Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在欧几里得空间中，这样的填充中的每个圆都有可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为积分阿波罗圆填充。有无穷多个不同的积分填料;这些研究的文件\cite{GLMWY21}。球面和双曲空间中也存在积分圆填充，只要使用适当的曲率定义（参见\cite{LMW02}），并且同样存在无限数量的不同积分填充。本文研究这类填充的数论性质。这相当于研究不定四元二次型$Q_{\sD}(w, x, y, z)= 2(w^2+x^2 +y^2 + z^2) - (w+x+y+z)^2$的积分自同构群的特定子群$\sA$的轨道。这个子群称为阿波罗群，作用于整数解$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$。本文给出了作用于$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$整数解的$\sA$轨道的一个约化理论，该理论对所有整数$k$都有效.它还分类轨道的所有$k \equiv 0 \pmod{4}$在额外的参数$n$和一个辅助类组（取决于$n$和$k$），并研究在给定的轨道上的整数同余条件。
2005-03-09 math.NT
Some experiments with integral Apollonian circle packings
有界Apollonian圆填充（ACP）是通过在四个相互相切的圆的三角形间隙中重复内接圆来构造的，其中一个圆与其他三个圆内切。如果原始的四个圆具有整数曲率，则包装中的所有圆也将具有整数曲率。在\cite{ll}中，Sarnak证明了在一个本原积分ACP中有无穷多个原曲率圆和无穷多对原曲率相切圆。在本文中，我们给出了一个启发式的数值数据支持的数量的圆的素数曲率小于$x$，和"接吻素数"，或{\it对}的数量的素数曲率小于$x$的圆的原始积分ACP。我们还提供了实验证据，对一个本地到全球的原则，在一个原始的积分ACP的曲率。
2010-01-11 math.NT
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
2023-10-16 math.MG math.NT
Prime and thickened prime components in Apollonian circle packings
受Sarnak问题启发，本文在Apollonian圆填充中引入了素数分量与加厚素数分量的概念，研究了曲率的剩余类、圆数量及素数分量数量，并计算分析了曲率高达约$10^{13}$的示例分量。
2025-04-30 math.NT
Radial Density in Apollonian Packings
给定阿波罗圆包装$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}$中的圆$C_0 = \partial B(z_0, r_0)$，将$\mathcal{P}$中与$C_0$相切的圆盘集涂为红色。同心圆$C_ε = \partial B(z_0, r_0 + ε)$中红色的比例是多少，这个量作为$ε\rightarrow 0$的行为是什么？使用均匀分布的封闭的horocycles上的模块化表面$\mathbb{H}^2/SL(2, \mathbb{Z})$，我们表明，答案是$\frac{3}π = 0.9549\dots$。我们还描述了一个观察由于亚历克斯Kontorovich连接的速度，这种收敛的法利-福特包装的黎曼假设。对于Soddy Sphere填料的类似问题，我们发现极限径向密度为$\frac{\sqrt{3}}{2V_T}=0.853\dots$，其中$V_T$表示具有二面角的理想双曲四面体的体积$π/3$。
2014-11-22 math.NT
Apollonian circle packings of the half-plane
我们考虑半欧几里德平面上的Apollonian圆填充。我们给出了两个这样的包装的充要条件相关的欧氏相似性（即，通过平移，反射，旋转和膨胀），并明确描述了一个给定的包装的自相似性组。我们观察到，包装与非平凡的自相似性对应的正实数的根的二次多项式的合理系数。这反映在阿波罗圆填料和连分数之间的密切联系，使我们能够完全分类这种包装的相似性。
2012-09-14 math.MG math.NT
Apollonian Packings and Kac-Moody Root Systems
研究了一类秩为4的不定Kac-Moody根系$Φ$的Apollonian圆填充.引入了一个填充的生成函数$Z(\mathbf{s})$，它是一个具有阿波罗对称群的四元指数级数，它与$Φ$的Weyl-Kac特征有关.利用$Φ$的仿射和Lorentz双曲根子系统的存在性，利用自守Weyl算子，用Jacobi θ函数和Siegel模形式$Δ_5$表示$Z(\mathbf{s})$.我们还证明了$Z(\mathbf{s})$的收敛域是$Φ$的Tits锥，并发现这个收敛域继承了Apollonian填充的复杂几何结构.
