们引入m（k）= max[（k-1）！/ 2，1]的圆内h（k）相等圆盘的填充，我们称之为“曲六边形填充”。7个圆盘（k = 1，m（1）=1）的弯曲六边形堆积是众所周知的，并且19个圆盘（k = 2，m（2）=1）中的一个先前已被证明是最佳的。新的37、61和91个圆盘的弯曲六方堆积（k = 3、4和5，m（3）=1，m（4）=3，m（5）=12）是我们使用所谓的“台球”模拟算法在计算机上获得的结果。弯曲的六边形堆积模式在60度旋转下是不变的。当k趋于无穷大时，曲面六角堆积的密度（覆盖分数）趋于π * π/12。该极限小于无限平面中已知的最佳盘填充的密度。我们发现磁盘配置比弯曲的六角形包装127，169，和217磁盘（k = 6，7和8）更密集。除了h（k）圆盘的新填充外，我们还给出了h（k）+1和h（k）-1圆盘的新填充，其中k ≤ 5，即，36、38、60、62、90和92个磁盘。额外的填充显示了k =< 5的弯曲六边形图案的“紧密性”：删除磁盘不会显著改变最佳填充及其质量，但添加磁盘会导致最佳填充的实质性重排并大大降低质量。
A Densest ternary circle packing in the plane
我们考虑平面上的圆填充，其圆的大小为$1$、$r\simeq 0.834$和$s\simeq 0.651$。这些尺寸是允许紧凑填充的代数数，即，其中每个孔由三个相互相切的圆形成的填充。人们认为，在可能的情况下，紧凑的填料可以使密度最大化。我们证明，这确实是这些尺寸的情况下。证明应该是可推广到其他尺寸，允许紧凑的包装，是第一步走向一般的结果。
A game of packings
本文研究了一个无限单参数的圆填充族，每个圆填充族都有三个相切的圆。我们使用这些来生成一个无限集的圆填充与阿波罗属性。也就是说，填充中的每个圆都是四个相切圆的簇的成员。
Approximation of analytic functions with prescribed boundary conditions by circle packing maps
我们使用最近的进展，在圆包装理论发展的一个建设性的方法近似的解析函数$F:Ω\to \bold C$的圆包装地图提供我们只给$Ω$，$|F'|\big|_Ω$，和一组临界点的$F$。这推广了Ithiel Carter和Burt Rodin [CR]关于无临界点的$F$的早期结果。
Periodicity and Circle Packing in the Hyperbolic Plane
本文证明了给定一个固定的半径$r$，在双曲平面的“零”半径$r$ -圆填充上支撑的等距不变概率测度集在半径$r$ -圆填充空间上的所有等距不变概率测度空间中是稠密的.所谓周期堆积，我们指的是具有上有限对称群的堆积。作为推论，我们证明了在双曲平面的半径为$r$ -填充的空间上等距不变概率测度所达到的最大密度是周期填充密度的上确界.我们还证明了最大密度函数随半径连续变化。
Mathematical analysis of 2D packing of circles on bounded and unbounded planes
本文给出了求圆弧（包括扇形、半圆和四分之一圆）和直线围成的平面区域内的内接圆或积圆的半径的解析公式、推广公式和递推关系式的数学推导。通过与MATLAB程序计算结果的比较，验证了用解析公式和递推关系计算得到的半径值的正确性。本文中使用的方法包装圆是确定性的启发式策略和优化技术不同。所导出的切圆平面堆积解析公式可推广到三维空间中球体的堆积和球面上类似于非点电荷分布的圆的堆积。本文给出并分析了在正六边形平面和无限平面上最密集的外切全同圆的堆积密度。该研究为解决二维容器中圆的密集堆积问题、球体在空隙（四面体和八面体）中的堆积问题以及寻找晶面上的平面密度问题奠定了基础。
Optimal packings of congruent circles on a square flat torus
我们考虑正方形平面环面上全等圆的填充，即，定期（w.r.t.正方形格子）平面圆填充，具有最大圆半径。这个问题是有趣的，由于一个实际的原因-问题的“超分辨率的图像。“我们已经找到了N=6，7和8圈的最佳安排。令人惊讶的是，对于N=7的情况，存在三种不同的最佳布置。我们的证明是基于计算机枚举的环形不可约接触图。
Apollonian circle packings of the half-plane
我们考虑半欧几里德平面上的Apollonian圆填充。我们给出了两个这样的包装的充要条件相关的欧氏相似性（即，通过平移，反射，旋转和膨胀），并明确描述了一个给定的包装的自相似性组。我们观察到，包装与非平凡的自相似性对应的正实数的根的二次多项式的合理系数。这反映在阿波罗圆填料和连分数之间的密切联系，使我们能够完全分类这种包装的相似性。
The Discrete Schwarz-Pick Lemma For Circle Packings Revisited
本文拓展圆填充离散Schwarz-Pick引理的适用范围，证明其在三角形权重满足附加条件时对反演距离$(-1,1]$的相交圆填充成立，同时构造反例说明其在$I\geq1$的相离圆填充中不成立。
