Fibonacci Identities Involving Reciprocals of Binomial Coefficients
我们导出了一些含有逆二项式系数的Fibonacci和Lucas恒等式。在某些情况下，将结果推广到一般的Horadam序列是可能的。
2021-11-19 math.NT
Double Series Involving Binomial Coefficients and the Sine Integral
通过将正弦反正弦的超几何级数表示除以sin^-1（x）并积分，就产生了整数和常数的新的二重级数表示。因此，二项式系数和正弦积分结合在二重级数中。
2010-09-16 math.NT
Factors of certain sums involving central q-binomial coefficients
最近，Ni和Pan证明了关于中心$q$ -二项式系数的和的一个$q$ -同余式，这是由Guo证明的.本文给出了这个$q$ -同余式的一个推广，并证明了另一个$q$ -同余式，该同余式也是由Guo提出的.我们的证明使用Ni和潘的技术和一个简单的$q$ -同余郭和Schlosser观察。
2021-02-03 math.NT
On four families of power series involving harmonic numbers and central binomial coefficients
我们提出了几个涉及调和数和中心二项式系数的序列。计算技术是由一个特殊的求和方法，允许，基于适当的二值整数函数，计算不同的家庭的幂级数，涉及奇调和数和中心二项式系数。此外，它表明，基于这些系列的一种新的类型的非线性欧拉和，涉及奇调和数可以计算的zeta函数。
2020-06-23 math.NT
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
2009-12-20 math.NT
The q-Binomial Coefficient for Negative Arguments and Some q-Binomial Summation Identities
利用q-移位阶乘的一个性质，证明了q-二项式系数的一个恒等式，并利用这个恒等式导出了q-二项式系数的负自变量公式.这一结果与文献[1]中关于负自变量的正态二项式系数的结果一致。导出了一些新的q-二项式求和恒等式，并利用负宗量公式将这些求和恒等式相互转换。将一个q-二项式求和恒等式变换为一个新的q-二项式求和恒等式。
2023-01-11 math.CO math.NT
Evaluation of some alternating series involving the binomial coefficients $C(4n,2n)$
本文研究分母含中心二项式系数的交错无穷级数，给出多个闭式求值，并推广了 Sprugnoli 于2006年实验发现的恒等式。
2024-04-07 math.NT
On the q-binomial identities involving the Legendre symbol modulo 3
我使用多项式模拟的Jacobi三重产品的身份与爱森斯坦公式的勒让德符号模3。证明了涉及$q$ -二项式系数的六个恒等式。这些身份，然后扩展到新的无限层次的q-系列身份的特殊情况下贝利引理。拉马努金、斯莱特、麦克劳克林和西尔斯的一些恒等式就是这样得到的。
2023-02-12 math.NT
A new family of series expansions for $1/π$ and a binomial identity
给出了$1/π$的一个双无限集级数展开式.他们遵循平凡从一个正式的扩展商的值所采取的Γ函数为两个（复杂）的论点不同的整数加一半，获得了另一种计算的朗斯基的修改贝塞尔函数。同样的形式扩展也允许发现一个新的二项式恒等式。
2019-07-06 math.CA math.NT
Jacobi polynomials and congruences involving some higher-order Catalan numbers and binomial coefficients
本文研究了二项式系数乘积和上的同余式，并利用雅可比多项式的性质证明了这类同余式。我们特别注意多项式同余包含Catalan数，二阶Catalan数，序列（\seqnum{A176898}）$S_n=\frac{{6n\choose 3n}{3n\choose 2n}}{2{2n\choose n}(2n+1)},$和二项式系数${3n\choose n}$和${4n\choose 2n}$。作为一个应用，我们讨论了Z的几种结构。W. Sun关于涉及$S_n$的和的同余的结果，我们证明了一个关于二项式系数${3n\choose n}$和的三次剩余性准则H.太阳
2015-12-18 math.NT
Some Congruences Involving Binomial Coefficient and Fermat Quotient
本文研究了涉及二项式系数和费马商的某些同余式，探讨了相关求和形式的性质。
2025-12-01 math.NT
Nair's and Farhi's identities involving the least common multiple of binomial coefficients are equivalent
1982年，Nair证明了一个恒等式：${\rm lcm}({k \choose 1}, 2{k \choose 2}, >..., k{k \choose k}) ={\rm lcm}(1, 2, ..., k), \forall k\in \mathbb{N}.$最近，Farhi证明了一个新的恒等式：${\rm lcm}({k \choose 0}, {k \choose 1}, >..., {k \choose k}) =\frac{{\rm lcm}(1, 2, ..., k+1)}{k+1}, \forall k\in \mathbb{N}.$本文证明了Nair恒等式与Farhi恒等式是等价的.
