Representing rational integers by generalized quadratic forms over quadratic fields
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究二次域上值域为有理整数的广义二次型，证明实二次域中存在正定二元广义二次型可表示所有正整数，并证明仅有有限多个二次域存在三元广义二次型具有此类性质。
2026-03-21 math.NT
The geometric sieve for quadrics
我们开发了一个版本的埃克达尔的几何筛的整二次型的秩至少为5。由于一个范围超过零的二次型，我们使用筛子来计算多项式互质值的密度，并进一步解决了一个问题的局部溶解度的品种参数化的家庭的零。
2020-03-21 math.NT
Power Values of Certain Quadratic Polynomials
本文计算了具有负无平方判别式的二次多项式$f$的$q$次幂值，使得$q$与$\mathbb{Q}$上$f$的分裂域的类数互质.唯一的因式分解和整数序列的原始因子的理论是用来推导出一个界的值$q$这是足够小，以允许其余的情况下，很容易检查。结果被用来确定某些多项式生成的整数序列，包括西尔维斯特序列的所有完美的权力条款。
2010-03-12 math.NT
Representing Primes as the Form $x^2+ny^2$ in Some Imaginary Quadratic Fields
本文给出了虚二次域上丢番图方程$p=x^2+ny^2$可解的判别准则，其中$p$是素元.在特殊情况下，标准变得相当简单。
2015-01-09 math.NT
Weight reduction for cohomological mod $p$ modular forms over imaginary quadratic fields
设$ F$是虚二次域，$\mathcal{O}$是其整数环.设$ \mathfrak{n} \subset \mathcal{O} $是一个非零理想，$ p> 5$是$F$中的一个有理数惰性素数，且与$\mathfrak{n}$互质.设$ V$是$ \bar{\mathbb{F}}_{p}[{\rm GL}_2(\mathbb{F}_{p^2})].$的一个不可约有限维表示，我们证明了对于某些$ e \geq 0$，一个与$ V$中的系数上同调的Hecke特征值系统已经与$ \bar{\mathbb{F}}_{p}\otimes det^e$中的系数上同调;除了可能在少数情况下.
2011-08-23 math.NT
Quadratic forms representing the $p$-th Fibonacci number
本文证明了：如果$p\equiv 1\pmod 4$是素数，则$4F_p$对某些整数$u$和$v$有$u^2-pv^2$形式的表示，其中$F_n$是$n$的Fibonacci数.当$p\equiv -1\pmod 4$ .
2015-02-15 math.NT
Representing multiples of $m$ in real quadratic fields as sums of squares
研究了实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$，使得对给定的有理整数$m$，所有$m$ -全正整数的倍数都是平方和.我们证明了相当尖锐的充要条件，这发生。此外，我们给出了一个快速的算法，解决了这个问题的具体$m$，$D$，我们给$m \leq 5000$完整的结果。
2022-10-17 math.NT
Ternary quadratic forms representing a given arithmetic progression
一个正二次型是$(k,\ell)$ -泛的，如果它表示所有的数$kx+\ell$，其中$x$是一个非负整数，和几乎$(k,\ell)$ -泛的，如果它表示所有，但其中的许多。证明了对任何$k,\ell$使得$k\nmid\ell$存在几乎$(k,\ell)$ -泛对角三进制形式.我们还猜想，只有1000多个素数$p$的$(p,\ell)$ -普遍对角三元形式存在（任何$\ell<p$），我们显示的计算机实验结果，有利于该猜想。
2021-08-26 math.NT
Quadratic forms representing all odd positive integers
本文研究了表示所有正奇整数的正定整数值二次型的分类问题。Kaplansky考虑了这个问题的三元形式，给出了一个23个候选人的列表，并证明其中19个代表所有的积极赔率。(Jagy第20集第20集（）假设其余三种形式表示所有的正几率，我们证明了一个任意的，正定二次型表示所有的正几率当且仅当它表示从1到451的奇数。这个结果类似于Bhargava和Hanke著名的290定理。此外，我们证明了这三个剩余的三元表示所有正奇整数，假设广义黎曼假设。这一结果是由一种新的解析方法来确定具有基本判别式的整数值四次二次型$Q$的尖点常数。该方法基于Rankin-Selberg $L$ -函数的解析性质，证明了若$Q$是具有基本判别式的四元形式，则$Q(\vec{x}) = n$无整数解的最大局部表示整数$n$是$O(D^{2 + ε})$ .
