On the digital representation of integers with bounded prime factors
令$b \ge 2$为整数。关于素数或其素因子属于给定的有限集的数在基$b$中的表示，我们知之甚少。在其他结果中，我们建立了任何足够大的整数，这不是$b$的倍数，只有小（在适当的意义上）素因子至少有四个非零的数字在其表示基$b$。
2016-09-26 math.NT
Representations of integers as sums of primes from a Beatty sequence
研究了由固定的Beatty序列$B_{α,β}$表示整数为素数和的问题，其中$α>1$是无理的有限型.
2007-01-10 math.NT
Explicit Factorization of Prime Integers in Quartic Number Fields defined by $X^4+aX+b$
对于每一个素数$p$，给出了主理想$p\z_K$到$\z_K$的素理想的一个显式分解，其中$K$是由不可约多项式$X^4+aX+b\in\z[X]$定义的四次数域.
2010-08-22 math.NT
Representation of an integer as the sum of a prime in arithmetic progression and a square-free integer
一致地为小$q$和$(a,q)=1$，我们得到的加权方式的数量的估计，一个足够大的整数可以表示为一个素同余$a$模$q$和一个无平方整数的总和。我们的方法基于Ramaré提出的局部模型概念，可以被视为一种抽象的圆方法。
2020-10-02 math.NT
The density of integers representable as the sum of four prime cubes
可以写成四个素立方之和的整数集合至少具有较低的密度$0.009664$。这改进了Ren的$0.003125$和Liu的$0.005776$的早期界。
2019-02-26 math.NT
Signed harmonic sums of integers with $k$ distinct prime factors
我们给出了一些理论和计算结果的“随机”调和和素数，更一般地说，为整数与一个固定数量的素因子。
2020-04-06 math.NT
The average number of representations of an integer as a sum of two prime powers over multiples of a fixed integer
本文扩展Ikeda和Suriajaya(2025)的结果，研究固定整数q的倍数上整数n作为两个素数k次幂之和的表示数的渐进行为。
2026-07-22 math.NT
Representing positive integers as a sum of a squarefree number and a small prime
证明了不等于$1$，$2$，$3$，$6$，$11$，$30$，$155$，$247$的正整数$n$都可以表示为一个无平方数与一个不超过$\sqrt{n}$的素数之和.
2023-01-29 math.NT
On products of primes and square-free integers in arithmetic progressions
我们得到了一个渐近公式的方式来表示每一个减少剩余类作为一个产品的素数和平方自由整数的数量。这可能被认为是一个宽松的版本猜想的埃尔德什，Odlyzko，和Sárközy。
2020-01-20 math.NT
Integers divisible by a large shifted prime
令$N(x,y)$表示可被移位素数$p-1$整除的整数数$n\le x$，其中$p>y$、$p$为素数。改进McNew，Pollack和Pomerance最近的界限，我们建立了所有$x\ge 2y\ge 4$的$N(x,y)$的增长的确切顺序。
2016-04-01 math.NT
Spacings between integers having typically many prime factors
我们证明，具有几乎典型数量的不同素因子的整数序列形成了一个泊松过程。更准确地说，对于任意小的正的$\de$，整数$n$与$|\om(n)-\log_2 n|\le (\log_2 n)^{\de}$之间的最近邻间距服从泊松分布定律。
2009-03-26 math.NT
Mean representation number of integers as the sum of primes
假设黎曼假设，我们得到的渐近估计的平均值的数量表示的整数作为两个素数的总和。通过证明相应的Ω项，我们证明了我们的结果基本上是最好的可能。
2010-03-02 math.NT
On the representation of integer as sum of a square-free number and a prime of special type
本文证明存在无穷多个整数可表示为一个无平方因子整数与一个满足特定丢番图不等式条件的素数之和，其中系数α为无理数。
2025-04-10 math.NT
The average number of representations of an integer as a sum of three or more primes, over multiples of a fixed integer
该论文将Ikeda和Suriajaya的结果推广至任意$j\ge 3$个素数之和的表示数平均值，证明一般情形下渐近公式成立，并引入广义哥德巴赫问题奇异级数的平均值作为新工具。
2026-10-07 math.NT
Fractional parts of non-integer powers of primes
