Explicit Identities and new results for Infinite Series associated with the Ratio of Central Binomial Coefficients
研究中心二项式系数比值相关的无穷级数，推导新的显式恒等式和闭式求值，改进先前结果。
2025-09-10 math.CO math.NT
A probabilistic approach to some binomial identities
经典的二项式恒等式是通过对被加数给出概率解释而建立的。例子包括范德蒙恒等式和一些推广。
2011-11-16 math.CO
Binomial identities related to Calabi-Yau differential equations
当搜索Calabi.Yau微分方程时，通常不同的系数公式给出相同的微分方程。这些系数通常是二项式系数的乘积的和（一次、二次或三次）。这导致了许多二项式恒等式。
2007-03-09 math.CO
Proofs of some binomial identities using the method of last squares
我们给出了一些没有封闭形式的包含二项式和的恒等式的组合证明。
2011-07-06 math.CO
A Tiling Proof of Binomial Identities related to the Lucas cube
利用Lagarias和Shor构造的$\mathbb{R}^n$的立方体平铺，给出了与Lucas立方体有关的三个著名的二项式恒等式的平铺证明.
2014-02-27 math.CO
A combinatorial approach to Berkovich type identities
本研究受Berkovich的9个含勒让德符号的q-二项式恒等式启发，采用组合方法构建了这类恒等式的统一形式，既涵盖原有9个恒等式，还能推导更多同类恒等式。
2024-04-13 math.CO math.NT
New identities for binary Krawtchouk polynomials, binomial coefficients and Catalan numbers
通过计算$\mathrm{SO}(2m)$的某些2阶元素的$p$ -外表示的特征，得到了二元Krawtchouk多项式$K^{2m}_p(x)$，$0\le p\le 2m$的整数值的新的组合恒等式.从这个恒等式出发，我们推出了二项式系数与Catalan数的几个新的关系式.
2016-07-22 math.CO
Some identities involving polynomial coefficients
多项式（或扩展的二项式）系数是指多项式$1+t +\cdots +t^{m}$的正整数幂和负整数幂的展开式中的系数; $m\geq 1$是固定整数。我们将建立几个类似于通常的二项式系数的恒等式和求和公式。
2016-03-30 math.CO math.NT
Discovering and Proving Infinite Binomial Sums Identities
我们考虑无穷远处的二项和逆二项和，并将它们重写为一小组常数，例如$π$或$\log(2)$的幂。为了进行这些简化，我们将级数视为生成级数的特化。对于这些生成级数，我们导出了根值迭代积分的整表示。利用代换，我们将积分表示为分圆调和多项式。最后，利用已知的分圆调和多项式之间的关系，我们推导出几个常数的表达式。
2015-10-29 cs.SC math.CO math.NT
New Binomial Identities for Fibonacci, Lucas, and Generalized Fibonacci Sequences with Multiple Indices
本文提出新的恒等式，通过卢卡斯数的幂和二项式系数表示斐波那契、卢卡斯和广义斐波那契序列的多重索引项，利用对称多项式（瓦ring公式）应用于经典Binet公式。
2026-04-03 math.CO
Some $n$-space $q$-binomial theorem extensions and similar identities
给出了一个$n$ -空间的广义$q$ -二项式定理，以及一些新的类似于传统$q$级数分拆母函数的$q$级数恒等式.这些恒等式列举了垫脚石加权向量划分。
2019-06-18 math-ph math.CO math.MP
$q$-Binomial Identities Finder
本文提出一种自动将 $q$-超几何恒等式转化为 $q$-二项式恒等式的符号计算方法，利用有序向量空间映射与回溯算法生成并证明恒等式，重新发现并扩充了相关公式。
2025-07-13 math.CO
Algebraic identities on q-harmonic numbers and q-binomial coefficients
本文的目的是给出一个一般的代数的恒等式。应用这个恒等式，我们给出了几个q-二项式系数和q-调和数的计算公式。我们还恢复了一些已知的恒等式，包括D的一个代数的恒等式。Y. Zheng关于q-Apéry数的研究，建立了欧拉公式的q-模拟。这些结果在q-超同余理论中有重要的应用。
2023-01-31 math.CO
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
2012-01-30 math.CO math.NT
Polynomial identities that involve binomial coefficients, double and rising factorials and their probabilistic interpretations and proofs
我们制定了几个多项式的身份。这些恒等式的一面有一个很好的简单形式。而另一种具有多项式的形式，其系数包含二项式系数双因子或（和）上升因子。这些身份的起源和证明是概率。然而，它们的形式表明在简化表达式方面的普遍应用。文中还提出了许多有用的简化公式。
2023-02-07 math.CO math.PR
