Binary Quadratic Forms in Difference Sets
我们表明，如果$h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\in \mathbb{Z}[x,y]$满足$Δ(h)=b^2-4ac\neq 0$，那么任何子集的$\{1,2,\dots,N\}$缺乏非零差异的图像$h$的大小最多一个常数依赖于$h$倍$N\exp(-c\sqrt{\log N})$，其中$c=c(h)>0$。我们实现了这一目标，通过适应$L^2$密度增量策略以前用于建立一个或多个单变量多项式的总和类似的结果。我们的论述是彻底的和独立的，以便为那些不熟悉这些技术以前实现的读者提供一个可访问的门户。
2019-05-12 math.CA math.CO math.NT
Equidistribution of Solutions of Ternary Quadratic Congruences Modulo Prime Powers
本文研究素数幂模三元二次同余方程在固定点附近且 $z$ 与 $p$ 互素的解，通过光滑化方法在 $N\geq q^{1/2+\varepsilon}$ 时建立渐近公式并证明解存在。
2023-04-25 math.NT
Quadratic forms representing all integers coprime to 3
根据Bhargava和Hanke的著名的290定理，我们证明了一个普遍性定理的所有正定整数值二次型，表示所有正整数互质$3$。特别地，如果正定二次型表示与$3$和$\leq 290$互质的所有正整数，则它表示与$3$互质的所有正整数。我们使用类似的方法所使用的劳斯证明（假设GRH），正定二次型表示$1$和$451$之间的每一个奇数表示所有正的奇数。
2016-09-21 math.NT
Integer solutions of a sequence of decomposable form inequalities
本文证明了可分解形式不等式的整数解的有限性。我们还研究了可分解形式不等式序列的整数解的个数。
1998-08-05 math.NT
Converting of algebraic Diophantine equations to a diagonal form with the help of generalized integer orthogonal transformation, maintaining the asymptotic behavior of the number of its integer solutions
本文提出了一种新的广义整数正交变换，它由一个已知的正交变换和基向量拉伸组成，保持了代数丢番图方程整数解个数的渐近性态。作者表明这种转换的性质，他收到的算法，寻找广义整数正交变换的代数丢番图方程的二阶对角形式的矩阵元素。本文举例说明利用整数广义正交变换将二阶代数方程化为对角形式，并确定这些方程整数解的渐近性态。
2017-04-07 math.NT
Representations of integers by certain $2k$-ary quadratic forms
假设$k$是正整数。在这项工作中，我们建立了整数的二次型$$ x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}+l\left(x_{k+1}^{2}+\cdots+x_{2k}^{2}\right) $$的$l\in\{2,4\}$的表示数的公式。
2017-01-31 math.NT
On the Form of Odd Perfect Gaussian Integers
通过高斯整数将因子和函数推广到复平面上。然后证明了奇完满数的欧拉分类的一种修正形式。
2008-05-14 math.NT
Converting of algebraic Diophantine equations to a diagonal form with the help of an integer non-orthogonal transformation, maintaining the asymptotic behavior of the number of its integer solutions
本文证明了任何二阶齐次代数丢番图方程都可以通过一个整数非正交变换转化为对角形式，并保持其整数解个数的渐近性态。本文研究了一类更广泛的二阶代数丢番图方程的对角化问题，并讨论了高阶代数丢番图方程的对角化条件.给出了变量数大于2的奇数次对角Thue方程整数解个数的渐近估计，并给出了其它类型对角代数丢番图方程整数解个数的渐近估计.
2017-08-04 math.NT
Ternary quadratic forms representing same integers
在1997年，Kaplansky证明了如果两个正定的整数系数三元二次型有完全相同的整表示，那么它们是等距的，都是正则的，或者包括两个三元二次型族中的任何一个。本文证明了不属于Kaplansky表中的表示相同整数的三元二次型对的存在性。
2020-04-06 math.NT
On the representation of integers by binary quadratic forms
本文证明了对于给定的整数系数不可约二元二次型$f(x,y)$，只要对整数$x,y,u,v$有$f(x,y) = f(u,v)$，就存在$f$的有理自同构，它将$(x,y)$发送给$(u,v)$ .
