A binomial identity on the least prime factor of an integer
Samuel A. Hambleton
证明了模奇正整数$n$的二项符号与$n$的最小素因子有关的一个恒等式。的身份范围内讨论佩尔二次曲线。
An identity for binomial symbols modulo an odd positive integer $n$ relating to the least prime factor of $n$ is proved. The identity is discussed within the context of Pell conics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A hypergeometric proof for a binomial identity related to $1/π$
我们表明，二项式身份的范围内所产生的系列展开的研究$1/π$可以被看作是一个化身的惠普尔斯第二定理的超几何级数。
An identity involving the least common multiple of binomial coefficients and its application
本文证明了恒等式$$\lcm\{\binom{k}{0}, \binom{k}{1}, >..., \binom{k}{k}\} = \frac{\lcm(1, 2, ..., k, k + 1)}{k + 1} (\forall k \in \mathbb{N}) .$$作为应用，给出了著名的非平凡下界$\lcm(1, 2, ..., k) \geq 2^{k - 1}$ $(\forall k \geq 1)$的一个简单证明.
A matrix variation on Ramus's identity for lacunary sums of binomial coefficients
我们研究了著名的缺项和的二项式系数考虑，最值得注意的是，基督教Ramus，和他们的连接到一个特殊的一种调和数与第一种情况下的费马大定理。对于一种情况下，拉莫斯的著名的身份，我们得到一个变化，其中一些参数被替换为任意尺寸的方阵。
A characterization of a prime $p$ from the binomial coefficient ${n \choose p}$
我们完成了一个定理的证明，灵感来自印度的奥林匹克问题，这给了一个有趣的特征的素数$p$相对于二项式系数${n\choose p}$。我们还得到了一个相关的结果，它在一个方向上推广了定理。
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
The distribution of the Carlitz binomial coefficients modulo a prime
对于一个非负整数$n$，和一个总理$\wp$在$\mathbb{F}_q[T]$，我们证明了一个结果，提供了一种方法，用于计算整数$m$与$0 \le m \le n$的Carlitz二项式系数$\binom{n}{m}_C$落入每个剩余类模$\wp$。我们的主要结果可以被看作是一个功能领域的模拟Garfield-Wilf定理。
Two binomial coefficient conjectures
关于素数的二项式系数我们知道得很多，但关于素数幂和复合数的知道得很少。本文在这方面给出了两个定理，一个是关于模16的二项式系数的计数，另一个是关于模n的二项式[n，2 p]的值。
An extension of a curious binomial identity
在2002年孙志伟[整数2（2002）]发表了一个奇怪的身份涉及二项式系数。在本文中，我们提出了一个推广的身份。
Binomial Coefficients and the Distribution of the Primes
设Ω（n）是除n的不同素因子的个数，且m > n个自然数。我们计算出一个公式，该公式显示了哪些素数在哪些区间中整除给定的二项式系数。由该公式得到恒等式Ω（binom（nk）（i））=sum_i（pi（k/b（i））- pi（k/a（i）+ O（sqrt（k））. Erdoes提到omega（binom（nk）（nk））= log n^n/（m^m（n-m）^（n-m））k/log k + o（k/log k）。作为上述恒等式的一个应用，我们得出了关于素数分布的一些众所周知的事实，并对所有自然数k推出了一个表达式（也是众所周知的）log k = sum_i a_k（i），它推广了log 2 = sum_i^（infty）（-1）^（j+1）/j。
Linear recurrence relations for binomial coefficients modulo a prime
研究了当正整数k为固定值时，二项式系数序列\binom{k}{i}模素数p在有限范围0 \le i \le k中满足（正）次h的线性递归关系.特别地，我们证明了，如果2 h \le k<p-h，这不会发生。这个假设可以减弱为2 h \le k<p，如果我们假设，此外，关系的特征多项式没有-1作为根。我们应用我们的结果来恢复一个已知的有限域有限域上的费马曲线的点的数目的界限。
Binomial Symbols and Prime Moduli