设$α> 0$为任意固定的非整数，$I$为$[0; 1)$的任意子区间.本文对满足条件$\{ p^α \} \in I$的素数集$p$证明了Bjueri-Vinogradov定理的一个类似定理。这加强了先前Gritsenko和Zinchenko的结果。
2020-10-28 math.NT
Prime Gaps In The Gaussian Integers
本文定义了高斯整数中的素数间隙，并利用数值方法证明了其渐近上界为 O(log^2|p_n|)。
2024-11-11 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
2025-10-12 math.NT
On the representation of large even integers as the sum of eight primes from positive density sets
本文证明若素数子集 A 在素数中的下密度大于 1/2，则每个充分大的偶数均可表示为 A 中八个素数之和，且常数 1/2 是最佳的。
2024-09-24 math.NT
On the distribution of the digits of quotients of integers and primes
我们研究了从$[1,T]$区间中随机选取的正整数的乘积位数的分布，改进了以前已知的计数函数的误差项为$T\to+\infty$。我们还解决了一些自然变量的问题，有关点的主要坐标和点，从原点可见。
2020-08-23 math.NT
Integers for Radical Extensions of Odd Prime Degree as Product of Subrings
对于奇素数次的根扩张K，整数环O_K被构造为具有以下性质的子环的乘积：对O_K的判别式的所有素除子q，存在q-极大因子。O_K的判别式是所有因子判别式的最大公因数。结果被应用到给出一个标准的monogenality的K相反的是不正确的。
2022-08-06 math.NT
On the sum of a prime and a square-free number co-prime to any integer with at most two prime factors
University of the West of England（西英格兰大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
研究证明大于2的自然数可表示为素数与特定平方数之和，并明确给出了渐进行为结果。
2026-03-30 math.NT
Counting $r$-tuples of positive integers with $k$-wise relatively prime components
设$r\ge k\ge 2$为固定的正整数。设$\varrho_{r,k}$表示具有$k$式互素分量的正整数$r$元组集合的特征函数，即它们中的任何$k$都是互素的.利用卷积方法，通过初等变元建立了和$\sum_{n_1,\ldots,n_r\le x} \varrho_{r,k}(n_1,\ldots,n_r)$的渐近公式.我们的结果改进了J. Hu（2013）获得的误差项。
2016-04-08 math.NT
Arithmetic progressions of integers that are relatively prime to their digital sums
The College of Idaho（爱达荷学院）；Cedar Crest College（雪松crest学院）；Bryn Mawr College（布林茅尔学院）；University of Michigan（密歇根大学）；Kutztown University of Pennsylvania（宾夕法尼亚库兹敦大学）
本文研究了$b$-反尼文数等差数列的最大长度，探讨了其在不同基底下的性质和特征。
2023-08-09 math.NT
On Maximal Values of Gronwall Numbers for Integers with Given Greatest Prime Factor and Remainder in Modified Mertens Formula
Samara, Russia（萨马拉）
研究整数最大格罗旺数与修改后的梅特恩公式中素数倒数和余数之间的关系，不依赖黎曼假设，提出新的极限关系。
2026-03-25 math.NT
Representing integers as sums of mixed powers of primes
该研究证明了每个足够大的奇整数可以表示为素数的混合次幂之和，其中包含平方、立方和更高次幂的组合。
2025-12-04 math.NT
Cube sum problem for integers having exactly two distinct prime factors
给定一个整数n>1，n是否可以写成两个有理立方体之和，这是一个经典的丢番图问题。这个问题的研究，考虑到几个特殊情况下的n，有一个丰富的历史，可以追溯到工程西尔维斯特，萨特热，塞尔默等，并在最近的作品Alpöge-Bhargava-Shnidman。在这篇文章中，我们考虑无立方数整数n的立方和问题，其中n有两个不同的素因子，其中没有一个是3。
2022-11-30 math.NT
Fractional parts of non-integer powers of primes. II
我们继续研究满足条件$\{ p^α \} \in I \subset [0; 1)$的素数$p$在等差数列中的分布。本文用分布水平$θ= 2/5 - (3/5) α$证明了$0 < α< 1/9$的一个类似的Bjueri-Vinogradov定理，改进了以前相应于$θ\leq 1/3$的结果.