2017-04-17 math.NT
A Version of the Circle Method for the Representation of Integers by Quadratic Forms
本文应用带高斯权的圆方法，得到了非零整数的至少四元非奇异二次型表示的密度的渐近公式.
2009-05-08 math.NT
On the representation of integers by quadratic forms
设Q为整系数非奇异二次型。当Q是不定的时，我们给出了方程Q=0的最小非平凡积分解的新的上界。当Q是正定的，我们提供了改进的上界的最小正整数k，使方程Q=k是不溶于整数，尽管是可溶模每个素数的权力。
2006-12-12 math.NT
The dimension of vector-valued modular forms of integer weight
在乘子系具有有限象的情况下，给出了整数权向量值模形式空间的维数公式，讨论了全纯模生成元和尖点形式的模生成元的权重分布，以及尖点形式与全纯模生成元的对偶关系.
2011-04-07 math.NT
Integer Sequences of the Form a^n + b^n
在本文中，我们找到了所有的整数序列的形式a^n + b^n，其中a和b是复数，n是一个非负整数。证明了当p和q为整数时，二次方程z^2 -pz-q = 0的根与形式为a^n + b^n的整数序列之间存在对应.此外，我们将证明不存在形式为a^n-b ^n的整数序列。最后，我们利用a和b的特殊值得到了一系列涉及Lucas数和斐波那契数的公式。
2010-04-23 math.NT
Representations of an integer by some quaternary and octonary quadratic forms
本文考虑了某些四元二次型和八元二次型，并利用模形式理论，得到了这些二次型表示正整数个数的公式。
2017-08-05 math.NT
Integer matrix factorisations, superalgebras and the quadratic form obstruction
我们确定和分析的障碍因式分解成产品的整数矩阵$N^T N$或$N^2$的矩阵与理性或整数条目。障碍物作为具有整数系数的二次型出现，并提出了这种形式的离散范围的问题。它们是通过考虑超代数上的矩阵分解得到的。我们进一步得到了一个公式的行列式的方阵的这些矩阵分解，以及确定一个$\it co-Latin$对称空间的伴随。
2021-03-06 math.NT
Unique representations of integers by linear forms
令$k\ge 2$为整数，令$A$为非负整数的集合。对于正整数$k$元组$\underlineλ = (λ_{1}, \dots{} ,λ_{k})$和$1 \le λ_{1} < λ_{2} < \dots{} < λ_{k}$，我们定义了加性表示函数$R_{A,\underlineλ}(n) = |\{(a_{1}, \dots{} ,a_{k})\in A^{k}: λ_{1}a_{1} + \dots{} + λ_{k}a_{k} = n\}|$ .对于$k = 2$，Moser构造了一个非负整数集合$A$，使得$R_{A,\underlineλ}(n) = 1$对每个非负整数$n$成立。本文用$R_{A,\underlineλ}(n) = 1$对每个整数$n\ge 0$刻画了所有的$k$ -元组$\underlineλ$和非负整数集合$A$.
2023-03-17 math.NT
On Fourier coefficients of modular forms of half integral weight at squarefree integers
证明了在无平方因子的整数下，与半整权Hecke本征形的傅里叶系数相关的狄利克雷级数解析地扩展到半平面$\re s\textgreater{}\tfrac{1}{2}$中的全纯函数.这表现出系数在无平方整数处的高波动。
2016-04-20 math.NT
A Universal Quaternary Quadratic Form over Gaussian Integers
在这篇文章中，我们表明，形式$x^2 + iy^2 + z^2 + iw^2$代表所有的高斯整数。在这个证明中使用的主要工具是费马的小定理（在有限域扩展），Mordell-Niven定理（一些高斯的表示），和广义欧拉恒等式在有限域扩展。
2014-05-08 math.NT
On the representation of integers by indefinite binary Hermitian forms
给定虚二次数域上的整数不定二元Hermitian型f，当s趋于无穷大时，我们给出了满足某些同余性质的绝对值至多为s的有理数f的非等价表示的个数的精确渐近等价.