我们试图改进印度数学奥林匹克竞赛中的一道题。我们简要概述了Saikia和Vogrinc（2011）以及Saikia和Vogrinc的工作，其中作者发现了一个周期序列及其周期的长度，所有这些都是从奥林匹克问题中得到的启发。本文的主要目标是改进Saikia和Vogrinc（2011）的主要结果。
Binomial coefficients, roots of unity and powers of prime numbers
设$t\in\mathbb{N}_+$已知。在这篇文章中，我们有兴趣在这些$d\in\mathbb{N}_+$的特点，使合同$$\frac{1}{t}\sum_{s=0}^{t-1}{n+dζ_t^s\choose d-1}\equiv {n\choose d-1}\pmod{d}$$是真正的每个$n\in\mathbb{Z}$。特别地，假设$d$有一个大于$t$的素因子，我们证明了上述同余对每个$n\in\mathbb{Z}$成立当且仅当$d=p^r$，其中$p$是一个大于$t$和$r\in\{1,\ldots ,t\}$的素数。
The q-Binomial Coefficient for Negative Arguments and Some q-Binomial Summation Identities
利用q-移位阶乘的一个性质，证明了q-二项式系数的一个恒等式，并利用这个恒等式导出了q-二项式系数的负自变量公式.这一结果与文献[1]中关于负自变量的正态二项式系数的结果一致。导出了一些新的q-二项式求和恒等式，并利用负宗量公式将这些求和恒等式相互转换。将一个q-二项式求和恒等式变换为一个新的q-二项式求和恒等式。
A new family of series expansions for $1/π$ and a binomial identity
给出了$1/π$的一个双无限集级数展开式.他们遵循平凡从一个正式的扩展商的值所采取的Γ函数为两个（复杂）的论点不同的整数加一半，获得了另一种计算的朗斯基的修改贝塞尔函数。同样的形式扩展也允许发现一个新的二项式恒等式。
Nair's and Farhi's identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent
1982年，Nair证明了一个恒等式：${\rm lcm}({k \choose 1}, 2{k \choose 2}, >..., k{k \choose k}) ={\rm lcm}(1, 2, ..., k), \forall k\in \mathbb{N}.$最近，Farhi证明了一个新的恒等式：${\rm lcm}({k \choose 0}, {k \choose 1}, >..., {k \choose k}) =\frac{{\rm lcm}(1, 2, ..., k+1)}{k+1}, \forall k\in \mathbb{N}.$本文证明了Nair恒等式与Farhi恒等式是等价的.
Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
The Euler Series Transformation and the Binomial Identities of Ljunggren, Munarini and Simons
它表明，好奇的身份西蒙斯如下立即从欧拉的级数变换公式，也从一个身份由于Ljunggren。本文还讨论了西蒙斯恒等式与勒让德多项式的关系。最后利用广义欧拉级数变换得到了Munarini的两个最近的二项式恒等式。
An identity relating $n$-nacci numbers, partitions, and products of binomial coefficients
本文通过研究最终类型和其相关划分，推导出n-nacci数的恒等式，并比较了不同偏序关系。
Products of binomial coefficients and unreduced Farey fractions
本文研究了Pascal三角形第n行的二项式系数的乘积$\bar{G}_n$，它等于所有n阶约化Farey分数与未约化Farey分数乘积的倒数。它研究了它作为实数的大小（通过其对数$log(\bar{G}_n)$来衡量）以及它的素因子分解（通过被固定素数p整除的顺序来衡量），每个都被视为n的函数。它推导出三个公式的素数幂整除，$ord_p(\bar{G}_n)$，其中两个涉及到基地p基数扩展的n，并显示不同方面的行为。这些公式用于确定每个$ord_p(\bar{G}_n)$的最大增长率和这些函数的波动结构。它还为所有整数基$b$定义了类似的函数来替换素数基。最后一个主题涉及的因子分解的$\bar{G}_n$切比雪夫型素数计数估计和素数定理。
Nonexistence of permutation binomials of certain shapes
设x^m + c*x^n是GF（p）上的置换多项式，其中p>5是素数，m>n>0，c在GF（p）^* 中。我们证明了gcd（m-n，p-1）不是2或4。在（p-1）/2或（p-1）/4是素数的特殊情况下，这在Masuda，Panario和Wang最近的一篇论文中得到了证明。
Binomial sequences over prime fields
研究素数p上的p元二项式序列，证明其构成周期为p的幂的p元序列空间的基。
On Binomial Identities in Arbitrary Bases