2013-11-06 math.NT
Can we recover an integral quadratic form by representing all its subforms?
本文研究全实代数数域整数环上二次型能否通过表示其所有真子形式来恢复原二次型，证明不定情形可恢复、正定不可分解情形不可恢复，并给出正定可分解二次型的新刻画及表示有限性定理的数域推广。
2023-09-22 math.NT
Relations in the 2-Class Group of Quadratic Number Fields
我们构建了一个家庭的理想代表理想类的二次数域，并表明，他们的理想类之间的关系是由某些循环四次扩张的有理数。
2011-08-31 math.NT
On representing coordinates of points on elliptic curves by quadratic forms
给定$Y^2=f(X)$型椭圆四次曲线表示$\Q$上正秩椭圆曲线，研究了$Y$坐标何时可用$ap^2+bq^2$型二次型表示的问题.特别是，我们给出了$c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4=(ap^2+bq^2)^2$，$a,b,c \in \Q$类型的曲面方程的例子，我们可以推导出存在无穷多个合理的点。我们还调查表面类型$Y^2=f(a p^2+b q^2)$的多项式$f$的程度$3$。
2017-03-06 math.AG math.NT
A coprimality condition on consecutive values of polynomials
设$f\in\mathbb{Z}[X]$为二次或三次多项式。证明了存在一个整数$G_f\geq 2$，使得对于每一个整数$k\geq G_f$，都能找到无穷多个整数$n\geq 0$，且所有的整数$f(n+1),f(n+2),\dots,f(n+k)$都不是互质的.这扩展了以前的线性多项式，特别是连续整数的结果。
2017-04-06 math.NT
On the bilinear structure associated to Bezoutians
本文是对二次型的已知结果的部分综述，这些结果在文献中很难找到。我们的主要焦点是由于Bezout的建筑扭曲的形式。这个斜Bezoutian是一个辛（resp.二次）空间，与一对同阶互素多项式相关。该空间的等距群原来包含某个相关的超几何群。使用斜Bezoutian我们构建明确的等距双线性空间与给定的不变量（如特征多项式或约旦形式，并在二次的情况下，旋量范）。
2013-09-12 math.AC math.NT
On primes represented by $aX^2+bY^3$
本文在 Hecke 特征值猜想下，结合筛法、二次型理论、Weil 界与 GL(2) 谱方法，证明了形如 $ax^2+by^3$ 的素数计数渐近公式，并讨论其在椭圆曲线中的应用。
2025-03-07 math.NT
Quaternary quadratic lattices over number fields
我们将具有平凡判别式的全定四元二次空间（V，q）中极大格的真等距类与表示（V，q）的Clifford不变量的四元数代数中的理想的某些等价类联系起来.这产生了一个很好的算法，以枚举系统的代表正常等距类的格在一般的极大格（V，q）。
2018-09-10 math.NT
On the solutions to $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ over quadratic fields
本文研究二次域上 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 的可解性，给出解存在的必要条件，并依据 $BC$ 与 $A$ 的条件刻画解的有理性与无理性。
2025-05-07 math.NT
Forms representing forms: The definite case
设$ψ$和$F$是具有等次整系数的正定形式.在$F$的变量个数足够大且$ψ$处处局部可表示的条件下，利用圆方法建立了$F$对$ψ$的恒等表示个数的渐近公式.在二次的情况下，这取代了最近的结果，由于Dietmann和哈维。另一个应用解决了超曲面中包含的本原线性空间的数量。
2015-08-14 math.NT
Generalization of a Result of Sylvester Regarding the Frobenius Coin Problem and an Elementary Proof of Eisenstein's Lemma for Jacobi Symbols