2010-04-19 math.NT
Upper bounds for integer solutions to a system of two bilinear forms
我们证明了一对双线性方程在至少2*6个变量的整数解的数目有（最多到10ms）预期的上界，除非有一个结构上的原因，为什么它不是这种情况。
2014-12-11 math.NT
Representations of integers by certain positive definite binary quadratic forms
本文证明了Borwein和Choi关于无平方数整数N的n=x^2+Ny^2的解的个数的平方的估计的猜想的一部分。
2004-12-13 math.NT
On the representation of integers by binary forms
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d$的二进制形式，其中$d$至少为$3$。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。证明了存在正数$C_F$使得$R_F(Z)$渐近于$C_F Z^{\frac{2}{d}}$ .
2018-03-23 math.NT
Representing rational integers by generalized quadratic forms over quadratic fields
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究二次域上值域为有理整数的广义二次型，证明实二次域中存在正定二元广义二次型可表示所有正整数，并证明仅有有限多个二次域存在三元广义二次型具有此类性质。
2026-03-21 math.NT
Fourier Analysis and the closed form for the Zeta Function at even positive integers
利用对$x^{2k}$的傅里叶系数得到的求和恒等式，我们导出了zeta函数在偶数正整数处的封闭形式表达式，使用的技术类似于Aladdi和Defant[1]现有证明中的技术，但是以更简单和更短的方式。
2020-12-03 math.NT
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
2014-03-18 math.NT
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
2007-04-10 math.NT
On the integers not of the form $p+2^a+2^b$
我们证明了|{1<=y<=x：y是奇数，且不具有p+2^a+2^b的形式}|>>x^{1-ε}对于任何ε>0，其中隐含常数仅取决于ε。
2009-07-07 math.NT
Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach
1957年，N.C.安克尼利用数的几何提供了三平方定理的新证明。本文推广了Ankeny的技巧，证明了哪些整数可用$x^2 + 2y^2 + 2z^2$和$x^2 + y^2 + 2z^2$表示，并给出了整数可用$x^2+y^2+3z^2$和$x^2 + y^2 + 7z^2$表示的充分条件.
2015-09-09 math.NT
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
2015-08-14 math.NT
A universal first order formula defining the ring of integers in a number field
证明了数域K中整数环的补是丢番图。这意味着K中的整数环的集合可以写为{t in K|对于所有的x_1，...，在K中的x_N，f（t，x_1，...，x_N）不是0}。我们将利用整体类域理论，推广Koenigsmann最近给出的关于Z在Q中的一阶普适公式的结果。
2012-02-28 math.NT
Simultaneous Integer Values of Pairs of Quadratic Forms
我们证明了一对整二次型在5个或更多的变量将同时表示“几乎所有”的整数对，满足必要的局部条件，只要形式满足适当的非奇异性条件。特别是，如果明显的局部条件成立，这些形式同时达到素值。证明使用圆的方法，特别是开拓者的Kloosterman细化的二维版本。
2013-09-26 math.NT
Values of binary quadratic forms at integer points and Schmidt games
证明了对任意实数可数集$A$，使得$Q(\mathbb{Z}^2)$的闭包与$A$不相交的二元不定二次型集$Q$具有满豪斯多夫维数.
2013-11-07 math.NT
Natural Density Distribution of Hermite Normal Forms of Integer Matrices
Hermite标准形（HNF）是任何主理想整环上矩阵的标准表示。在整数上，随机矩阵的HNF的分布远非均匀。这篇文章的目的是提出一个明确的计算这个分布连同一些应用。更准确地说，对于整数矩阵的条目是上界的绝对值由一个大的界限，我们计算的渐近数这样的矩阵的HNF具有一个规定的对角结构。我们应用这些结果来分析的一些程序和算法，其动态依赖于随机寻找整数矩阵的HNF。
2011-08-04 math.NT
Quadratic forms representing all odd positive integers
本文研究了表示所有正奇整数的正定整数值二次型的分类问题。Kaplansky考虑了这个问题的三元形式，给出了一个23个候选人的列表，并证明其中19个代表所有的积极赔率。(Jagy第20集第20集（）假设其余三种形式表示所有的正几率，我们证明了一个任意的，正定二次型表示所有的正几率当且仅当它表示从1到451的奇数。这个结果类似于Bhargava和Hanke著名的290定理。此外，我们证明了这三个剩余的三元表示所有正奇整数，假设广义黎曼假设。这一结果是由一种新的解析方法来确定具有基本判别式的整数值四次二次型$Q$的尖点常数。该方法基于Rankin-Selberg $L$ -函数的解析性质，证明了若$Q$是具有基本判别式的四元形式，则$Q(\vec{x}) = n$无整数解的最大局部表示整数$n$是$O(D^{2 + ε})$ .