2021-02-03 math.NT math.RT
On the Local-Global Principle for Integral Apollonian-3 Circle Packings
本文研究了Apollonian-3圆填充的积分性质，它是标准Apollonian圆填充的变形。具体地说，我们研究了约化理论，提出了一个局部-全局猜想，并证明了这个猜想的一个密度版本。一路上，我们证明了一个统一的谱间隙的对称群的同余塔。
2015-04-20 math.GR math.NT math.SP
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory II. Super-Apollonian Group and Integral Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。这样的填充可以用它们所包含的笛卡尔构型来描述。它观察到存在无穷多种类型的积分阿波罗填充，其中所有圆都具有整数曲率，积分结构与阿波罗群的积分性质有关。在这里，我们考虑一个更大的离散群，超阿波罗群，也有一个完整的结构，其轨道描述的笛卡尔四元组的几何对象，我们称之为超包装。超包装中的圆从不相互交叉，而是嵌套到任意深度。某些Apollonian填充和超填充是强积分的，因为所有圆的曲率是积分的，并且所有圆的曲率$\times$中心是积分的。我们表明，（规模）有8个不同的（几何）强积分超包装，每个包含一个副本的每一个完整的阿波罗圆包装（也规模）。我们证明了超Apollonian群在笛卡尔组态参数空间的所有自同构群中具有有限体积，它同构于洛伦兹群$O(3, 1)$ .
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The sensual Apollonian circle packing
积分阿波罗圆填充中的圆的曲率，以Perga的阿波罗纽斯（公元前262-190年）命名，形成了一个无限的整数集合，其丢番图性质最近引起了人们的兴趣。在这里，我们对建立在Z[i]^2的基集合研究基础上的阿波罗圆填充给出了一个新的描述，它受到康威的“感性二次型”的启发，并与之密切相关。
2014-03-12 math.MG math.NT
The local-global principle for integral bends in orthoplicial Apollonian sphere packings
本文介绍了一种正交Apollonian球面填充，它是通过用4-正交切图依次反转8个球面的构形而得到的球面填充。我们将证明存在这样的填充，其中所有组成球的弯曲是积分的，并建立这些填充中弯曲集合的渐近局部-整体原理。
2014-01-13 math.GR math.MG math.NT
Integral spinors, Apollonian disk packings, and Descartes groups
证明了在欧几里得空间中，每一个不可约的积分Apollonian填充都能使它的切旋量、约化坐标和余曲率都是积分的.作为一个副产品，我们证明，在任何积分笛卡尔配置，两个相邻的磁盘的曲率之和可以写为两个平方和。笛卡尔集团的定义，并发现一个有趣的发生斐波那契序列。
2021-05-27 math.GR math.NT
From Apollonian packings to homogeneous sets
我们延长阿波罗包装，这构成了一个主要的研究对象，在数论的基本结果，某些齐次集自然出现在复杂的动力学和几何群论。特别地，我们给出了D的一个类似物。W. Boyd定理（将阿波罗填充的曲率分布函数与其指数和剩余集的豪斯多夫维数联系起来），用于Sierpienski地毯，即双曲有理映射的朱利亚集。
2014-02-23 math.DS math.MG math.NT
Apollonian circle packings: Dynamics and Number theory
我们给出了一个概述的各种计数问题的阿波罗圈包装，这原来是有关的问题，在动力学和数论薄群体。这篇调查文章是我为2013年秋季在京都RIMS举行的第13次高木讲座准备的讲义的扩展版本。
2014-01-23 math.DS math.GT math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory I. The Apollonian Group
