Z.-W. Sun关于倒数中心二项式系数和的一个同余猜想
A Congruence Conjecture of Z.-W. Sun for Reciprocal Central Binomial Sums
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该论文证明了Z.-W. Sun关于素数p>5的倒数中心二项式系数和的一个同余猜想，并推导出等价猜想，证明结合了p-adic同余、有限和恒等式与留数定理。
中文摘要 AI 辅助
设$p>5$为素数。我们证明了Z.-W. Sun的一个猜想，即$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}} \equiv \frac{H_{p-1}}{p^3}-\frac{7}{45}pB_{p-5}\pmod{p^2}.$ 作为推论，我们得到 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{H_{k-1}^{(2)}}{k^2\binom{2k}{k}} \equiv \frac{H_{p-1}}{3p^3} +\frac{26}{135}pB_{p-5} \pmod{p^2},$ 这是K. Hessami Pilehrood和T. Hessami Pilehrood的一个等价猜想。这里$H_n^{(m)}$表示m阶广义调和数，其中$H_n=H_n^{(1)}$，$B_n$表示第n个伯努利数。证明结合了涉及调和数的p-adic同余、有限和恒等式以及通过留数定理进行的复留数计算。
英文摘要
Let $p>5$ be a prime. We prove a conjecture of Z.-W. Sun asserting that $ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}} \equiv \frac{H_{p-1}}{p^3}-\frac{7}{45}pB_{p-5}\pmod{p^2}.$ As a consequence, we obtain $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{H_{k-1}^{(2)}}{k^2\binom{2k}{k}} \equiv \frac{H_{p-1}}{3p^3} +\frac{26}{135}pB_{p-5} \pmod{p^2},$ an equivalent conjecture of K. Hessami Pilehrood and T. Hessami Pilehrood. Here $H_n^{(m)}$ denotes the generalized harmonic numbers of order $m$, with $H_n=H_n^{(1)}$, and $B_n$ denotes the $n$th Bernoulli number. The proof combines $p$-adic congruences involving harmonic numbers, finite-sum identities, and complex residue calculations via the residue theorem.