Andrews--Gordon and Stanton type identities: bijective and Bailey lemma approaches
本文利用双射方法、Bailey 引理和 Bailey 格为 Stanton 提出的 Andrews--Gordon 与 Bressoud 恒等式的两类推广给出新证明，并由此自然导出若干经典恒等式的新 Stanton 型推广。
2025-07-17 math.CO math.NT
All binomial identities are orderable
本文的主要结果是证明了所有的二项式恒等式都是可序的。这是有限集合组合理论中的自然陈述，其也可以应用于分布式计算中，以导出弱对称性破缺任务的轮复杂度的新的强界。此外，我们引入了一个基本的二项式恒等式的概念，并找到一个无限的家庭的价值观，其他的素数权力，没有基本的二项式恒等式可以存在。
2016-06-23 cs.DC cs.DM math.CO
Tiling proofs of Jacobi triple product and Rogers-Ramanujan identities
本文利用镶嵌的方法给出了一些著名的$q$ -级数恒等式的初等组合证明，如Jacobi三重积恒等式，Rogers-Ramanujan恒等式，以及Rogers的一些恒等式.我们给出了q-二项式定理的一个平铺证明和q-二项式系数的一个平铺解释.一个新的广义$ k $ -产品$q$ -系列恒等式也获得通过采用“平铺法”，其中的生成函数的所有可能的矩形板的平铺的集合计算在两种不同的方式，以获得所需的$q$ -系列恒等式。建立了几个新的递归$ q$ -级数恒等式.“平铺方法”有望提供一种美观的方法来证明新旧$q$系列恒等式。
2022-05-14 math.CO math.NT
A q-analogue of some binomial coefficient identities of Y. Sun
给出了Y的一些二项式系数恒等式的$q$ -模拟. Sun [Electron. J. Combin. 17（2010），#N20]如下：{align*} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{m+k\brack k}_{q^2}{m+1\brack n-2k}_{q} q^{n-2k \choose 2} &={m+n \brack n}_{q}，\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}{m+k\brack k}_{q^4}{m+1\brack n-4k}_{q} q^{n-4k \choose 2} &= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}（-1）^k{m+k \brack k}_{q^2}{m+n-2k \brack n-2k}_{q}，{align*}其中${n\brack k}_q$代表$q$ -二项式系数。我们提供了两个证明，其中之一是组合通过分区。
2011-04-05 math.CO
Certain Binomial Sums with recursive coefficients
本文建立了一些包含系数满足三阶线性递归关系的二项式和的恒等式。作为一个结果，特别是，我们得到了一般形式的早期身份涉及二项式系数和斐波那契型序列。
2010-07-15 math.CO
Harmonic Catalan Number Series via Half-Integer Binomial Coefficients
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）；Vasyl Stefanyk Carpathian National University（瓦西尔·斯特凡尼克喀尔巴阡国立大学）
该研究通过半整数参数的交替二项式恒等式，结合广义二项式系数的显式表示与相关恒等式，推导出含卡特兰数、调和数的闭式求和公式，为转化恒等式提供了系统机制。
2026-09-01 math.CO
Binomial arrays and generalized Vandermonde identities
在以前关于Clebsch-Gordan系数的工作中，构造了某些显着的整数六边形阵列，这些阵列显示了Pascal三角形中的行为。我们使用二项式变换和离散卷积进一步解释这些行为。在这里，我们首先介绍了二项式数组的概念，并制定了几个“曲棍球棒”规则。然后，我们给出了一个算法，推广了经典的范德蒙恒等式，这产生了无限的家庭的求和公式，我们用它来扩大和证明某些组合的加泰罗尼亚数的身份。最后，我们根据$SL(2, F)$的有限维表示论重新构建了这个理论。
2019-05-04 math.CO math.RT
Quiver mutation sequences and $q$-binomial identities
在本文中，我们首先引入一个称为配分函数的量，用于随机变异序列。配分函数是生成函数，其权重是与每个突变相关的$q$ -二项式。然后，我们证明了配分函数可以表示为量子尺度乘积的比值。这提供了一种构造各种$q$ -二项多和恒等式的系统方法。
2016-11-18 hep-th math-ph math.CO
The Geometry of some Fibonacci Identities in the Hosoya Triangle
\emph{Hosoya triangle}是一个三角形数组，其中每个条目都是两个斐波那契数的乘积。我们使用这个三角形的几何来寻找与斐波那契数相关的新恒等式。给出了斐波那契数的几个著名恒等式的几何解释。例如，卡西尼恒等式和加泰罗尼亚恒等式。我们还将杨辉三角形中的一些恒等式推广到Hosoya三角形。例如，曲棍球棒从二项式扩展到斐波那契数的乘积，菱形属性从杨辉三角形扩展二项式恒等式到Hosoya三角形中的斐波那契数的乘积恒等式。
2022-06-27 math.CO math.NT
New Multiple Harmonic Sum Identities
考虑一类特殊的含有调和数的二项和，利用部分分式分解的初等方法证明了三个恒等式。给出了它在无穷级数和同余式中的一些应用。
2013-12-05 math.CO math.NT