2021-07-10 math.NT
On the average number of representations of an integer as a sum of like prime powers
我们研究了正整数表示为素数的$k + 1$完全$k$次幂之和的平均数。本文推广了最近关于$k = 2$ [6]和$k = 3$ [5]的结果.我们使用同样的技术来研究相应的问题，只是$k$完美$k$次幂的素数的总和。
2019-08-28 math.NT
On the Interval [n,2n]: Primes, Composites and Perfect Powers
本文证明了对每一个正整数$n$，在区间$[n,9(n+3)/8]$中存在一个素数。在此基础上，证明了：若$a$是大于1的整数，则对每个整数$n>14.4a$，至少存在四个素数$p$，$q$，$r$和$s$，使得$n<ap<3n/2<aq<2n$和$n<r<3n/2<s<2n$ .证明了若$m$为正整数，则对每一正整数$n>14.4/(|\sqrt[m]{1.5}|-1)^m$，存在一正整数$a$和一素数$s$使得$n<a^m<3n/2<s<2n$，对每一正整数$n>14.4/(|\sqrt[m]{2}|-|\sqrt[m]{1.5}|)^m$，存在一素数$r$和一正整数$a$使得$n<r<3n/2<a^m<2n$ .
2013-09-02 math.NT
On the Existence of Integers with at Most 3 Prime Factors Between Every Pair of Consecutive Squares
The University of Queensland（昆士兰大学）
本文通过改进Dudek和Johnston的结果，证明了每对连续平方之间存在一个具有最多3个素因子的整数，从而在素数分布理论中取得进展。
2026-05-19 math.NT
Integers Represented as a Sum of Primes and Powers of Two
证明了每一个充分大的偶数是两个素数和正好13个2的幂的和。在广义黎曼假设下，可以用7代替13。与以前的工作在这个问题上，证明避免了数值计算与明确的零自由区域的狄利克雷L-函数。该论证使用了一种新的技术来约束由2的幂形成的指数和很大的集合的测度。
2002-04-02 math.NT
On sums of primes and triangular numbers
本文研究了足够大的整数能否写成cp+T_x的形式，其中p是零或r mod d的素同余，T_x=x（x+1）/2是三角数。我们还研究了是否存在无穷多个非（2^ap-r）/m+T_x的正整数，其中p是素数，x是整数.除了两个定理外，本文还包含了几个猜想以及相关的分析和数值数据。我们的一个猜想指出，每个不等于216的自然数都可以写成p+T_x的形式，其中x是整数，p是素数或零;另一个猜想断言，任何奇数n>3都可以写成p+x（x+1）的形式，其中p是素数，x是正整数。
2009-02-08 math.NT
Asymptotic counting of integers with prime factors $p_{r^a s^b}$
University of Liège（列日大学）
本文给出具有形如 $p_{r^a s^b}$ 的素数因子的整数的渐近计数公式，误差为 $o(1)$，并解决了 $(2,3)$ 情形下序数编码的计数问题。
2026-09-18 math.NT
Large bias for integers with prime factors in arithmetic progressions
本文证明了整数个数$\leq x$的一个渐近公式，它可以表示为$k ~(\geq 2)$个不同的素数$p_1\cdots p_k$与等差数列$p_j\equiv a_j \bmod q$中每个素数因子的乘积，$(a_j, q)=1$ $(q \geq 3, 1\leq j\leq k)$ .对于任何$A>0$，我们的结果对于$2\leq k\leq A\log\log x$都是一致的.此外，我们还证明了对某些等差数列$(a_1 \bmod q, \cdots, a_k \bmod q)$存在较大的偏差，这种偏差与Mertens定理和等差数列中的最小素数有关.