通过引入$b-$元二项式系数，将Nguyen等人给出的数字二项恒等式推广到任意基$b$中的恒等式.然后，我们研究这些系数的性质，如正交性，链接到卢卡斯定理和相应的$b-$ ary杨辉三角形。
Wendt's determinant and finiteness of prime characteristics for permutation binomials
本研究针对置换二项式，结合Wendt行列式，证明对固定参数，仅有限个素特征存在满足条件的置换二项式，确定了特定情形下的可允许特征及相关整除条件。
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
A Combinatorial Identity for the p-Binomial Coefficient Based on Abelian Groups
对于非负整数$k\leq n$，我们基于交换p-群证明了$p$ -二项式系数$\binom{n}{k}_p$的一个组合恒等式.一个纯粹的组合证明这个身份是未知的。在证明这个身份，为$r\in \mathbb{N}\cup\{0\},s\in \mathbb{N}$和$p$一个素数，我们提出了一个纯粹的组合公式的子群的数量$\mathbb{Z}^s$有限指数$p^r$与商同构的有限阿贝尔$p$ -群的类型$\underlineλ$，这是一个分区的$r$至多$s$部分。这个纯粹的组合公式类似于Lynne Marie Butler在有限交换$p$ -群中计算某类子群的公式。作为结果，该组合公式产生了许多涉及$p$中具有非负整数系数的多项式的枚举公式。
Periodic minimum in the count of binomial coefficients not divisible by a prime
针对不被素数整除的二项式系数计数的周期函数最小值难以确定的问题，研究提出通用求解方法，解决了B. Wilson此前的相关猜想。
On the q-binomial identities involving the Legendre symbol modulo 3
我使用多项式模拟的Jacobi三重产品的身份与爱森斯坦公式的勒让德符号模3。证明了涉及$q$ -二项式系数的六个恒等式。这些身份，然后扩展到新的无限层次的q-系列身份的特殊情况下贝利引理。拉马努金、斯莱特、麦克劳克林和西尔斯的一些恒等式就是这样得到的。
On the least common multiple of $q$-binomial coefficients
在本文中，我们证明了以下等式$$ \lcm({n\brack 0}_q,{n\brack 1}_q,...,{n\brack n}_q) =\frac{\lcm([1]_q,[2]_q,...,[n+1]_q)}{[n+1]_q}, $$，其中${n\brack k}_q$表示$q$ -二项式系数和$[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}$。该结果是Farhi恒等式的$q$ -类似物[Amer. Math. Monthly，November（2009）]。
Prime Counting Function Identity
本文给出了π^（2）（N）的一个新公式，它是一个计算不超过给定数N的半素数个数的函数。半素数是恰好是两个素数的乘积的自然数，乘积中的两个素数可以彼此相等。半素数也是几乎素数的一种情况。由于已经知道了这个公式，所以通过使两个函数相等来创建使用素数计数函数的新恒等式。
A Note on Permutation Binomials and Trinomials over Finite Fields
设$p$为奇素数，$e$为正整数.本文完全解释了当$n=p^l+2$，其中$l\in \mathbb{N}$，在$\mathbb{F}_{p^e}$上的$D_{n,k}(1,x)$的逆Dickson多项式所产生的置换二项式和三项式.
Binomial coefficients involving infinite powers of primes
设p是素数，n是正整数，设v（n）表示p在n中的指数，u（n）=n/p^{v（n）}表示n的单位部分.如果k是不能被p整除的正整数，我们证明了（-1）^{pke} u（（kp^e）！）当e趋于无穷大时，是一个定义良好的p-adic整数，我们称之为z_k。在此基础上，我们给出了当e趋于无穷大时binom（a p^e +c，b p^e +d）的p进极限的公式，我们称之为binom（a p^ \infty +c，b p^ \infty +d）.这里a、\ge、b是正整数，c和d是整数。
The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields
设$q$是素数幂，$n$和$r$是正整数.众所周知，线性化二项式$L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$是置换多项式当且仅当$(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}}\neq 1$，其中$d=(n,r)$。在本文中，$L_r(x)$的组成逆显式确定时，这个条件成立。
Partial Factorizations of Products of Binomial Coefficients