Locally optimal 2-periodic sphere packings
球体填充问题是一个古老的难题。我们考虑在晶胞中有m个球的填充（m-周期填充）。对于m = 1（格填充）的情形，Voronoi证明了存在多个不等价的局部最优解，并给出了一个算法来枚举它们，而且这种计算已经在d = 8维的情形下实现。本文将Voronoi方法推广到m > 1，并给出了一个计算任意维上所有局部最优2-周期球填充的方法，只要有n个局部最优2-周期球填充.我们在d = 3，4和5中实现了这一计算，并表明在这些维度中没有2-周期填充超过最佳晶格的密度。在d = 6中执行部分枚举。
Lattice packings with gap defects are not completely saturated
我们表明，蜂窝圆形填充在$\R^2$与线性间隙缺陷不能完全饱和，无论多么狭窄的间隙。这个结果是由G.费耶斯托斯湾Kuperberg和W. Kuperberg提出了一个问题，即具有线性位移缺陷的蜂窝状圆形堆积是否是完全饱和的。我们还表明，一个面心立方球形填充在$\R^3$与平面间隙缺陷也不完全饱和。
Rigidity of Circle Packings with Crosscuts
具有特定切线模式的圆填充形成解析函数的离散对应。本文研究嵌入（或填充）有界单连通区域的单叶填充（以组合闭圆盘为切图）。我们引入了横切的概念，并研究了圆填充关于极大横切的刚性。主要结果是一个离散版本的解析函数的恒等式定理（在Schwarz引理的精神），它的影响，离散共形映射的唯一性声明。
The sensual Apollonian circle packing
积分阿波罗圆填充中的圆的曲率，以Perga的阿波罗纽斯（公元前262-190年）命名，形成了一个无限的整数集合，其丢番图性质最近引起了人们的兴趣。在这里，我们对建立在Z[i]^2的基集合研究基础上的阿波罗圆填充给出了一个新的描述，它受到康威的“感性二次型”的启发，并与之密切相关。
On compact packings of the plane with circles of three radii
欧几里得平面的紧致圆包装$P$是一组圆，它们将相互不相交的开放圆盘结合在一起，具有以下性质：对于每个圆$S\in P$，存在最大索引集$\{A_{0},\ldots,A_{n-1}\}\subseteq P$，使得对于每个$i\in\{0,\ldots,n-1\}$，圆$A_{i}$与圆$S$和$A_{i+1\mod n}.$都相切。我们证明了存在至多$13617$对$(r,s)$和$0<s<r<1$，对于它们存在紧致圆。由半径为$s$、$r$和$1$的圆组成的平面的填充。我们讨论计算的确切值，这样的$0<s<r<1$多项式的根，并展示了一个选择的紧凑的圆包装组成的圆的三个半径。我们还讨论了明显的不可行性计算\emph{all}这些价值观的当代消费者的硬件与本文所采用的方法。
Eisenstein circle packings and the Eisenpint Schmidt arrangement
本文研究了Eisenstein圆排列的数论性质，包括二次型家族、强近似、同余障碍和局部-整体密度，揭示了Eisenpint Schmidt安排与Eisenstein圆排列之间的关系。
The Strong Dodecahedral Conjecture and Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
本文简述了欧氏空间中关于球面填充的两个定理的证明。第一个是K。Bezdek强十二面体猜想：半径为1的球的堆积中的每个有界Voronoi胞的表面积至少是半径为1的正十二面体的表面积。第二个定理是L。Toth的接触猜想，它断言在三维空间中，任何全等球的包装，使得每个球都被其他12个球接触，都由六边形层组成。这两个证明都是计算机辅助的。这些定理的完整证明出现在作者的著作《稠密球填充》和相关的预印本中
Extreme problems of circle packings on a sphere and irreducible contact graphs
最近，我们列举了单位球面上的所有局部刚性圆填充，直到等距，且圆数N<12。这个问题等价于不可约接触图的计数。在本文中，我们表明，通过使用不可约图的列表可以解决各种问题的极端包装，如Tammes问题的球和射影平面，最大接触问题，Danzer的和其他问题的不可约接触图。
Minimal surfaces from infinitesimal deformations of circle packings
我们研究了圆填充与组合的一个三角形的磁盘在平面上和参数化的变形圆填充的顶点旋转和交比。我们表明，有一个Weierstrass表示公式有关的无限小变形的圆包装离散极小曲面的Koebe型。而且，每一个Koebe型的极小曲面都可以自然地扩张为一般型的离散极小曲面.这样，通过Steiner公式得到的离散极小曲面就统一了.