2013-11-06 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms
本文把分圆形式取值整数个数的既有结论推广到一般整系数二元形式族，核心是给出次数大于3的不同构二元形式公共值集合基数的渐近上界，并以典型例子验证应用。
2023-06-04 math.NT
The exceptional set for integers of the form $[(p_1)^c] + [(p_2)^c]$
令$1 < c < 24/19$。我们证明了不能写成$[p_1^c] + [p_2^c]$（$p_1$，$p_2$素数）的整数$n \le N$的个数是$O(N^{1-σ+\varepsilon})$。这里$σ$是$c$的正函数（明确给出），$\varepsilon$是任意正数。
2021-11-18 math.NT
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
2011-05-23 math.NT
An algebraic approach to count the number of representations of an integer by the quadratic form $x^2+ay^2$ for certain values of $a$
通过考虑$\mathbb{Q}(\sqrt{-a})$中整数环元素的范数，给出了计算$x^2+ay^2=n$型丢番图方程整数解个数的代数方法，其中$a$是Heegner数或$a=27$ .
2022-08-04 math.NT
Large Fourier coefficients of half-integer weight modular forms
本文研究了正空间中半整数权的尖点形式（不一定是特征形式）的傅里叶系数。我们给出了一个软证明，有无穷多个基本判别$D$，使得在$|D|$评估的傅里叶系数是非零的。通过调整共振法，我们还证明了这样的傅里叶系数必须采取相当大的值。
2020-04-29 math.NT
Asymptotic estimates for the number of integer solutions to decomposable form inequalities
当可分解型不等式的次数和变量个数是互素时，我们估计了可分解型不等式的整数解的个数（给出了渐近估计和上界）.这些估计在形式的系数方面显示出良好的行为，并且在这方面大大改进了先前的估计。
2003-11-19 math.NT
On integers of the form \(p+F_{2^k}+F_q\)
School of Mathematics and Statistics, Huaiyin Normal University（淮阴师范学院数学与统计学院）
本文证明形如 \\(p+F_{2^k}+F_q\\)（\\(p,q\\) 为素数，\\(k\ge0\\)）的整数集合具有正的下渐近密度，同时其补集也具有正的下渐近密度。
2026-06-29 math.NT
Representation of integers by cyclotomic binary forms
与分圆多项式$ϕ_n(X)$相关的$φ(n)$次数的齐次形式$Φ_n(X,Y)$被称为{ \it分圆二元形式}。一个正整数$m\ge 1$被称为{ \it可由分圆二进制形式表示}，如果存在整数$n,x,y$与$n\ge 3$和$\max\{|x|, |y|\}\ge 2$使得$Φ_n(x,y)=m$。我们证明了$m$的这种表示的分圆二进制形式的数量$a_m$是有限的。更确切地说，我们有$\,φ(n) \le ({2}/ {\log 3})\log m\, $和$\, \max\{|x|,|y|\} \le ({2}/{\sqrt{3}})\, m^{1/φ(n)}.\,$我们给出了一个描述的渐近基数的一组值所采取的形式为$n\geq 3$。这将意味着整数集合$m$使得$a_m\neq 0$具有自然密度0。我们将推导出$a_m$的非零值中的整数$a_m$的平均值像$\sqrt{\log \, m}$一样增长。
2017-12-25 math.NT
Regular ternary triangular forms
对于某个正整数$x$，形式为$T_x=\frac{x(x+1)}2$的整数称为三角数。正整数$a,b$和$c$的三元三角形形式$aT_{x}+bT_{y}+cT_{z}$称为正则的，如果它表示每个局部表示的正整数。本文证明了正有49个本原正则三元三角形。
2019-03-08 math.NT
Automorphisms and canonical forms of integer lattices
Universität des Saarlandes（萨尔兰大学）；Universität Siegen（锡根大学）
该研究改进了Plesken--Souvignier算法，利用特征子格、优化向量枚举及外尔群加速，实现了整数二次格自同构群与标准型的高效计算，获显著速度提升。
2026-10-14 math.NT
On the integers of the form $p^2+b^2+2^n$ and $b_1^2+b_2^2+2^{n^2}$
证明了和集{p^2+b^2+2^n：p是素数，b，n \in N}有正的下密度.我们还构造了一个具有奇模的剩余类，它不包含p^2+b^2+2^n形式的整数.对于和集{b_1^2+b_2^2+2^{n^2}：b_1，b_2，n \in N}也得到了类似的结果.