The new combinatorial identities of symmetric functions
本文利用指数生成函数等初等方法，研究了与对称函数相关的二项式卷积及Bernoulli、Euler和Genocchi数与多项式的卷积和，推导并建立了二元多项式及相关特殊多项式的多个新组合恒等式。
2025-04-28 math.CO math.NT
Telescoping method, derivative operators and harmonic number identities
根据套叠法，给出了一个简单的二项式和。通过将导数算子应用于上述方程，我们建立了几个一般的调和数恒等式，包括一些已知的结果。
2012-03-09 math.CO math.NT
A Family of Generating Functions for Reciprocal Binomial Coefficients and Its Applications
本文提出递归二项式系数的生成函数族，推导相关恒等式并展示其在无限序列评估中的应用。
2026-02-08 math.CO
Summation Identities Involving Padovan and Perrin Numbers
与斐波那契数和卢卡斯数的情况不同，涉及帕多万数和佩兰数的求和恒等式的文献很少。在本文中，我们推导出这些数的各种求和恒等式，包括二项式和双二项式恒等式。我们的结果来自丰富的代数性质所表现出的特征多项式的Padovan/Perrin序列的零点。
2019-04-25 math.CO
On some Binomial Coefficient Identities with Applications
我们提出了一个不同的证明以下身份由于Munarini，推广了一个好奇的二项式身份西蒙斯。其中\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binomα{n-k}\binom{β+k}{k}x^k &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{β-α+n}{n-k}\binom{β+k}{k}(x+1)^k, \end{align*}是非负整数，$α$和$β$是复数，它们不是负整数。我们的方法是基于一个特别有趣的组合的泰勒定理和Wilf-Zeilberger算法。我们还推广了Alzer和Kouba的一个组合恒等式，并给出了一个新的二项式和恒等式。作为应用，我们给出了许多调和数和恒等式。作为例子，我们证明了\begin{equation*} H_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}H_k \end{equation*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2H_kH_{n-k}=\binom{2n}{n} \left((H_{2n}-2H_n)^2+H_{n}^{(2)}-H_{2n}^{(2)}\right). \end{align*}
2023-01-23 math.CO
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
2012-02-01 math.CO math.NT
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
2017-07-18 math.CO math.NT
Convolution identities for Tribonacci numbers via the diagonal of a bivariate generating function
用一般的生成函数和Hautus和Klarner的对角化方法处理了含有二项式系数的Tribonacci数的卷积。这样就可以建立相应的母函数，这是合理的。系数也可以表示。它概述了如何将其扩展到Tetranacci数和类似的数量。
2019-10-18 math.CO math.NT
Elementary Polynomial Identities Involving $q$-Trinomial Coefficients
利用$q$ -二项式定理证明了三个新的涉及$q$ -三叉系数的多项式恒等式.然后，我们使用求和公式的$q$ -三项式系数转换成另一组的三个多项式的身份，这意味着卡帕雷利的分区定理时，多项式的程度趋于无穷大。这样，我们也得到了一个有趣的新结果的总和的Capparelli的产品。最后，我们提出了一个无限层次的多项式身份。
2018-10-15 math.CO math.NT
Some Identities Involving Three Kinds of Counting Numbers
本文给出了几个涉及二项式系数和两类Stirling数的恒等式。
2009-11-02 math.CO
$q$-Trinomial identities
我们得到了$q$ -二项和$q$ -三项系数之间的联系系数。利用这些恒等式，可以将$q$ -二项式恒等式变换为$q$ -三叉恒等式，并可以变换回来.为了证明这一过程的有用性，我们重新推导出一些已知的三项式的身份有关的分区理论和证明许多的abstitures的Berkovich，McCoy和皮尔斯，这是最近出现在他们的研究中的$ϕ_{2,1}$和$ϕ_{1,5}$扰动的最小共形域论。
1998-10-05 math.CO math.QA
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
2021-03-25 math.CO
An extension of Lucas Theorem
本文给出计算模素数二项式系数的同余判据的初等证明，并据此推广Lucas定理，应用于推导二项式系数和的恒等式与同余式。
2023-08-31 math.CO math.NT
Dirichlet series and series with Stirling numbers
给出了狄利克雷级数与第一类Stirling数级数的若干恒等式。作为系数的狄利克雷级数，我们使用柯西数的第一和第二类，超调和数，错位数，二项式系数，中心二项式系数，和卡塔兰数。