Average kissing numbers for non-congruent sphere packings
柯比圈填充定理指出，每个有限可平面图都可以被实现为R^3中（非全等）圈的填充的神经。我们研究了R^3中非全等球面有限填充的平均吻数，作为对这种填充可能的神经的第一个限制。我们证明了所有填充的平均接吻数的上确界k满足12.566 ~ 666/53 <= k < 8 + 4*sqrt（3）~ 14.928.我们利用资源耗尽论证得到了上界的上界，并利用S^3中包含球冠填充的构造得到了上界的上界.我们的结果与两个关于平均接吻数的天真假设相矛盾：它是无界的，或者它是由全等球面的无限堆积而最大化的。
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory II. Super-Apollonian Group and Integral Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。这样的填充可以用它们所包含的笛卡尔构型来描述。它观察到存在无穷多种类型的积分阿波罗填充，其中所有圆都具有整数曲率，积分结构与阿波罗群的积分性质有关。在这里，我们考虑一个更大的离散群，超阿波罗群，也有一个完整的结构，其轨道描述的笛卡尔四元组的几何对象，我们称之为超包装。超包装中的圆从不相互交叉，而是嵌套到任意深度。某些Apollonian填充和超填充是强积分的，因为所有圆的曲率是积分的，并且所有圆的曲率$\times$中心是积分的。我们表明，（规模）有8个不同的（几何）强积分超包装，每个包含一个副本的每一个完整的阿波罗圆包装（也规模）。我们证明了超Apollonian群在笛卡尔组态参数空间的所有自同构群中具有有限体积，它同构于洛伦兹群$O(3, 1)$ .
Existence of Circle Packings on Translation Surfaces
本文研究平移曲面上圆堆积的实现问题，证明同一圆堆积可在特定层的不同曲面上实现，并分析接触图复杂度在低亏格及亏格大于2的层中的界与可能性。
A combinatorial criterion for macroscopic circles in planar triangulations
给定一个有限简单三角剖分，我们用Cannon顶点极值长度估计其圆填充中圆的大小。我们的估计提供了对包装中最大圆的大小的控制。利用它们，结合文献[12]的结果，证明了在Duplantier，Gwynne，Miller和Sheffield的离散树配对随机映射模型的适当圆填充中，最大圆的大小以很高的概率趋于零.
The existence of inversive distance circle packing on hyperbolic polyhedral surface
本文研究双曲多面体曲面上反演距离圆填充的存在唯一性，结合带翻边手术的离散 Ricci 流、加权 Delaunay 不等式及凸 Ricci 势变分原理完成证明。
Revisiting the hexagonal lattice: on optimal lattice circle packing
本文给出了$R^2$中六角格圈填充密度最高的经典事实的一个简单证明。与事后的好处，我们表明，这个问题可以被限制到一个重要的类的良好的圆形格，密度函数采取特别简单的形式。我们的证明强调了离散最优化问题的全面格的作用。
An algebraic approach to circle packing
本文针对曲面的特定三角剖分，提出用多项式方程组求解圆堆积的代数方法，还建立了旋量方法与经典欧氏几何的联系。
Average and Expected Distortion of Voronoi Paths and Scapes
本文证明用细网格边近似圆导致的周长失真因子 $4/\pi$ 在遍历平均意义下对任意可求长曲线的 Voronoi 路径同样成立，并推广至高维 Voronoi 景。
Perturbing the hexagonal circle packing: a percolation perspective
我们考虑半径为1/2的六角圆堆积，并通过让圆作为时间t上的独立布朗运动运动对其进行扰动。本文证明了，对于足够大的t，如果λ_t是由时刻t的圆心给出的点过程，则当t为\to \infty时，以λ_t为圆心的圆包含无穷分量的临界半径收敛于连续渗流的临界半径（Balister，Bollobás和Walters基于Monte Carlo估计证明了临界半径严格大于1/2）.另一方面，对于足够小的t，我们表明（使用Monte Carlo估计一个固定的，但高维的积分），工会的圆包含一个无限的连接组件。我们讨论一些扩展和开放的问题。
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory I. The Apollonian Group