2009-07-20 math.NT
On some rational zeta series involving $ζ(2n)$ and binomial coefficients
本文利用余切函数的导数多项式，给出了一类涉及$ζ(2n)$的有理 zeta 级数用 Hurwitz zeta 值表示的精确公式，并推广了作者此前的两个结果。
2024-09-30 math.NT
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
2010-10-30 math.HO math.NT
The Euler Series Transformation and the Binomial Identities of Ljunggren, Munarini and Simons
它表明，好奇的身份西蒙斯如下立即从欧拉的级数变换公式，也从一个身份由于Ljunggren。本文还讨论了西蒙斯恒等式与勒让德多项式的关系。最后利用广义欧拉级数变换得到了Munarini的两个最近的二项式恒等式。
2009-12-31 math.CO math.NT
An identity relating $n$-nacci numbers, partitions, and products of binomial coefficients
本文通过研究最终类型和其相关划分，推导出n-nacci数的恒等式，并比较了不同偏序关系。
2026-01-24 math.CO math.NT
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
2017-09-20 math.CO math.NT
On Binomial Identities in Arbitrary Bases
通过引入$b-$元二项式系数，将Nguyen等人给出的数字二项恒等式推广到任意基$b$中的恒等式.然后，我们研究这些系数的性质，如正交性，链接到卢卡斯定理和相应的$b-$ ary杨辉三角形。
2016-02-12 math.CO math.NT
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
2021-10-20 math.NT
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
2021-12-06 math.CO math.NT
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
2009-11-05 math.NT
On alternating sums of binomial coefficients and $q$-binomial coefficients
本文用组合论的方法求两个二项式系数的交错和。此外，通过结合相同的组合思想与分区理论技术，我们提供了$q$ -类似物涉及$q$ -二项式系数。
2016-06-04 math.NT
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
2017-03-27 math.CO math.NT
A Combinatorial Identity for the p-Binomial Coefficient Based on Abelian Groups
对于非负整数$k\leq n$，我们基于交换p-群证明了$p$ -二项式系数$\binom{n}{k}_p$的一个组合恒等式.一个纯粹的组合证明这个身份是未知的。在证明这个身份，为$r\in \mathbb{N}\cup\{0\},s\in \mathbb{N}$和$p$一个素数，我们提出了一个纯粹的组合公式的子群的数量$\mathbb{Z}^s$有限指数$p^r$与商同构的有限阿贝尔$p$ -群的类型$\underlineλ$，这是一个分区的$r$至多$s$部分。这个纯粹的组合公式类似于Lynne Marie Butler在有限交换$p$ -群中计算某类子群的公式。作为结果，该组合公式产生了许多涉及$p$中具有非负整数系数的多项式的枚举公式。
2020-09-21 math.CO math.NT
Power Series with Binomial Sums and Asymptotic Expansions
本文研究了系数为二项式（迭代有限差分）的幂级数。我们的结果可用于级数求和、级数变换或涉及第二类Stirling数的渐近展开。在某些情况下，我们得到渐近展开涉及伯努利多项式，多伯努利多项式，或欧拉多项式。我们还讨论了与欧拉级数变换和其他级数变换公式的联系。
2015-01-18 math.NT
Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
2011-09-22 math.NT
Generating functions for finite sums involving higher powers of binomial coefficients: Analysis of hypergeometric functions including new families of polynomials and numbers
本研究的起源是基于不仅显式公式的有限和涉及高次幂的二项式系数，但也显式评估的生成函数，这种总和。应该强调的是，这项研究既包含了新的结果，也包含了对迄今为止存在的一些相关结果的文献调查。借助于超几何函数，构造了一类新的与二项式系数的有限次幂和有关的组合数的生成函数。利用这些生成函数，得到了一系列新的恒等式，同时推广了以前熟知的公式和恒等式。此外，在这种情况下，我们确定新的家庭的多项式，包括一些家庭的著名的数字，如伯努利数，欧拉数，斯特林数，弗兰纳数，加泰罗尼亚数，Changhee数，Daehee数和其他，也为多项式，如勒让德多项式，迈克尔沃多项式，Mirimanoff多项式，Golombek型多项式，和其他。我们也给出了这些多项式的Riemann和$p$ -adic整表示。最后，我们给出了这些新的数族、多项式族和二项式系数幂的有限和族的组合解释。我们也给这些数字的普通生成函数的开放性问题。
