Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在欧几里得空间中，这样的填充中的每个圆都有可能具有整数曲率半径，我们称这样的填充为积分阿波罗圆填充。有无穷多个不同的积分填料;这些研究的文件\cite{GLMWY21}。球面和双曲空间中也存在积分圆填充，只要使用适当的曲率定义（参见\cite{LMW02}），并且同样存在无限数量的不同积分填充。本文研究这类填充的数论性质。这相当于研究不定四元二次型$Q_{\sD}(w, x, y, z)= 2(w^2+x^2 +y^2 + z^2) - (w+x+y+z)^2$的积分自同构群的特定子群$\sA$的轨道。这个子群称为阿波罗群，作用于整数解$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$。本文给出了作用于$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$整数解的$\sA$轨道的一个约化理论，该理论对所有整数$k$都有效.它还分类轨道的所有$k \equiv 0 \pmod{4}$在额外的参数$n$和一个辅助类组（取决于$n$和$k$），并研究在给定的轨道上的整数同余条件。
2005-03-09 math.NT
On Positive Integer Descartes-Steiner Curvature Quintuplets
本文研究了正整数笛卡尔-斯蒂纳曲率五元组的性质，探讨了两种类型三元组的生成方法及退化情况的描述。
2025-03-11 math.NT
Apollonius circles and irreducibility criteria for polynomials
证明了根位于Apollonius圆内的整数多项式$f(X)$的不可约性，该圆与实轴上的两个点相关联，其横坐标为整数$a$和$b$，到这些点的距离之比取决于$f(a)$和$f(b)$的正则分解.特别是，我们得到的情况下，$f(a)$和$f(b)$有几个素因子，和$f$是Eneström-Kakeya多项式，或有一个大的首项系数的不可约准则。类似的结果也提供了多元多项式在任意领域，在非阿基米德设置。
2021-03-29 math.NT
Estimates on Lattice Points in the Circle
本文给出了以原点为圆心的圆上的整数格点数与面积之差的估计。该估计具有半径的对数与半径的2b次幂的乘积的“大O”形式。最简单的新估计是b = 5/16;最好的是b = 1507/4875 = .309128205.
2014-09-08 math.NT
House of algebraic integers symmetric about the unit circle
给出了根关于单位圆对称的一元整多项式的根的最大模的Schinzel-Zassenhaus型下界.我们的结果推广了Dimitrov的工作，Dimitrov利用整系数幂级数的Pólya合理性定理证明了一般的Schinzel-Zassenhaus猜想，并给出了集合的对数容量（超限直径）的一些估计.我们使用增强的Pólya的结果得到的罗宾逊，其中涉及劳伦特型有理函数与小的上确界规范，从而取代了对数容量与一个更小的数量。这个较小的量通过加权切比雪夫常数表示，该常数与罗宾逊合理性定理中使用的季米特洛夫函数相关联。我们的房子的下界证实了博伊德的一个猜想。
2021-01-17 math.CV math.NT
Integer Sequences from Circle Divisions in Rational Billiards
本文研究有理圆形台球，通过轨迹对圆内区域的分割推导每次反射后区域数的一般公式，并在特定角度条件下揭示该整数序列与 Gauss 等差数列的关系。
2020-03-14 math.AG math.DS math.NT
On the number of parts of integer partitions lying in given residue classes
改进以前的工作的主题，我们使用赖特的圆的方法来获得一个渐近公式的部分在所有分区的整数是在任何给定的等差数列。
2016-04-04 math.NT
Representations of integers by systems of three quadratic forms
这是经典的已知，圆的方法产生一个渐近的数量表示的元组的整数$(n_1,\ldots,n_R)$由一个系统的二次型$Q_1,\ldots, Q_R$在$k$变量，只要$k$是足够大;减少所需的变量数量仍然是一个重要的开放问题。在这项工作中，我们考虑的情况下，3形式和改进的经典结果减少所需的变量的数量$k \geq 10$“几乎所有”元组，适当的非奇异性假设下的形式$Q_1,Q_2,Q_3$。为了实现这一点，我们开发了一个三维模拟Kloosterman的圆的方法，特别是利用适当的系统的三个二次型的几何性质。
2017-07-01 math.NT
The Number of Parts in Certain Residue Classes of Integer Partitions
我们使用圆的方法来推导渐近公式的功能有关的部分的分区，特别是剩余类的数量。
2015-09-30 math.NT
Rational lines on diagonal hypersurfaces and subconvexity via the circle method
本文通过圆法，在$s\ge k(k+1)$条件下证明了对角超曲面上整数坐标直线的Hasse原理，突破了平方根抵消的凸性障碍。
2023-05-08 math.NT
Counting solutions to quadratic polynomials
本文利用圆法，对一类二次多项式建立了关于系数一致的整数解数量渐近公式。
2024-05-07 math.NT
On sets with small sumset in the circle