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。我们观察到存在具有强积分性质的Apollonian填充，其中填充中的所有圆具有整数曲率和有理中心，使得（曲率）$\times$（中心）是整数向量.这一系列的论文解释了这些性质。{ \em Descartes configuration}是一组四个内部不相交的相切圆。我们描述的空间的所有笛卡尔配置使用的坐标系$\sM_\DD$组成的那些$4 \times 4$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$其中$\bQ_D$是矩阵的笛卡尔二次型$Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$和$\bQ_W$的二次型$Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$。在参数空间$\sM_\DD$上存在自然的群作用。我们观察到，笛卡尔配置在每个阿波罗包装形成一个轨道下的某个离散生成的群，{ \em阿波罗群}。这个群由$4 \times 4$整数矩阵组成，它的完整性性质导致了在一些阿波罗圆填充中观察到的完整性性质。我们引入了两个更相关的非线性生成群，对偶Apollonian群和超Apollonian群，它们具有很好的几何解释。我们证明了这些群是双曲Coxeter群。
Some criteria for circle packing types and combinatorial Gauss-Bonnet Theorem
研究了$ \mathbb{C}$中嵌入单连通域的圆盘三角图的圆填充（CP）类型的判定准则。特别地，通过研究组合曲率和包含边界转向的组合Gauss-Bonnet定理，证明了一个圆盘三角剖分图是CP抛物的，如果\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{j=0}^{n-1} (k_j +6)} = \infty, \]，其中$k_n$是由\[ k_n = \sum_{v \in B_n} (\mbox{deg}\, v - 6) \]定义的度超数序列，用于半径为$n$的组合球$B_n$，且中心位于固定顶点.本文还证明了圆盘三角图上的简单随机游动是常返的，如果\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{j=0}^{n-1} (k_j +6)+\sum_{j=0}^{n} (k_j +6)} = \infty. \]这些准则是尖锐的，推广了He和Schramm在1995年的论文中提出的一个猜想，该猜想后来被Repp在2001年证明。给出了CP双曲性的几个判别准则，其中一个推广了He和Schramm的一个定理，并给出了CP型分层圆填充的一个充要条件，推广和证实了Siders在1998年给出的一个判别准则.
The existence of inversive distance circle packing on polyhedral surface
本文证明多面体曲面的离散共形等价类中存在唯一（相差缩放）达到给定 Gauss-Bonnet 曲率的反演距离圆堆积，并借助纤维丛结构与广义 Ptolemy 边翻转保证离散 Ricci 流收敛。
The Apollonian staircase
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
Compact Packings are not always the Densest
本文给出了B.康奈利关于圆填料的密度
Heron's Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles
这篇文章强调了不同领域的相互作用：三角形面积的赫伦公式，笛卡尔圆方程和具有整数或有理边的直角三角形。新的和旧的结果进行了综合。我们发现，每一个原始的毕达哥拉斯三元组（PPT），crosseshes笛卡尔四元组的切线圆积分曲率，并产生一个完整的阿波罗包装（IAP）包含一个矩形的中心。因此，毕达哥拉斯三元组用于生成大量的不等价的整数填充。
Euclidean formulation of discrete uniformization of the disk
瑟斯顿的黎曼映射的圆填充近似（由Rodin-Sullivan证明给出极限的黎曼映射）主要基于这样的定理：任何具有圆填充度量的拓扑圆盘都可以变形为具有与圆内切的边界圆的圆盘中的圆填充度量。统一化的主要证明使用双曲体积（Andreev）或双曲圆填充（Beardon和Stephenson）。我们重新制定这些问题到欧几里德的背景下，它允许更一般的离散共形结构和边界条件。其主要思想是用一个双覆盖的圆盘代替圆盘，其中一边被迫为圆，另一边被迫具有内曲率为零。整个问题归结为寻找一个零曲率结构。我们还表明，这些曲率自然产生的曲率措施广义流形（流形的多重性），延长通常的离散Lipschitz-Killing曲率表面。
The Apollonian structure of Bianchi groups
本文研究了$\widehat{\mathbb{R}}$在$\widehat{\mathbb{C}}$上的Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$的Möbius作用下的轨道，其中$\mathcal{O}_K$是虚二次域$K$的整数环.轨道$\mathcal{S}_K$，称为施密特排列，是$K$的算术的几何实现，作为复杂的圆填充。本文给出了$\mathcal{S}_K$推广的Apollonian圆填充的某些子集的一个简单的几何特征，并证明了$\mathcal{S}_K$，考虑方向，是所有像$K$ -Apollonian填充这样的本原积分的不交并.这些填充由一类新的薄的算术兴趣称为$K$ -阿波罗群。我们对这些填充的曲率进行了一个猜想，推广了Apollonian圆填充的局部到全局猜想。
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