设$G_n= \prod_{k=0}^n \binom{n}{k},$为帕斯卡三角形第$n$行元素的乘积。本文研究了$G_n$的部分因子分解，它由$G_n$的所有素因子$p$的乘积$G(n,x)$给出，且有$p \le x$，重数.对于为$0 \le α\le 1$定义的极限函数$f_{G}(α)$，它将$\log G(n, αn) \sim f_G(α)n^2$显示为$n \to \infty$。主要结果推导出从研究的功能$A(n, x), B(n,x),$，编码统计的基础$p$基数扩展的整数$n$（和更小的整数），其中基础$p$范围超过素数$p \le x$。利用带余项的素数定理或在黎曼假设的条件下导出了$A(n,x)$和$B(n,x)$的渐近性。
Infinitely Many Binomial Coefficients of Deficiency One
本文通过构造性证明，证明了存在无穷多个亏度恰为1的好二项式系数，解决了 Erdős、Lacampagne 和 Selfridge 提出的相关问题。
Powers in prime bases and a problem on central binomial coefficients
研究素数底数下幂的表示特性，证明关于中心二项式系数的整除性问题的渐近密度为零。
The degrees of irreducible factors of binomials and multiplicativity of the n-Hartley condition
本文研究了二项式不可约因子次数的性质，并证明了Hartley条件的乘积性特性。
Ljunggren--Jacobsthal and Bailey-Type Congruences for Rectangular Gaussian Binomial Coefficients
本文针对模4余3的有理素数，研究矩形高斯二项式系数，证明其p-整性，建立Ljunggren--Jacobsthal型超同余式以解决Kalinin猜想的惰性素数情形，还给出矩形Bailey型模p同余式并完成相关证明。
Binomial predictors
对于素数p和非负整数n，k，考虑集合A_{n,k} ^{（p）}={x在[0，1，.，n]：p^k|| binom {n} {x}}。设n+1在基p中的展开式为：n+1= alpha_{0} p^v + alpha_{1} p^{nu-1}+.+ alpha_{nu}，其中0<= alpha_{i} <= p-1，i=0，.，努扎姆则数字n被称为以p为底的二项式预测器，如果|A_{n,k} ^{（p）}|= alpha_{k} p^{nu-k}，k= 0，1，.，努扎姆我们给出了一个完整的描述，二项式预测基p。
Binomial coefficients coprime to 6
本文针对d含至少两个不同素因子时无有意义界的问题，首次给出与6互素的二项式系数数量的非平凡界，推进了例外集合规模的研究。
General Mneimneh-type Binomial Sum involving Harmonic Numbers
本文在已有Mneimneh型调和数二项式和恒等式的研究基础上，利用此前论文的相关结果，证明了涉及Bell数的更广义Mneimneh恒等式及若干含（交错）调和数的Mneimneh型恒等式，丰富了相关组合恒等式研究成果。
Congruences for certain lacunary sums of products of binomial coefficients
证明了对任意素数$p$和任意自然数$\ell, m,$和$s$使得$0<s<p$，下列三个同余式\begin{align*}\sum_{i\ge \ell+1}(-1)^{m-i} {m \choose i}{m+s-1+i(p-1) \choose m+s-1+\ell(p-1)} &\equiv 0 \bmod p\\ \sum_{i\ge 0}(-1)^{m-i} {m \choose i}{\ell+ip \choose m+s-1}&\equiv 0 \bmod p^m\\ \sum_{j,i\ge \ell}(-1)^{j-i}{m \choose j} {j \choose i}{j+s-1+i(p-1) \choose j+s-1+\ell(p-1)}&\equiv 0 \bmod p^{m-\ell} \end{align*}成立.相应的同余式涉及Adelberg多项式，它可以显式计算，为这些和提供封闭形式的表达式，即使$p$不是素数，当同余式不一定成立时也有效。
On the link between binomial theorem and discrete convolution
本文引入多项式$\mathbf{P}^{m}_{b}(x)$并建立奇数次幂的多项式恒等式，借此揭示了二项式定理与奇数次幂离散卷积的联系，并将其推广至多项式情形，最后通过Mathematica程序验证。
Permutation binomials over finite fields
证明了若x^m + c*x^n置换素域GF（p），其中m>n>0且c在GF（p）^* 中，则gcd（m-n，p-1）> sqrt{p} - 1.反之，若q>=4且m>n>0是固定的，且满足gcd（m-n，q-1）> 2 q *（log log q）/（log q），则GF（q）上存在形式为x^m + c*x^n的置换二项式当且仅当gcd（m，n，q-1）= 1.