我们证明结果的结构上的一个子集的循环组具有积极的内部哈尔措施和加倍常数接近最小值。这些结果从整数的设置走向Freiman的$3k-4$定理的循环中的连续模拟。类似的这个定理在$\mathbb{Z}_p$已被广泛追求，我们在这个方向上使用一些最近的结果。例如，获得连续模拟的结果塞拉和泽莫尔，我们证明，如果一个子集$A$的圆是不是太大，并有加倍常数在最多$2+\varepsilon$与$\varepsilon<10^{-4}$，然后为一些整数$n>0$的扩张$n\cdot A$包括在一个区间中，它的密度至少$1/(1+\varepsilon)$。我们的论点产生这个结果的其他变种，以及，特别是两个版本的集合，使进展的猜想Bilu。我们包括这些结果的两个应用。第一个是一个新的上界的$k$和自由集的大小在圆和$\mathbb{Z}_p$。第二个给出了关于倍增常数至多为$3+\varepsilon$的$\mathbb{R}$子集的结构信息。
2018-07-09 math.CO math.NT
On integer distance sets
提出新方法解决整数距离集经典问题，得出平面整数距离集的稀疏性或近共线/圆结构结论，进而推导出非共线集直径的近最优下界与特定限制下整数距离集大小的强上界。
2025-08-25 math.CO math.MG math.NT
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory I. The Apollonian Group
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。我们观察到存在具有强积分性质的Apollonian填充，其中填充中的所有圆具有整数曲率和有理中心，使得（曲率）$\times$（中心）是整数向量.这一系列的论文解释了这些性质。{ \em Descartes configuration}是一组四个内部不相交的相切圆。我们描述的空间的所有笛卡尔配置使用的坐标系$\sM_\DD$组成的那些$4 \times 4$实矩阵$\bW$与$\bW^T \bQ_{D} \bW = \bQ_{W}$其中$\bQ_D$是矩阵的笛卡尔二次型$Q_D= x_1^2 + x_2^2+ x_3^2 + x_4^2 -{1/2}(x_1 +x_2 +x_3 + x_4)^2$和$\bQ_W$的二次型$Q_W = -8x_1x_2 + 2x_3^2 + 2x_4^2$。在参数空间$\sM_\DD$上存在自然的群作用。我们观察到，笛卡尔配置在每个阿波罗包装形成一个轨道下的某个离散生成的群，{ \em阿波罗群}。这个群由$4 \times 4$整数矩阵组成，它的完整性性质导致了在一些阿波罗圆填充中观察到的完整性性质。我们引入了两个更相关的非线性生成群，对偶Apollonian群和超Apollonian群，它们具有很好的几何解释。我们证明了这些群是双曲Coxeter群。
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
Palindromes on the $τ$-circle: A note for Palindrome Tau Day, 6/28/26
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济与数学科学及应用中心）
本文通过将整数回文视为自反多项式在基上的取值，揭示其根关于单位圆的对称性，并发现日期62826隐含单位原立方根（角度τ/3）及另一对圆上根。
2026-06-29 math.HO math.NT
The Apollonian structure of integer superharmonic matrices
我们证明了格$\mathbb{Z}^2$上的整数值上调和函数所能达到的二次增长集具有Apollonian圆填充的结构。这完全表征了PDE，它决定了阿贝尔沙堆在格子$\mathbb{Z}^2$上的连续标度极限。
2017-07-17 math.AP math.NT math.PR
Apollonian Circle Packings: Geometry and Group Theory II. Super-Apollonian Group and Integral Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用另外的相切圆填充四个相互相切的圆之间的空隙而产生的。这样的填充可以用它们所包含的笛卡尔构型来描述。它观察到存在无穷多种类型的积分阿波罗填充，其中所有圆都具有整数曲率，积分结构与阿波罗群的积分性质有关。在这里，我们考虑一个更大的离散群，超阿波罗群，也有一个完整的结构，其轨道描述的笛卡尔四元组的几何对象，我们称之为超包装。超包装中的圆从不相互交叉，而是嵌套到任意深度。某些Apollonian填充和超填充是强积分的，因为所有圆的曲率是积分的，并且所有圆的曲率$\times$中心是积分的。我们表明，（规模）有8个不同的（几何）强积分超包装，每个包含一个副本的每一个完整的阿波罗圆包装（也规模）。我们证明了超Apollonian群在笛卡尔组态参数空间的所有自同构群中具有有限体积，它同构于洛伦兹群$O(3, 1)$ .
2005-03-11 math.GR math.MG math.NT
The Apollonian structure of Bianchi groups
本文研究了$\widehat{\mathbb{R}}$在$\widehat{\mathbb{C}}$上的Bianchi群$\operatorname{PSL}_2(\mathcal{O}_K)$的Möbius作用下的轨道，其中$\mathcal{O}_K$是虚二次域$K$的整数环.轨道$\mathcal{S}_K$，称为施密特排列，是$K$的算术的几何实现，作为复杂的圆填充。本文给出了$\mathcal{S}_K$推广的Apollonian圆填充的某些子集的一个简单的几何特征，并证明了$\mathcal{S}_K$，考虑方向，是所有像$K$ -Apollonian填充这样的本原积分的不交并.这些填充由一类新的薄的算术兴趣称为$K$ -阿波罗群。我们对这些填充的曲率进行了一个猜想，推广了Apollonian圆填充的局部到全局猜想。
2015-10-08 math.GR math.MG math.NT
