Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
Sandro Mattarei, Roberto Tauraso
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
We prove congruences, modulo a power of a prime p, for certain finite sums involving central binomial coefficients $\binom{2k}{k}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The congruence of Wolstenholme and generalized binomial coefficients related to Lucas sequences
利用关于基本Lucas序列的广义二项式系数，我们建立了推广经典的Wolstenholme同余和其他相关的强同余的同余.
Conjectures on congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
在这篇文章中，我们提出了许多具有挑战性的假设，涉及二项式系数和Apéry-like数的同余。
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
The Sufficient Set of Congruences of Binomial Coefficients for Primality
该研究证明整数p的素性等价于二项式系数模p的⌈(1/2)log₂p⌉个同余式，并将结果推广到其他类似同余式，为素性判定提供了新的充分条件。
Jacobi polynomials and congruences involving some higher-order Catalan numbers and binomial coefficients
本文研究了二项式系数乘积和上的同余式，并利用雅可比多项式的性质证明了这类同余式。我们特别注意多项式同余包含Catalan数，二阶Catalan数，序列（\seqnum{A176898}）$S_n=\frac{{6n\choose 3n}{3n\choose 2n}}{2{2n\choose n}(2n+1)},$和二项式系数${3n\choose n}$和${4n\choose 2n}$。作为一个应用，我们讨论了Z的几种结构。W. Sun关于涉及$S_n$的和的同余的结果，我们证明了一个关于二项式系数${3n\choose n}$和的三次剩余性准则H.太阳
Factors of certain sums involving central q-binomial coefficients
最近，Ni和Pan证明了关于中心$q$ -二项式系数的和的一个$q$ -同余式，这是由Guo证明的.本文给出了这个$q$ -同余式的一个推广，并证明了另一个$q$ -同余式，该同余式也是由Guo提出的.我们的证明使用Ni和潘的技术和一个简单的$q$ -同余郭和Schlosser观察。
Some Congruences Involving Binomial Coefficient and Fermat Quotient
本文研究了涉及二项式系数和费马商的某些同余式，探讨了相关求和形式的性质。
A $q$-analogue of Boyadzhiev-Mneimneh-type binomial sums of finite multi-polylogarithms
该研究给出有限多重多重对数的Boyadzhiev-Mneimneh型二项式和的$q$-模拟公式，其$q\ o1$极限等价于Sakugawa-Seki恒等式，还给出对应柯西二项式定理的该类和的公式。
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
Some 3-adic congruences for binomial sums
本文证明了Sun等人提出的关于二项和的3-adic同余。
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
Notes on q-analogues of a binomial congruence of Glaisher
安德鲁斯曾经给了$q$ -类似物的二项式同余Glaucine，他建议完善的$q$ -类似物。本文给出了满足Andrews要求的参数。
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
Congruences on sums of $q$-binomial coefficients
本文建立了孙-赵同余式在调和和上的一个$q$ -模拟.基于这个$q$ -同余式和一个$q$ -级数恒等式，我们证明了最近由Guo提出的关于中心$q$ -二项式系数和的一个同余式猜想.我们还从郭的$q$ -同余式推出了Apagodu和Zeilberger的一个同余式的$q$ -模拟.