2023-01-18 math.CO math.NT
Applications of an identity of Batır
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛韦大学）
本文基于Batır恒等式，推导出与著名数列相关的双和新恒等式，并证明了二项式变换对的双和恒等式。
2026-01-15 math.CO math.NT
Some identities and formulas involving generalized Catalan numbers
Catalan数的推广被认为是。新的结果包括二项式恒等式，递归关系和多元生成函数的封闭公式。一个简单的加泰罗尼亚行列式的表达式。
2006-09-21 math.CO
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
Reciprocal binomial sums via Beta integrals
CEA, DAM, DIF（CEA DAM DIF）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学 CEA 极端条件物质实验室）
本文通过Beta积分技术系统地推导了涉及二项式系数倒数的二项式和的求解方法，建立了Frisch公式等经典恒等式，并扩展到参数和，利用超几何函数获得闭式解。
2026-04-06 math.CO
$q$-Rational and $q$-Real Binomial Coefficients
本文研究Morier-Genoud和Ovsienko用连分数定义的$q$-有/实数构造的$q$-二项式系数，建立对应$q$-帕斯卡恒等式与$q$-二项式定理，并推导更多相关恒等式。
2023-01-19 math.CO math.QA
Binomial Transforms and the Binomial Convolution of Sequences
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛瓦大学）
本文研究了二项式变换与序列的二项式卷积之间的关系，推导了涉及多种数列的新恒等式，并提出构造新二项式变换对的方法。
2025-12-19 math.CO
The Binomial Coefficient for Negative Arguments
根据Γ函数的二项式系数的定义也允许非整数参数。对于非负整数参数，Γ函数可简化为fascal，从而得到著名的杨辉三角形。使用Γ函数的对称公式，这个定义被扩展到负整数参数，使得二项式系数的对称性对所有整数参数都有效。这个定义与其他一些身份和二项式定理的协议进行了调查。
2015-03-30 math.CO
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
2009-09-30 math.CO math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
On Polynomial Identities for Recursive Sequences
本文将Melham和的概念推广到Pell和Pell-Lucas序列。一般命题的证明依赖于二项式定理，而我们利用已知的Pell恒等式证明了一些空间情形。我们还得到的表达式的其他递归序列的扩展。
2015-08-20 math.CO
Note on a double binomial sum relevant to the Hadamard maximal determinant problem
我们证明了一个双二项和等式，它与大多数二项和等式的不同之处在于被加数涉及绝对值函数。该恒等式是有趣的，因为它可以用于证明Hadamard极大行列式问题的下界。我们的身份证明使用了两个变量的方法的伸缩总和的变体。
2013-09-12 math.CO
Narayana polynomials and some generalizations
本文通过对一些有色平面树的计数，得到了几个二项式恒等式。这些恒等式可以看作是对那罗延多项式的某些推广的具体评价。作为结果，它提供了一个双射问题的组合证明斯坦利的集合“双射证明问题”，一个新的纳拉亚纳多项式的公式，以及一个新的表达式的Harer-Zagier公式枚举单胞映射，在一个统一的方式。此外，我们确定了一类平面树，其枚举是密切相关的施罗德数。许多其他的二项式恒等式也被提出。
2015-12-12 math.CO
A new Fibonacci identity and its associated summation identities
我们得到一个新的斐波那契恒等式。这个单一的恒等式包含了重要的已知恒等式，如加泰罗尼亚人、拉格尔斯人、哈尔顿人和其他人的恒等式，以及在瓦伊达、科什和其他人的书中发现的标准的一般恒等式。我们还推导出几个二项式和普通的总和身份所产生的这个身份，特别是我们得到一个推广的Halton的一般斐波那契身份。
2018-09-18 math.CO
An algebra over the operad of posets and structural binomial identities
University of Oxford（牛津大学）；Yonsei University（延世大学）
本文研究了序列平行 poset 的顺序序列生成函数，并基于其基的性质，推导了 Stanley 互易定理的新证明，同时发现新的二项式恒等式和负超几何分布的性质。
2022-09-19 math.AT math.CO
A binomial-coefficient identity arising from the middle discrete series of SU(2,2)
本文的目的是给出二项式上某些恒等式的初等证明，并回答Takahiro Hayata，Harutaka Koseki，and Takayuki Oda，Matrix coefficients of the middle discrete series of SU（2，2），J. Funct. Anal. 185（2001），297-341.
2008-05-08 math.CO math.RT