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。我们观察到存在具有强积分性质的Apollonian填充，其中填充中的所有圆具有整数曲率和有理中心，使得（曲率）$\times$（中心）是整数向量.这一系列的论文解释了这些性质。{ \em Descartes configuration}是一组四个内部不相交的相切圆。我们描述的空间的所有笛卡尔配置使用的坐标系$\sM_\DD$组成的那些$4 \times 4$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$其中$\bQ_D$是矩阵的笛卡尔二次型$Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$和$\bQ_W$的二次型$Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$。在参数空间$\sM_\DD$上存在自然的群作用。我们观察到，笛卡尔配置在每个阿波罗包装形成一个轨道下的某个离散生成的群，{ \em阿波罗群}。这个群由$4 \times 4$整数矩阵组成，它的完整性性质导致了在一些阿波罗圆填充中观察到的完整性性质。我们引入了两个更相关的非线性生成群，对偶Apollonian群和超Apollonian群，它们具有很好的几何解释。我们证明了这些群是双曲Coxeter群。
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The Apollonian structure of Bianchi groups
本文研究了$\widehat{\mathbb{R}}$在$\widehat{\mathbb{C}}$上的Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$的Möbius作用下的轨道，其中$\mathcal{O}_K$是虚二次域$K$的整数环.轨道$\mathcal{S}_K$，称为施密特排列，是$K$的算术的几何实现，作为复杂的圆填充。本文给出了$\mathcal{S}_K$推广的Apollonian圆填充的某些子集的一个简单的几何特征，并证明了$\mathcal{S}_K$，考虑方向，是所有像$K$ -Apollonian填充这样的本原积分的不交并.这些填充由一类新的薄的算术兴趣称为$K$ -阿波罗群。我们对这些填充的曲率进行了一个猜想，推广了Apollonian圆填充的局部到全局猜想。
2015-10-08 math.GR math.MG math.NT
Effective Circle Count for Apollonian packings and Closed horospheres
本文的主要结果是对有界的或包含两条平行线的Apollonian圆填充的有效计数。我们证明了一个有效的等距分布的单位切丛的几何有限双曲3-流形的体积无限，其基本群的临界指数大于1的封闭horospheres。我们还讨论了仿射筛的应用。表面的类似结果也被处理。
2012-07-18 math.DS math.GT math.NT
Regular polytopes, sphere packings and Apollonian sections
本文研究了由任意维度正多胞体诱导的多胞体球填充的几何与算术性质，证明了所有整多胞体皆为晶体学的且共有11个晶体学正多胞体，引入阿波罗尼奥斯截面概念以确定相关截面填充，并计算了所有正多胞体的Möbius谱。
2024-10-10 math.CO math.GR math.MG
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory III. Higher Dimensions
本文在第一部分和第二部分中给出了Apollonian圆填充的$n$ -维类似物.我们工作在空间$\sM_{\dd}^n$的所有$n$维定向笛卡尔配置参数化的坐标系，ACC坐标，作为那些$(n+2) \times (n+2)$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D,n} \bW = \bQ_{W,n}$其中$Q_{D,n} = x_1^2 +... + x_{n+2}^2 - \frac{1}{n}(x_1 +... + x_{n+2})^2$是$n$维笛卡尔二次型，$Q_{W,n} = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + ... + 2x_{n+2}^2$，和$\bQ_{D,n}$和$\bQ_{W,n}$是它们相应的对称矩阵。在参数空间$\sM_{\dd}^n$上有自然的动作。我们介绍$n$维类似物的阿波罗群，对偶阿波罗群和超阿波罗群。这些是具有以下积分性质的双生成群：对偶阿波罗群由所有维度的积分矩阵组成，而其他两个由有理矩阵组成，其中的分解子具有从有限集合$S$中提取的素因子，这取决于维度。我们证明了Apollonian群和对偶Apollonian群的存在性，并且证明了它们是Coxeter群.我们定义一个阿波罗集群合奏下的阿波罗组的任何轨道，与其他两个群体类似的概念。我们确定在哪些维度可以找到合理的阿波罗集群合奏（所有曲率合理）和强合理的阿波罗球合奏（所有ACC坐标合理…