A q-analog of Ljunggren's binomial congruence
我们证明了一个$q$ -模拟一个经典的二项式同余由于Ljunggren指出，\[ \binom{a p}{b p} \equiv \binom{a}{b} \]模$p^3$素数$p\ge5$。这一同余式包含并建立在巴贝奇、Wolstenholme和Glasgow的早期同余式的基础上，为此我们回顾了现有的$q$ -类似物。我们的同余推广了Clark的一个较早的结果。
Congruences for certain lacunary sums of products of binomial coefficients
证明了对任意素数$p$和任意自然数$\ell, m,$和$s$使得$0<s<p$，下列三个同余式\begin{align*}\sum_{i\ge \ell+1}(-1)^{m-i} {m \choose i}{m+s-1+i(p-1) \choose m+s-1+\ell(p-1)} &\equiv 0 \bmod p\\ \sum_{i\ge 0}(-1)^{m-i} {m \choose i}{\ell+ip \choose m+s-1}&\equiv 0 \bmod p^m\\ \sum_{j,i\ge \ell}(-1)^{j-i}{m \choose j} {j \choose i}{j+s-1+i(p-1) \choose j+s-1+\ell(p-1)}&\equiv 0 \bmod p^{m-\ell} \end{align*}成立.相应的同余式涉及Adelberg多项式，它可以显式计算，为这些和提供封闭形式的表达式，即使$p$不是素数，当同余式不一定成立时也有效。
Super-congruences involving trininomial coefficients
这项工作的目的是建立同余关系$\left( \operatorname{mod}p^{2}\right) $涉及三项式系数$\binom{np-1}{p-1}_{2}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right)/2}_{2}$所产生的多项式$1+x+x^{2}.$的幂的扩展在主要结果中，我们扩展了一些已知的同余关系涉及二项式系数$\binom{np-1}{p-1}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right) /2}$，并建立同余链接二项式系数和调和数。
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
Partial Lucas-type congruences
本文证明了一个一般性结果，表明所有可表示为多元Laurent多项式幂的常数项的序列均满足部分Lucas同余，推广了Chamberland和Dilcher关于特定二项和序列模素数同余的研究。
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
Congruences for $q$-binomial coefficients
我们讨论了经典同余式$\binom{ap}{bp}\equiv\binom{a}{b}\pmod{p^3}$的$q$ -类似物，对素数$p>3$有效，以及它的推广。特别是，我们证明了相关的同余（$q$ -类似物）整阶乘比。
Ljunggren--Jacobsthal and Bailey-Type Congruences for Rectangular Gaussian Binomial Coefficients
本文针对模4余3的有理素数，研究矩形高斯二项式系数，证明其p-整性，建立Ljunggren--Jacobsthal型超同余式以解决Kalinin猜想的惰性素数情形，还给出矩形Bailey型模p同余式并完成相关证明。
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
Congruences for sums of binomial coefficients
设q>1和m>0是互素整数。我们找到一个显式周期$ν_m(q)$，使得对于任何整数n>0和r，只要a是具有$\gcd(1-(-a)^m,q)=1$的整数，或a=-1（mod q），或a=1（mod q）和2，我们就有$[n+ν_m(q),r]_m(a)=[n,r]_m(a) (mod q)$| m，其中$[n,r]_m(a)=\sum_{k=r(mod m)}\binom{n}{k}a^k$ .这是一个Glasgow同余式的进一步推广。
A congruence involving the quotients of Euler and its applications (III)
本文给出了整数模下的几个新的二项式系数同余式，它们是蔡\textit{et al.}（2002，2007）前两个工作的继续.
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
On functional equations of finite multiple polylogarithms
近年来，一些人研究有限多重zeta值（FMZVs）和有限多边形（FP）。本文引入了有限多重多项式（FMP），它是FMZV和FP的自然推广，并建立了FMP的函数方程。作为这些函数方程的应用，我们计算了包含Meštrović，Z获得的同余推广的FMP的特殊值。W.太阳，Z. W.孙丽L. Zhao，and Tauraso-J. Zhao.本文给出了某些广义Bernoulli数的超同余，并给出了Bernoulli数的超同余作为附录。
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
Identities for the q-harmonic numbers and q-binomial coefficients
本文建立了部分分式分解公式的一个q-模拟。利用公式，我们得到了q-调和数与倒数q-二项式系数和的新的封闭形式表示。此外，我们还利用q-多项式和q-调和数给出了几类q-调和和的显式公式。给出的表示是新的。
Binomial coefficients, roots of unity and powers of prime numbers
设$t\in\mathbb{N}_+$已知。在这篇文章中，我们有兴趣在这些$d\in\mathbb{N}_+$的特点，使合同$$\frac{1}{t}\sum_{s=0}^{t-1}{n+dζ_t^s\choose d-1}\equiv {n\choose d-1}\pmod{d}$$是真正的每个$n\in\mathbb{Z}$。特别地，假设$d$有一个大于$t$的素因子，我们证明了上述同余对每个$n\in\mathbb{Z}$成立当且仅当$d=p^r$，其中$p$是一个大于$t$和$r\in\{1,\ldots ,t\}$的素数。
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
Discovering and Proving Infinite Binomial Sums Identities
我们考虑无穷远处的二项和逆二项和，并将它们重写为一小组常数，例如$π$或$\log(2)$的幂。为了进行这些简化，我们将级数视为生成级数的特化。对于这些生成级数，我们导出了根值迭代积分的整表示。利用代换，我们将积分表示为分圆调和多项式。最后，利用已知的分圆调和多项式之间的关系，我们推导出几个常数的表达式。
A Congruence Conjecture of Z.-W. Sun for Reciprocal Central Binomial Sums
该论文证明了Z.-W. Sun关于素数p>5的倒数中心二项式系数和的一个同余猜想，并推导出等价猜想，证明结合了p-adic同余、有限和恒等式与留数定理。
Congruences concerning binomial coefficients and binary quadratic forms
设$p>3$为素数。本文得到了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^3}{(-8)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{(-192)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{(-144)^k}\ \text{and} \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{648^k}$$模$p^2$的同余式，以及$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}k^3\frac{w(k)}{m^k}$模$p^2$的部分结果，其中$m\in\{1,16,-64,256,-512,4096\}$和$w(k)\in\{k^2,k^3,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3}, \frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}\}$ .
