我们能否通过表示其所有子形式来恢复一个整二次型？
Can we recover an integral quadratic form by representing all its subforms?
AI总结：
本文研究全实代数数域整数环上二次型能否通过表示其所有真子形式来恢复原二次型，证明不定情形可恢复、正定不可分解情形不可恢复，并给出正定可分解二次型的新刻画及表示有限性定理的数域推广。
摘要：
设 $\mathfrak o$ 为一个全实代数数域的整数环。如果 $f$ 是 $\mathfrak o$ 上的一个二次型，而 $g$ 是 $\mathfrak o$ 上的另一个二次型，且 $g$ 表示 $f$ 的所有真子形式，那么 $g$ 是否一定表示 $f$？我们证明：如果 $g$ 是不定二次型，那么 $g$ 确实表示 $f$。然而，当 $f$ 是正定且不可分解时，存在一个 $g$，它表示 $f$ 的所有真子形式但不表示 $f$ 本身。在此过程中，我们给出了 $\mathfrak o$ 上正定可分解二次型的一个新刻画，并将 $\mathbb Z$ 上二次型表示二次型的有限性定理推广到数域情形。该推广断言：给定 $\mathfrak o$ 上固定秩的正定整二次型类的任意无限集合 $\mathscr S$，存在 $\mathscr S$ 的一个有限子集 $\mathscr S_0$，使得 $\mathfrak o$ 上的一个正定二次型表示 $\mathscr S$ 中所有类当且仅当它表示 $\mathscr S_0$ 中所有类。
英文摘要：
Let $\mathfrak o$ be the ring of integers of a totally real number field. If $f$ is a quadratic form over $\mathfrak o$ and $g$ is another quadratic form over $\mathfrak o$ which represents all proper subforms of $f$, does $g$ represent $f$? We show that if $g$ is indefinite, then $g$ indeed represents $f$. However, when $f$ is positive definite and indecomposable, then there exists a $g$ which represents all proper subforms of $f$ but not $f$ itself. Along the way we give a new characterization of positive definite decomposable quadratic forms over $\mathfrak o$ and a number-field generalization of the finiteness theorem of representations of quadratic forms by quadratic forms over $\mathbb Z$ which asserts that given any infinite set $\mathscr S$ of classes of positive definite integral quadratic forms over $\mathfrak o$ of a fixed rank, there exists a finite subset $\mathscr S_0$ of $\mathscr S$ with the property that a positive definite quadratic form over $\mathfrak o$ represents all classes in $\mathscr S$ if and only if it represents all classes in $\mathscr S_0$.
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