基于半整数二项式系数的调和卡特兰数级数
Harmonic Catalan Number Series via Half-Integer Binomial Coefficients
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
该研究通过半整数参数的交替二项式恒等式，结合广义二项式系数的显式表示与相关恒等式，推导出含卡特兰数、调和数的闭式求和公式，为转化恒等式提供了系统机制。
中文摘要 AI 辅助
我们开发了一种通过在半整数参数处应用交替二项式恒等式来计算包含卡特兰数的有限和与无穷级数的方法。关键要素是广义二项式系数 $\binom{m+\frac12}{k+1}$ 的显式表示，该表示式由卡特兰数和奇数线性因子的乘积构成。将此表示式与帕斯卡型恒等式以及Batır和Sofo的两个恒等式相结合，我们推导出了多个包含卡特兰数、调和数和奇数调和数的闭式求和公式族。作为特殊情况，我们得到了有限和及其对应无穷级数类似式的计算结果。该方法提供了一种将广义二项式系数的恒等式转化为卡特兰数级数恒等式的系统机制。
英文摘要
We develop a method for evaluating finite and infinite series involving Catalan numbers by specializing alternating binomial identities at half-integer parameters. The key ingredient is an explicit representation of the generalized binomial coefficients $\binom{m+\frac12}{k+1}$ in terms of Catalan numbers and products of odd linear factors. Combining this representation with Pascal-type identities and two identities of Batır and Sofo, we derive several families of closed-form summation formulas involving Catalan numbers, harmonic numbers, and odd harmonic numbers. As special cases, we obtain evaluations of finite sums together with their corresponding infinite-series analogues. The approach provides a systematic mechanism for transforming identities for generalized binomial coefficients into identities for Catalan-number series.
发表机构
- Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）
- Vasyl Stefanyk Carpathian National University（瓦西尔·斯特凡尼克喀尔巴阡国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