在最近的工作中，作者推广了Gauss关于二次互易的一个基本结果，并证明了Gauss的上述结果等价于Sylvester关于Frobenius硬币问题的一个著名结果的一个特例.在本文中，我们使用这种等价性来证明高斯结果的上述推广自然导致西尔维斯特结果的有趣推广。精确地说，对于给定的互质正整数$a$和$b$，以及$k$在区间$0 \leq k < (a-1)(b-1)$中的一族值，我们求出非负整数$\leq k$的个数，对于非负整数$x$和$y$，这些非负整数可以表示为$ax+by$。我们还给出了一个初等证明的爱森斯坦引理的雅可比符号使用地板功能和。我们的证明提供了一个自然的简单推广的高斯-爱森斯坦证明的法律的二次互易雅可比符号。
2021-07-26 math.NT
The number of representations of squares by integral quaternary quadratic forms
设$f$是正定（非经典）积分四元二次型.我们说$f$是强$s$ -正则的，如果它满足整数平方表示数的正则性。本文证明了，当由二次型表示的非零平方的极小值是固定的时，直到等距的强$s$ -正则四元二次型只有1000个.此外，我们证明了，正好有$34$强$s$ -正则对角四元二次型代表一（见表$1$）。特别地，我们使用η-正则性证明了四元二次型$x^2+2y^2+3z^2+10w^2$的强$s$ -正则性，它实际上是类数$2$（见引理$5.5$和命题$5.6$）。
2019-03-06 math.NT
Principal forms X^2 + nY^2 representing many integers
1966年，Shanks和Schmid研究了小于或等于x的正整数的个数的渐近性质，这些正整数可以用二次型X^2+nY^2表示。基于一些数值计算，他们观察到主项中出现的常数似乎在n=2时最大。在本文中，我们证明了这个常数实际上是无界的，因为n通过具有固定数量的素除子的正整数。
2011-08-04 math.NT
Representing the inverse map as a composition of quadratics in a finite field of characteristic $2$
本文研究特征2有限域上逆映射的二次函数复合表示，扩展Petrides结果并提出数论方法，将可处理的奇数指数范围至少推进到250。
2023-09-29 cs.IT math.IT math.NT
Origami Constructions of Rings of Integers of Imaginary Quadratic Fields
在折纸的制作中，人们从一张纸开始，通过沿着种子点的一系列折叠，构建复杂的三维形状。从数学上讲，可以将复数视为代表纸张，将种子点和折叠视为生成复数子集的方法。在某些限制条件下，这种结构可以产生一个环，我们称之为折纸环。我们将讨论折纸环的基本结构和进一步的扩展和影响，这些想法在代数和数论，推广Buhler等人的结果。特别是，在本文中，我们表明，它是可能的，通过折纸结构获得的整数环的虚二次域。
2016-10-24 math.NT
Hecke $L$-values, definite Shimura sets and Mod $\ell$ non-vanishing
The university of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Xi'an Jiaotong University（西安交通大学）；Kyushu University（九州大学）；Osaka University（大阪大学）
本文研究了虚二次域上Hecke L-值的ℓ-adic估值，并证明了Rubin p进L-函数在非分裂素数处的μ-不变量消失，填补了该领域的重要空白。
2025-12-22 math.NT
Small solutions of generic ternary quadratic congruences to general moduli
本文研究一般奇数模数下三元二次同余方程的小解，利用Burgess和Heath-Brown的特征和估计突破指数1/2障碍，在平均意义下对几乎所有系数得到解的渐近公式，并提出最小解大小的精细猜想。
2024-09-01 math.NT
Representing an integer and its powers in two unrelated number systems
Birla Institute of Technology and Science（印度理工学会）
研究整数及其幂在两个不同数系中的表示问题，通过Hamming权重和Zeckendorf表示找到y^a的有效上界，扩展了Vukusic和Ziegler的最新结果。
2026-04-11 math.NT
On ternary quadratic forms over the rational numbers