Binomial exponential sums
我们得到了素数$p$与二项式$ax^k + bx^n$的指数和的新的界.特别地，对于$k=1$，我们将Karatsuba（1967）的结合从$O(n^{1/4} p^{3/4})$改进为任何$n$的$O\left(p^{3/4} + n^{1/3}p^{2/3}\right)$，然后使用它将Akulinichev（1965）的结合从$O(p^{5/6})$改进为$n | (p-1)$的$O(p^{4/5})$。这个结果是基于有限域上某些方程的解的个数和不可约分量的度的一个新的界。
Computing the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients $\binom{mn}{mk}$
本文研究了二项式系数 $\binom{mn}{mk}$ 的最大公约数，给出了 $m=2$ 时该 GCD 的完整刻画，并展示了在特定条件下高效计算的方法。
An identity connecting theta series associated with binary quadratic forms of discriminant $Δ$ and $Δ($prime$)^2$
本文陈述并证明了一个恒等式，它连接了与二元二次型的恒等判别式$Δ$和$Δp^2$有关的θ级数，其中$p$是素数.利用这个恒等式，我们将判别式$Δp^2$的θ级数写成Lambert级数的线性组合，从而推广了Toh的结果.然后，我们使用这些朗伯级数分解给出明确的表示公式的形式的判别式$Δp^2$。最后，我们给出了我们的主要身份，它采用了Buell的映射连接形式的判别$Δ$到$Δp^2$的推广。我们的广义恒等式将与单一形式的判别式$Δ$相关联的θ序列链接到与形式的判别式$Δp^2$相关联的θ序列，其中$Δ$和$Δp^2$不再需要是恒等式。
On binomial coefficients modulo squares of primes
给出了Apagodu-Zeilberger-Stanton-Amdeberhan-Tauraso同余式$$\sum\limits_{n=0}^{p-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\mod p^{2},$$ $$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\sum\limits_{n=0}^{r-1}\dbinom {2n}{n}\mod p^{2}$$和$$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\sum\limits_{m=0}^{sp-1}\dbinom{n+m}{m}^{2} \equivη_{p} \sum\limits_{m=0}^{r-1}\sum\limits_{n=0}^{s-1}\dbinom{n+m}{m}^2\mod p^2,$$的初等证明，其中$p$是奇素数，$r$和$s$非负整数，$η_{p}= \begin{cases} 0, &\text{if }p\equiv0\mod 3;\\ 1, & \text{if }p\equiv1\mod 3;\\ -1, &\text{if }p\equiv2\mod 3 \end{cases}.$
Lack of Divisibility of ${2N \choose N}$ by three fixed odd primes infinitely often, through the Extension of a Result by P. Erdős, et al
本文给出了一种方法来修正和推广P.Erdensys，R. Graham等人提出的一个猜想，并回答了R.格雷厄姆，它承担的缺乏整除的中心二项式系数由三个不同的，固定的奇素数。事实上，结果将表明，通过使用一种方法类似于他们自己的情况下，他们证明了两个固定的奇素数，即中央二项式系数是不整除无限往往由三个不同的和固定的奇素数。因此，推广到比三个更固定但数量有限的奇素数是可能的，至少如果人们能够找到一些充分条件的话。作者希望在随后的论文中回答后一个问题。
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
Sums of binomial coefficients modulo $p$ and groups of exponent $p^n$
本文利用矩阵方法证明模素数 $p$ 的二项式系数和同余方程，并据此构造指数为 $p^n$ 的群，从而说明 $p=2$ 在 Heisenberg 群相关问题上并非真正例外。
For which p-adic integers x can Sum_k binomial(x,k)^(-1) be defined?
设f（n）= Sum binomial（n，k）^（-1）.首先，我们证明了f：N到Q_p在p-adic拓扑中无处连续。如果x是p进整数，我们说f（x）是p可定义的，如果lim f（x_j）存在于Q_p中，其中x_j表示x的第j个部分和。我们证明了f（-1）对所有素数p都是p-可定义的，并且如果p是奇数，则-1是Z_p-N中唯一一个f（x）是p-可定义的元素。对于p=2，我们证明了如果k是正整数，则f（-k-1）不是2-可定义的，但是如果x的二进制展开式中的1最终非常稀疏，则f（x）是2-可定义的。我们的一些证明要求p满足两个条件之一。有三个小素数不满足相关条件，但我们的定理可以直接证明这些素数。任何小于小于100，000，000的素数都不满足条件。
A p-adic identity for Wieferich primes