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
On congruences related to central binomial coefficients
已知$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$和$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$ .本文得到了它们的p-adic类似物，如$$\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=3\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)= pE_{p-3} (mod p^2),$$，其中p>3是素数，E_0，E_1，E_2，.是欧拉数。除此之外，我们还推导出了与中心二项式系数有关的其它一些同余式。此外，我们还提出了一些推论，其中一个推论指出，对于任何奇素数p，如果（p/7）=1且p=x^2+7y^2且x，y为整数，则我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$，如果（p/7）=-1则有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$，即，p= 3，5，6（mod 7）。
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
New congruences for central binomial coefficients
设p是素数，a是正整数。在本文中，我们确定了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$模$p$，对于所有d=0，.，例如，我们证明了如果$p\not=2,5$，则$$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$，其中F_n是第n个Fibonacci数，（-）是Jacobi符号。我们还证明了当p>3时，有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$，其中B_n表示n阶Bernoulli数.
Mneimneh-type Binomial Sums of Multiple Harmonic-type Sums
本文利用斯特林数、贝尔数及相关变量，建立了涉及多重调和型和的Mneimneh型二项式和的表达式，并应用Toeplitz原理得到联系多重zeta星值与多重多对数的新恒等式。
An inductive proof of Straub's q-analogue of Ljunggren's congruence
最近，Straub给出了一个有趣的$q$ --Ljunggren的二项式同余的类似物.本文给出了他的结论的一个归纳证明。
Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)
1878年，Lucas证明了一个显著的结果，它提供了一种简单的方法来计算二项式系数${n\choose m}$模一个素数$p$，根据$n$和$m$的基$p$数字的二项式系数：{ \it如果$p$是素数，$n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$和$m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$是非负整数$n$和$m$的$p$ -进展开式，则\begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*} }上述同余式，所谓的{ \it Lucas' theorem}（或{ \it Theorem of Lucas}）在数论和组合数学中起着重要的作用。本文共分六节，主要介绍了Lucas型同余的历史，Lucas模素幂定理的推广，广义二项式系数的Lucas类定理及其应用。在第一节中，我们介绍了模素数的基本同余，包括著名的卢卡斯定理。在第2节中，我们提到几个已知的证明和一些后果卢卡斯定理。在第3节中，我们提出了一些扩展和变化的卢卡斯定理模素数的权力。在第4节中，我们考虑卢卡斯性质和双重卢卡斯性质的概念，其中我们也提出了许多整数序列满足这些性质之一或某一卢卡斯型同余。在第五节中，我们收集了几个已知的关于广义二项式系数的Lucas型同余。特别地，这涉及Fi…
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
On sums related to central binomial and trinomial coefficients
广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$(x^2+bx+c)^n$用$b,c\in\mathbb Z$展开时$x^n$的系数。本文研究了与中心二项式系数和广义中心三项系数相关的项和的同余式和级数。本文包含了许多关于与某些二元二次型表示素数有关的同余式的说明，以及62个由同余式和相关对偶激发的$1/π$的新系列。
Congruences for partial sums of the generating series for $\binom{3k}{k}$
我们对范围$0\le k<q$和$0\le k<q/3$上的和$\sum_k\binom{3k}{k}x^k$产生模素数$p>3$的同余，其中$q$是$p$的幂。这里$x$等于$c^2/(1-c)^3$或$4s^2/\bigl(27(s^2-1)\bigr)$，其中$c$和$s$是不确定的。在前一种情况下，我们更一般地处理移位二项式系数$\binom{3k+e}{k}$。我们的方法直接从相应系列的封闭形式推导出这样的同余式。