本文给出了下列经典事实的初等证明。任何有理数上的正定三元二次型都不能表示无穷多个正整数。对于任何三元二次型（正定或不定），我们的方法构造某些同余类的元素，直到一个平方因子，是唯一的元素不表示的有理数的形式。在一个正定的三元形式的情况下，我们表明，这些类是非空的。这表明，表示所有正整数的正定二次型中的变量的最小数目是4。我们的证明是非常初级的，只使用高斯的二次互易性。
2021-09-12 math.HO math.NT
On the BDP Iwasawa main conjecture for modular forms
本文在 Heegner 等假设下改进 Kobayashi–Ota 的结果，证明模形式 BDP 岩泽主猜想中相关包含关系无需与 $\mathbb{Q}_p$ 张量积即可整性成立，并推出多个反环 Selmer 群的 $μ$-不变量消失。
2023-04-24 math.NT
Symmetries of quadratic forms classes and of quadratic surds continued fractions. Part II: Classification of the periods' palindromes
根据拉格朗日定理，二次根式的连分式是周期的。它们的周期可能具有不同类型的对称性。这项工作涉及这些类型的对称性的类的相应的不定二次型的对称性。这允许对二次根式的周期进行分类，同时对于任意的不定二次型，找到它的类的对称类型和这个类的整数点的数目，这些整数点包含在第一部分介绍的德西特世界的庞加莱模型的每个定义域中。此外，我们获得了相同的信息，为每一类形式表示零，由有限连续分数有关的一类特殊的代表。最后，我们将看到由连分数定义的不定二次型的归约过程与经典的约化理论之间的关系，经典的约化理论由第一部分的结果获得了几何描述。
2008-03-27 math.GM math.NT
Integral quadratic forms over a ring of $p$-adic integers
本文研究p进整数环上整二次型的泛性，推广已有关于整数环上二次型泛性的结论，给出M₂(ℤₚ)上二次型泛性的充要条件，并确定n≥3时相关最小m值f(n)的界。
2026-08-26 math.NT math.RA
Smooth Subsum Search: A heuristic for practical integer factorization
本文提出一种基于可被因子基素数整除的和来表示平滑性候选的整数分解启发式方法，其Python实现比最快的自初始化二次筛法快5至10倍。
2023-07-11 math.NT
On the nth record gap between primes in an arithmetic progression
设$q>r\ge1$是互质整数。令$R(n,q,r)$为等差数列$r$、$r+q$、$r+2q,\ldots,$中素数之间的第$n$个记录间隙，并用$N_{q,r}(x)$表示在$x$下面观察到的此类记录的数量。对于$x\to\infty$，我们论证了如果$N_{q,r}(x)/\log x$的极限存在，那么极限是2。我们还推测，$R(n,q,r)=O_q(n^2)$ .数字证据支持的结构（a.s.）上限$$R(n,q,r)<φ(q)n^2+(n+2)q\log^2 q.$$ $R(n,q,r)$的中位数（在$r$上）像$n$的二次函数一样增长; $R(n,q,r)$的平均值和四分位点也是如此。对于固定值的$q\gtrsim200$和$n\approx10$，$R(n,q,r)$的分布向右偏斜，接近Gumbel和对数正态分布;但是，偏斜度似乎随着$n$的增加而缓慢降低。$R(n,q,r)$的极限分布的存在性是一个悬而未决的问题。
2018-02-24 math.NT
Kink-equivalence of matrices, spanning surfaces, 4-manifolds, and quadratic forms
Wake Forest University（维克森林大学）；Smith College（史密斯学院）
本文证明每个非奇异对称整数矩阵可通过扭结/解扭结操作和幺模合同等价于正定或负定矩阵，并给出操作次数界限，进而推出纽结与4-流形的相关性质。
2026-10-05 math.GT math.NT
Enhanced Algorithms for the Representation of integers by Binary Quadratic forms: Reduction to Subset Sum
本文提出将二元二次型整数表示问题归约为子集和问题，设计确定性算法，在判别式对数级时多项式时间求解，一般情形较Cornacchia算法二次加速，应用于椭圆曲线与同源密码学。
2025-03-01 math.CO math.NT