2009-05-24 math.NT
Representation of positive integers by the form $x_1...x_k + x_1 + ... + x_k$
对于任意给定的$k\geq3,$，我们考虑了正数$n$的一种可能性，即用$x_1...x_k+x_1+...+x_k, 1\leq x_1\leq ... \leq x_k.$表示，并研究了在这种表示中$k\geq3$的最小值问题.
2015-08-18 math.NT
Principal forms X^2 + nY^2 representing many integers
1966年，Shanks和Schmid研究了小于或等于x的正整数的个数的渐近性质，这些正整数可以用二次型X^2+nY^2表示。基于一些数值计算，他们观察到主项中出现的常数似乎在n=2时最大。在本文中，我们证明了这个常数实际上是无界的，因为n通过具有固定数量的素除子的正整数。
2011-08-04 math.NT
Representation of integers by sparse binary forms
我们将给新的上界的解决方案的数量不等式的形状$|F(x , y)| \leq h$，其中$F(x , y)$是一个稀疏的二进制形式，整数系数，和$h$是一个足够小的整数方面的判别式的二进制形式$F$的绝对值。我们的边界依赖于$F(x , y)$的非零系数的数量。当$F$是真正的稀疏，我们建立了一个尖锐的上界的解决方案的数量是线性的非零系数的数量。这项工作将提供肯定的答案，穆勒和施密特在1988年所提出的一些论点，为特殊但重要的情况。
2021-07-11 math.NT
Average estimates and sign change of Fourier coefficients of cusp forms at integers represented by binary quadratic form of fixed discriminant
在这篇文章中，我们建立了一个平均行为的归一化傅里叶系数的Hecke本征形支持在整数表示的任何原始整数正定二元二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$。我们还获得了一个定量的结果的序列的归一化的傅里叶系数$λ_{f}(n)$的Hecke本征形式$f$的$n$是由任何原始的整数正定二进制二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$在间隔$(x,2x]$，足够大的$x$的符号变化的数量。
2022-04-18 math.NT
The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials
一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。
2015-05-01 math.NT
Representation of integers by a family of cubic forms in seven variables II
在较早的文献[4]中，我们导出了用七元三次型表示零和大正整数的个数的渐近公式，它可以写成$L_1(x_1,x_2,x_3) Q_1(x_1,x_2,x_3)+ L_2(x_4,x_5,x_6) Q_2(x_4,x_5,x_6) + a_7 x_7^3$，其中$L_1$和$L_2$是线性型，$Q_1$和$Q_2$是二次型，$a_7$是非零整数，并且与$L_1Q_1$和$L_2Q_2$有关的某些量是非零的。在本文中，我们考虑的情况下，当这些量之一或两者都是零，但$L_1Q_1$和$L_2Q_2$仍然是非退化的三次型的三个变量。
2013-10-24 math.NT
On the Representation of Integers by Binary Forms Defined by Means of the Relation $(x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d \geq 3$的二进制形式。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。在2019年，Stewart和Xiao证明了$R_F(Z) \sim C_FZ^{2/d}$对于某个正数$C_F$。我们计算$C_{R_n}$和$C_{J_n}$的二进制形式$R_n(x, y)$和$J_n(x, y)$定义的关系$ (x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$，其中变量$x$和$y$是真实的。
2022-03-06 math.NT
Almost all binary forms of degree $\geq 3$ fail to represent a fixed integer
该研究证明，次数≥3的整系数二元型中，能表示固定非零整数的比例随高度趋于无穷而趋近于零，核心方法为格点计数与几何分析，结果对不可约形式也成立。
2026-08-28 math.NT