2017-08-09 math.NT
The existence of small prime gaps in subsets of the integers
我们考虑在不同的整数集合$\mathcal{C}$中寻找小素数缺口的问题。在Goldston-Pintz-Yildirim的工作之后，我们将考虑在等差数列中得到良好控制的自然数的集合。令$q_n$表示$\mathcal{C}$中的第$n$个素数，我们将建立对于任何小常数$ε>0$，集合$\left\{q_n| q_{n+1}-q_n \leq ε\log n \right\}$构成所有素数的正比例。使用的技术开发的梅纳德和陶，我们也将证明，$\mathcal{C}$有界素差距。具体的例子，如$\mathcal{C}$的情况下，是一个等差数列已经研究过，所以本文的目的是提出一般类的结果集。
2014-05-14 math.NT
On pairs of one prime, four prime cubes and powers of 2
本文研究了充分大整数对的同时表示问题。证明了每对大的正奇数都可以表示为一对一个素数、四个素数的立方和231个2的幂的形式。
2022-03-03 math.NT
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime
Goldston、Pintz和Yıldırım证明了，如果素数对于某个$θ>1/2$有“分布水平”$θ$，那么存在一个常数$C(θ)$，使得有无穷多个整数$n$，其中$[n,n+C(θ)]$区间包含两个素数。在同样的假设下，我们证明了对于任意整数$k\ge 1$，存在常数$D(θ,k)$和$r(θ,k)$，使得有无穷多个整数$n$，其中区间$[n,n+D(θ,k)]$包含两个素数和$k$几乎素数，且所有几乎素数至多有$r(θ,k)$素因子.如果$θ$可以取为与$1-ε$一样大，并且假设具有2个、3个或4个素因子的数也具有分布水平$1-ε$，则我们证明存在无限多个整数$n$，使得区间$[n,n+90]$包含2个素数和一个最多具有4个素因子的数。
2012-05-22 math.NT
Representing an integer as the sum of a prime and the product of two small factors
令c > 0.55。每个大的n都可以写成p +ab的形式，其中p是素数，a和b明显小于x ^1/2，ab小于n^c。这加强了Heath-Brown的一个结果，它有c>3/4的要求。我们引入“相交两个筛子”的思想作为证明这一结果的工具。
2020-11-21 math.NT
On the number of distinct exponents in the prime factorization of an integer
令$f(n)$为自然数$n$的素因子分解中不同指数的数目。证明了关于$f(n)$分布的一些结果。特别地，对于任意正整数$k$，我们得到了$$ \#\{n \leq x : f(n) = k\} \sim A_k x $$和$$ \#\{n \leq x : f(n) = ω(n) - k\} \sim \frac{B x (\log \log x)^k}{k! \log x} , $$为$x \to +\infty$，其中$ω(n)$为$n$的素因子个数，$A_k, B > 0$为某些显式常数.后者的渐近扩展的结果Aktaiden和拉姆Murty关于一些有相互不同的指数在其总理分解。
2019-02-25 math.NT
A sum of squares not divisible by a prime
设$p$为素数。我们定义$S(p)$为最小数$k$，使得每个正整数至多是不能被$p$整除的整数的$k$平方的和。在这篇文章中，我们证明了$S(2)=10$，$S(3)=6$，$S(5)=5$，和$S(p)=4$对于任何素数$p$大于$5$。特别地，证明了除唯一的正整数$79$外，每个正整数至多是四个不能被$5$整除的平方和.
2018-05-08 math.NT
Toda primes
Brigham Young University（杨百翰大学）
该研究提出Toda素数的定义，猜想每个正整数至少有两个Toda素数，给出至少存在一个的部分证明，并探讨其与Bernoulli数分母的关联及对Sophie Germain素数的推广。
2025-11-24 math.NT
Consecutive primes which are widely digitally delicate and Brier numbers
利用覆盖系统和D. Shiu等人证明了对于每一个正整数$k$，存在连续的$k$，它们是数字上的宽精细素数.他们还注意到，对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续的素数，它们是Brier数。我们证明了对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续素数，它们都是广泛的数字精致数和Brier数.
2022-09-21 math.NT
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
2025-05-05 math.NT
On the distribution of products of two primes
对于实参数$r$，RSA整数是可以写为两个素数$pq$与$p<q\leq rp$的乘积的整数，其根据RSA密码学中两个素数的乘积的重要性而命名。几位作者得到了RSA整数个数的渐近公式。然而，以前关于RSA整数个数的结果只在参数$r$的相当有限的范围内有效。Dummit、Granville和Kisilevsky发现了两个素数的乘积在全等条件下的分布存在一些偏差。Moree和第一作者研究了RSA整数中的一些类似的偏差，但他们证明了至少对于固定的$r$，不存在这样的偏差。本文通过对Dummit，Granville，Kisilevsky和Moree等人的结果进行插值，给出了在$r$的更大范围内RSA整数个数的渐近公式，并给出了RSA整数的偏差的一些观察.