设$n$为正整数，$p$为奇素数，$a,b \not= 0$与$gcd(a,b)=1$，$p \nmid ab$，$p|(a^n \pm b^n)$为正整数，我们证明了$$ν_p(a^n \pm b^n)-ν_p(n)=ν_p(a^{p-1}-b^{p-1}).$$的恒等式。一个意想不到的有趣的直接结果是Wieferich的FLT准则的以下变体：设$x^n+y^n=z^n$与$n$素数和$x,y,z$两两相对素数。则每个奇素数$p|y$满足$ν_p(z^{p-1}-x^{p-1}) \ge n-1$，每个奇素数$p|x$满足$ν_p(z^{p-1}-y^{p-1}) \ge n-1$，每个奇素数$p|z$满足$ν_p(x^{p-1}-y^{p-1}) \ge n-1$，即.每一个除$xyz$的奇素数都是至少$n-1$阶的Wieferich素数。在$n \nmid xyz$的“第一种情况”下，Wieferich阶的下限可以改进为$n$。这给了我们很强的直觉，为什么即使对于中等大小的$n$也不应该有任何解决方案。
Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)
1878年，Lucas证明了一个显著的结果，它提供了一种简单的方法来计算二项式系数${n\choose m}$模一个素数$p$，根据$n$和$m$的基$p$数字的二项式系数：{ \it如果$p$是素数，$n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$和$m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$是非负整数$n$和$m$的$p$ -进展开式，则\begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*} }上述同余式，所谓的{ \it Lucas' theorem}（或{ \it Theorem of Lucas}）在数论和组合数学中起着重要的作用。本文共分六节，主要介绍了Lucas型同余的历史，Lucas模素幂定理的推广，广义二项式系数的Lucas类定理及其应用。在第一节中，我们介绍了模素数的基本同余，包括著名的卢卡斯定理。在第2节中，我们提到几个已知的证明和一些后果卢卡斯定理。在第3节中，我们提出了一些扩展和变化的卢卡斯定理模素数的权力。在第4节中，我们考虑卢卡斯性质和双重卢卡斯性质的概念，其中我们也提出了许多整数序列满足这些性质之一或某一卢卡斯型同余。在第五节中，我们收集了几个已知的关于广义二项式系数的Lucas型同余。特别地，这涉及Fi…
Structured Solutions of Prime-Base Binomial Congruences
研究素数基 q 下二项式同余式 C(qn, n) ≡ q^n (mod n) 的解结构，将解 n = q^t p 转化为模 p 同余和数字和不等式两个独立条件，并用于生成新解及证明平方解与 Wieferich 素数等价。
On a conjecture of Graham on the p-divisibility of central binomial coefficients
我们证明，对于每个$r \geq 1$和所有$r$不同（足够大）的素数$p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无限多个整数$n$，使得${2n \choose n}$可被这些素数整除，仅具有低重数。从Kummer的定理，一个素数$p_j$可以整除${2n \choose n}$的次数的上限是$1+\log n / \log p_j$ ;我们的定理表明，对于每个$\varepsilon > 0$，$r \geq 1$和任何足够大的素数$p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，我们可以找到整数$n$，其中对于$j=1,...,r$，$p_j$整除${2n \choose n}$的重数至多为$\varepsilon \log n/\log p_j$。我们把这个结果与R. L. Graham关于是否存在无穷多个整数$n$使得${2n \choose n}$与$105$互质的问题。
The Catalan numbers have no forbidden residue modulo primes
设$C_n$是第$n$个Catalan数。对于任何素数$p \geq 5$，我们证明了集合$\{C_n : n \in \mathbb{N} \}$包含所有mod $p$的残基。此外，所有的剩余都是无限频繁地得到的。任何正整数都可以表示为中心二项式系数模$p$的乘积。$C_n \mod p$的自动机的有向子图由恒定状态和它们之间的转换组成，具有访问所有顶点的循环。
An explicit generating function arising in counting binomial coefficients divisible by powers of primes
对于素数$p$和非负整数$j$和$n$，令$\vartheta_p(j,n)$是帕斯卡三角形的第$n$行中可被$p^j$整除的条目数。此外，对于$\{0,\ldots,p-1\}$中的有限序列$w=(w_{r-1}\cdots w_0)\neq (0,\ldots,0)$，我们用$\lvert n\rvert_w$表示$w$作为$n$的基- $p$扩展$n=(n_{μ-1}\cdots n_0)_p$的因子（连续子序列）出现的次数.从Barat和Grabner的工作（二项式系数的数字函数和分布，J. London Math. Soc.（2）64（3），2001）得出，$\vartheta_p(j,n)/\vartheta_p(0,n)$由变量$X_w$中的多项式$P_j$给出，其中$w$是$\{0,\ldots,p-1\}$中的某些有限字，并且每个变量$X_w$被设置为$\lvert n\rvert_w$。这后来由Rowland（The number of nonzero二项式系数modulo $p^α$，J. Comb. Number Theory 3（1），2011）明确表示，独立于Barat和Grabner的工作，并且Rowland描述并实现了计算这些多项式$P_j$的算法。本文用生成函数表示$P_j$的系数，并证明了这些生成函数可以通过递推关系显式确定。此外，我们证明了$P…
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