2019-01-04 math.NT
On the least common multiple of $q$-binomial coefficients
在本文中，我们证明了以下等式$$ \lcm({n\brack 0}_q,{n\brack 1}_q,...,{n\brack n}_q) =\frac{\lcm([1]_q,[2]_q,...,[n+1]_q)}{[n+1]_q}, $$，其中${n\brack k}_q$表示$q$ -二项式系数和$[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}$。该结果是Farhi恒等式的$q$ -类似物[Amer. Math. Monthly，November（2009）]。
2009-07-16 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
Mneimneh-type Binomial Sums of Multiple Harmonic-type Sums
本文利用斯特林数、贝尔数及相关变量，建立了涉及多重调和型和的Mneimneh型二项式和的表达式，并应用Toeplitz原理得到联系多重zeta星值与多重多对数的新恒等式。
2024-03-28 math.NT
Further Classes of Series Involving Central Binomial Coefficients
本文从依赖正整数参数的中心二项式系数无穷级数出发，利用指数Bell多项式、积分表示以及gamma与polygamma函数，将已知恒等式推广至复数参数并进一步扩展了相关结果。
2025-10-30 math.CA math.NT
Super-congruences involving trininomial coefficients
这项工作的目的是建立同余关系$\left( \operatorname{mod}p^{2}\right) $涉及三项式系数$\binom{np-1}{p-1}_{2}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right)/2}_{2}$所产生的多项式$1+x+x^{2}.$的幂的扩展在主要结果中，我们扩展了一些已知的同余关系涉及二项式系数$\binom{np-1}{p-1}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right) /2}$，并建立同余链接二项式系数和调和数。
2019-10-21 math.NT
Three combinatorial sums involving central binomial coefficients
本文研究三类含中心二项式系数及不同调和数的组合和，通过分部求和建立递归式，并用第二类 Stirling 数与 r-Stirling 数给出闭合形式。
2025-05-04 math.CO math.NT
Contour Integration and Cyclotomic Apéry-Like Series Involving Generalized Binomial Coefficients
School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University（安徽师范大学数学与统计学院）
本文通过轮廓积分方法研究了一类涉及广义二项式系数的 cyclotomic 阿佩里型级数，推导出多重 polylogarithms 等表达式，并恢复了一些已知结果。
2026-02-23 math.NT
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
2016-11-11 math.CO math.NT
General Mneimneh-type Binomial Sum involving Harmonic Numbers
本文在已有Mneimneh型调和数二项式和恒等式的研究基础上，利用此前论文的相关结果，证明了涉及Bell数的更广义Mneimneh恒等式及若干含（交错）调和数的Mneimneh型恒等式，丰富了相关组合恒等式研究成果。
2024-03-10 math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
2020-05-10 math.CO math.NT
On the link between binomial theorem and discrete convolution
本文引入多项式$\mathbf{P}^{m}_{b}(x)$并建立奇数次幂的多项式恒等式，借此揭示了二项式定理与奇数次幂离散卷积的联系，并将其推广至多项式情形，最后通过Mathematica程序验证。
2024-09-24 math.NT
Hybrid Proofs of the $q$-Binomial Theorem and other identities
我们给出$q$ -二项式定理和其他恒等式的“混合”证明。证明是“混合”的，在这个意义上，我们使用分区参数来证明定理的限制版本，然后使用分析方法（以恒等式定理的形式）来证明完整版本。我们证明了三个有点不寻常的求和公式，并使用这些混合证明了一些身份由于拉马努金。最后，我们利用这些新的求和公式给出了Rogers-Ramanujan恒等式和Rogers-Selberg恒等式的新的划分解释。
2019-01-05 math.NT
Parametric Apéry-type Series and Hurwitz-type Multiple Zeta Values
本文通过迭代积分方法，将Apéry型级数的研究从中心二项式系数推广到参数化二项式系数，建立了其与Hurwitz型多重zeta值之间的显式关系。
2024-10-19 math.NT
Supercongruences related to ${}_3F_2(1)$ involving harmonic numbers