Proof of a congruence on sums of powers of $q$-binomial coefficients
我们证明了，如果$m,n\geqslant 1$和$a_1,\ldots,a_m$是非负整数，那么\begin{align*} \frac{[a_1+\cdots+a_m+1]!}{[a_1]!\ldots[a_m]!}\sum^{n-1}_{h=0}q^h\prod_{i=1}^m{h\brack a_i} \equiv 0\pmod{[n]}, \end{align*}，其中$[n]=\frac{1-q^n}{1-q}$，$[n]!=[n][n-1]\cdots[1]$，和${a\brack b}=\prod_{k=1}^b\frac{1-q^{a-k+1}}{1-q^k}$。$a_1=\cdots=a_m$的案例证实了Z. W.太阳我们还证明了，如果$p>\max\{a,b\}$是素数，则\begin{align*} \frac{[a+b+1]!}{[a]![b]!}\sum_{h=0}^{p-1}q^h{h\brack a}{h\brack b} \equiv (-1)^{a-b} q^{ab-{a\choose 2}-{b\choose 2}}[p]\pmod{[p]^2}. \end{align*}
Structured Solutions of Prime-Base Binomial Congruences
研究素数基 q 下二项式同余式 C(qn, n) ≡ q^n (mod n) 的解结构，将解 n = q^t p 转化为模 p 同余和数字和不等式两个独立条件，并用于生成新解及证明平方解与 Wieferich 素数等价。
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
An extension of Lucas Theorem
本文给出计算模素数二项式系数的同余判据的初等证明，并据此推广Lucas定理，应用于推导二项式系数和的恒等式与同余式。
From generating series to polynomial congruences
考虑具有某种组合相关性的整数序列的普通生成函数$\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k$，并假设它允许闭合形式$C(x)$。已知各种实例，其中相应的截断和$\sum_{k=0}^{q-1}c_kx^k$（其中$q$是素数$p$的幂）在模$p$观察时也允许封闭形式表示。这种截断和模$p$的表示经常与$C(x)$的形状相似，尽管通常通过独立的参数来证明。一个最简单的例子是同余式$\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k\equiv(1-4x)^{(q-1)/2}\pmod{p}$是公知的生成函数$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}x^k= 1/\sqrt{1-4x}$的有限匹配。我们开发了一种方法，它允许一个直接推断的封闭形式表示的截断和从封闭形式的系列的一个重要的一类系列涉及中心二项式系数。特别地，我们收集了各种已知的这样的系列，其封闭形式的表示涉及多项式${\rm Li}_d(x)=\sum_{k=1}^{\infty}x^k/k^d$，并补充它们与一些新的，我们得到封闭形式模$p$相应的截断和，在有限多项式$£_d(x)=\sum_{k=1}^{p-1}x^k/k^d$。
Binomial coefficient-harmonic sum identities associated to supercongruences
利用部分分式分解方法建立了两个二项式系数--广义调和和恒等式.这些恒等式是证明许多超同余的关键要素。特别是，在其他作品的作者，他们被用来建立模$p^k$（$k>1$）之间的同余截断广义超几何级数，并在有限域上的函数扩展格林的超几何函数的$p$ -adic设置。一个专门化的这些同余之一是用来证明一个杰出的猜想罗德里格斯Villegas有关截断广义超几何级数的$p$第傅里叶系数的一个特定的模块形式。
Some conjectures on congruences
设$p$为奇素数。本文收集了作者关于模$p$或$p^2$同余的各种理论，涉及到二项式系数和、Lucas序列、幂剩余和特殊的二元二次型。
Some congruences involving generalized Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials
设$[x]$是$x$的整数部分，$n>1$是正整数，$χ_n$表示模$n$的平凡Dirichlet特征标.本文利用Z. H.得到了$T_{m,k}(n)=\sum_{x=1}^{[n/m]}\frac{χ_n(x)}{x^k}\left(\bmod n^{r+1}\right)$对于$r\in \{1,2\}$，任意正整数$m $与$n \equiv \pm 1 \left(\bmod m \right)$关于伯努利多项式的同余式.作为应用，我们还得到了关于广义Bernoulli数的模$n^4$的二项式系数的一些新的同余式.
On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
Congruences for sums involving $\binom{rk}{k}$
研究了模$p$下形式为$\sum_k\binom{rk}{k}x^k/k$的有限和的同余性质，通过两种互补方法获得模$p^2$下的同余式，用有限多项式对数表达式表示。
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