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits
本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。
2024-12-03 math.DS math.MG math.NT
Domains of Convergence for Polyhedral Packings
多面体圆填充是阿波罗填充的推广。我们发展了阿波罗群、笛卡尔二次型和所有多面体填充的相关对象的理论。我们使用这些工具来确定域的生成函数，可以与任何多面体包装的绝对收敛。这个收敛域是无限根系的锥。
2021-09-03 math.CO math.NT
Apollonian packings as physical fractals
阿波罗填充（Apollonian packings，AP）是由球体填充空间过程产生的分形。我们讨论了填充球的最大和最小尺寸之间的有限区间$s\in[s_\mathrm{min},s_\mathrm{max}]$的有限尺寸效应。我们推导出一个简单的分析推广的无标度的法律，这使得定量研究这样的\textit{physical fractals}。为了检验我们的结果，一个新的有效的空间填充算法已被开发，产生随机AP的球体具有有限范围的直径：正确的渐近极限$s_\mathrm{min}/s_\mathrm{max}\rightarrow 0$和已知的AP的分形维数恢复和良好的协议与广义解析定律被证明在整个范围内的大小。
2011-11-22 cond-mat.stat-mech math.NT physics.comp-ph
The Apollonian staircase
该研究通过正半定二次型分析圆排列的分布特性，揭示了阿波罗尼阶梯的形成机制及其中的尖峰现象。
2023-02-23 math.MG math.NT
The Local-Global Conjecture is False for Generalized Circle Packings
本文扩展了Haag等人对Apollonian圆排列中局部-整体猜想的反驳，针对四种积分圆排列类型发现二次不变量，揭示了二次互反律对猜想的阻碍，同时展示了曲率的可预测互反结构。
2026-03-25 math.NT
Improvement on Asymptotic Density of Packing Families Derived from Multiplicative Lattices
令$ω=(-1+\sqrt{-3})/2$。对于任何格$P\subseteq \mathbb{Z}^n$，$\mathcal{P}=P+ωP$是$\mathcal{O}_K^n$的子群，其中$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[ω]\subseteq \mathbb{C}$。由于$\mathbb{C}$与$\mathbb{R}^2$自然同构，因此$\mathcal{P}$可以被视为$\mathbb{R}^{2n}$中的晶格。设$P$是Rosenbloom和Tsfasman引入的乘法格（主格或同余格）.我们用$t_{\mathfrak{P}}^\ell\cdot(P+ωP)$连接一族特殊码，其中$t_{\mathfrak{P}}$是$\mathcal{O}_K$的素理想$\mathfrak{P}$的生成元.将这种连接应用于主格族，得到了一个新的具有渐近密度指数$λ\geqslant-1.26532182283$的主格族，它优于Rosenbloom和Tsfasman仅考虑主格族给出的$-1.87$.对于一个新的基于同余格的族，其结果是$λ\geqslant -1.26532181404$，它优于仅考虑同余格族的$-1.39$。
2015-08-12 cs.IT math.AG math.IT
The Conformal Packing Problem
我们制定的保形包装问题和对偶包装问题类似的问题，二进制码和格。得到了酉强有理顶点算子代数在多个中心荷c下的最小对偶共形权的显式数值上界，并讨论了其渐近界.作为主要结果，我们分别找到了中心荷c=8和c=24的最小对偶共形权的界1和2.这些界限是由与仿射卡茨-穆迪代数E_8相关联的顶点算子代数在中心荷c=8的水平1和中心荷c=24的月光模达到的。这两个中心荷的最佳边界是通过类似于Viazovska和Cohn等人在解决8维和24维的球体填充问题时所使用的方法得到的。
2019-09-12 math-ph math.MP math.NT