我们证明了包含中心二项式系数和调和数的截断级数的各种超同余。并对相应的无穷级数进行了计算。
2017-01-30 math.NT
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
Identity involving symmetric sums of regularized multiple zeta-star values
Hoffman证明了一个涉及调和型正则化多个zeta-star值的对称和的恒等式。本文证明了一个shuffle型恒等式。我们使用贝尔多项式中出现的研究集划分证明的身份。
2018-04-09 math.NT
Binomial Coefficients and the Distribution of the Primes
设Ω（n）是除n的不同素因子的个数，且m > n个自然数。我们计算出一个公式，该公式显示了哪些素数在哪些区间中整除给定的二项式系数。由该公式得到恒等式Ω（binom（nk）（i））=sum_i（pi（k/b（i））- pi（k/a（i）+ O（sqrt（k））. Erdoes提到omega（binom（nk）（nk））= log n^n/（m^m（n-m）^（n-m））k/log k + o（k/log k）。作为上述恒等式的一个应用，我们得出了关于素数分布的一些众所周知的事实，并对所有自然数k推出了一个表达式（也是众所周知的）log k = sum_i a_k（i），它推广了log 2 = sum_i^（infty）（-1）^（j+1）/j。
2007-09-28 math.NT
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
2019-06-16 math.NT
A note on variants of Buchstab's identity
本文证明筛函数上Buchstab恒等式的变体，利用与二项式系数相关的组合恒等式改进Brady的迭代规则，并得到κ>1时F_κ(s)与f_κ(s)的更优不等式。
2025-03-26 math.NT
On Rational Invariant Summation of p-Adic Power Series with Binomial Coefficient
本文考虑了具有二项式系数的p-adic函数级数，讨论了它的p-adic收敛性。然后，我们推导出一个递推关系，该关系遵循一个求和公式，该求和公式对于有理宗量是不变的。更准确地说，我们研究了p-adic幂级数收敛于有理不变式和0的一个充分条件。最后，我们利用不变求和公式得到了一些关于Bernoulli数和伯努利多项式的有趣关系。
2019-11-17 math.NT
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
New series involving binomial coefficients (III)
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文提出了一种对偶原理，用于发现26个新的无理数级数恒等式，涉及包含二项式系数的级数评估。
2026-02-10 math.NT
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
2012-01-30 math.CO math.NT
A generalization of Tóth identity in $\mathbb{F}_q[T]$ involving a Dirichlet Character
设$\mathbb{A}=\mathbb{F}_q[T]$是有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式环.本文证明了$\mathbb{A}$上Tóth恒等式的一个推广，它涉及算术函数、乘法和加法特征标.
2023-01-18 math.NT
Binomial transform and the backward difference
我们证明了二项式变换的一个重要性质：它将离散变量的乘法转换为某个差分算子。我们还考虑了除以离散变量的情况。这里提出的属性用于计算各种二项式变换公式，涉及调和数，斜调和数，斐波那契数，和第二类斯特林数。证明了几个新的恒等式，并对一些已知结果给出了新的简短证明。
2017-02-01 math.NT
Parametric binomial sums involving harmonic numbers
我们提出了明确的公式，以下家庭的参数二项式和涉及调和数$p=0,1,2$和$|t|\leq1$。$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}t^k}{k^p\binom{n+k}{k}}\quad \mbox{and}\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k^p\binom{n+k}{k}}. $$我们还将第一类Stirling数与黎曼ζ函数之间的关系推广到了多Γ函数，并给出了一些应用. $$ ζ(n+1)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{s(k,n)}{kk!}, \quad n=1,2,3,... . $$作为例子，\begin{equation*} ζ(3)=\frac{1}{7}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}4^k}{k^2\binom{2k}{k}},\quad \mbox{and}\quad ζ(3)=\frac{8}{7}+\frac{1}{7}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}4^k}{k^2(2k+1)\binom{2k}{k}}, \end{equation*}是Apéry常数$ζ(3)$的新级数表示。
2021-05-09 math.CA math.NT