2019-08-26 math.NT
Small gaps between almost primes, the parity problem, and some conjectures of Erdos on consecutive integers
在以前的论文中，作者证明了在任何满足明显必要局部条件的三个线性型的系统中，至少有两个形式无限地经常假设$E_2$ -值;即，两个素数的乘积。我们利用这个结果证明了有无穷多个整数$x$同时满足$$ω(x)=ω(x+1)=4, Ω(x)=Ω(x+1)=5, \text{and} d(x)=d(x+1)=24.$$这里，$ω(x), Ω(x), d(x)$分别表示$x$的素除子数、$x$的素幂因子数和$x$的因子数。对于任意正整数$b$，我们也证明了类似的定理，其中$x+1$被$x+b$取代。我们的结果加强了Heath-Brown，Pinner和Schlage-Puchta的早期工作。
2008-03-18 math.NT
On the largest prime factor of $x^2-1$
在本文中，我们发现所有整数$x$，使$x^{2}-1$只有素因子小于100。这给出了一些有趣的数字推论。例如，对于任何正整数$n$，我们可以找到最大的正整数$x$，使得每个$x, x+1,..., x+n$的所有素因子都小于100。
2010-05-10 math.NT
Formulas giving prime numbers under Cramér's conjecture
在Cramér关于素数的猜想下，我们证明了对于任何$x>1$，存在一个实$A=A(x)>1$，对于它，公式$[A^{n^x}]$（其中$[]$表示整数部分）给出了一个素数给任何正整数$n$ .在同样的猜想下，我们还证明了对于任何$ε>0$，存在正实数$B$，对于任何充分大的正整数$n$，公式$[B.{n!}^{2+ε}]$给出素数.
2006-11-24 math.NT
Representation of even integers as a sum of squares of primes and powers of two
1951年，Linnik证明了存在一个常数$K$，使得每个足够大的偶数都是两个素数的和，且至多是2的$K$的幂。从那时起，这种近似风格被认为是类似于哥德巴赫猜想的问题。一个这样的问题是表示一个足够大的偶数作为四个平方的素数和最多$k$权力的2。2014年，赵用$k = 46$证明了这一点。在本文中，我们将其简化为$k = 31$。
2022-11-11 math.NT
On certain sums involving the largest prime factor over integer sequences
本文研究了整数序列中最大素因子相关的求和问题，推导了两个求和的渐进行为。
2026-03-04 math.NT
An almost sure upper bound for random multiplicative functions on integers with a large prime factor
设$f$是Rademacher或Steinhaus随机乘法函数。让$\varepsilon>0$变小。我们证明，作为$x\rightarrow +\infty$，我们几乎肯定有$$\bigg|\sum_{\substack{n\leq x\\ P(n)>\sqrt{x}}}f(n)\bigg|\leq\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4+\varepsilon},$$，其中$P(n)$代表$n$的最大素因子。这给出了$f$最大波动的几乎必然大小的指示。
2021-05-20 math.NT
Short interval results for certain prime-independent multiplicative functions
利用平滑曲线上整数点理论的最新结果，给出了一类整数值素无关乘性函数值分布的渐近公式。
2016-09-09 math.NT
Artin prime producing polynomials
我们定义一个整数$g$的Artin素数为素数，使得$g$是模该素数的原根。设$g\in \mathbb{Z}\setminus\{-1\}$不是完满平方。阿廷的一个猜想指出，$g$的阿廷素数集具有正密度。本文研究了这个猜想对多项式产生的素数的推广，并探讨了它与寻找一个固定整数$g$和一个素数产生多项式$f(x)$的问题的联系，该多项式具有由$f(x)$产生的一长串连续素数是$g$的Artin素数的性质.利用Moree的一些结果，我们给出了求这类多项式$f(x)$和整数$g$的一般方法.然后，我们将此一般程序的线性，二次和三次多项式生成的多项式具有非常大的阿廷素数生产长度的许多例子。更具体地说，在许多其他的例子中，我们展示了线性，二次和三次多项式（分别）与6355，37951和10011（分别）连续阿廷素数为某些整数$g$。
2013-10-19 math.NT
Sums of squares with restrictions involving primes
著名的拉格朗日四平方定理指出，任何整数$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$都可以写成四个平方的和。最近，Z W. Sun研究了$n$作为$x^2+y^2+z^2+w^2$的表示，其中包含整数变量$x,y,z,w$的某些线性限制。本文利用二次型理论，进一步研究了二次型的表示$n=x^2+y^2+z^2+w^2$（分别为，$n=x^2+y^2+z^2+2w^2$），具有涉及素数的某些线性限制。例如，我们得到如下结果：（i）每个正整数$n>1$都可以写成$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$），其中$x+y$是素数. (ii)每个正整数都可以写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$），其中$x+2y$是素数。(iii)令$k$为任意正整数，令$d\ge 2^{k-1}$为正奇数，且$4d^2+1$为素数。那么任何足够大的整数都可以写成$x^2+y^2+z^2+2w^2$ $(x,y,z,w\in\mathbb N)$，其中对于某个素数$p$有$x+2dy=p^k$。
2019-06-03 math.NT
