New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
2021-12-06 math.CO math.NT
Gaussian binomial coefficients with negative arguments
勒布表明，通常的二项式系数自然扩张到负（整数）条目继续满足许多基本性质。特别是，他给了一个统一的二项式定理以及组合的解释方面选择子集的集合与负数的元素。我们表明，所有这些都可以扩展到高斯二项式系数的情况下。此外，我们证明了几个著名的算术性质的二项式系数也持有的情况下，负的条目。特别是，我们表明，卢卡斯定理的二项式系数模$p$不仅自然延伸到负条目的情况下，但甚至高斯的情况下。
2018-02-08 math.CO math.NT
Periodic Weighted Sums of Binomial Coefficients
本文用初等方法建立了二项式系数与斐波那契数、卢卡斯数等之间的新旧关系。
2023-09-07 math.CO math.NT
Leading coefficient in the Hankel determinants related to binomial and $q$-binomial transforms
本文将二项式变换下 Hankel 行列式不变的经典结论推广至 $q$-二项式变换，研究其首项系数行为，并利用特殊二项式变换分析偶数下标 Bernoulli 多项式情形。
2024-01-30 math.CO math.NT
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
2017-03-27 math.CO math.NT
On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
2021-10-19 math.CO math.NT
Some elementary remarks on the powers of a partial theta function and corresponding q-analogs of the binomial coefficients
本文研究了偏theta函数的幂及其对应的二项式系数的q-模拟，推导出了该函数正幂和负幂系数的计算公式。
2024-08-26 math.CO math.NT
The p-adic valuation of k-central binomial coefficients
由（1-k^2x）^（-1/k）= sum c（n，k）x^n定义的系数c（n，k）简化为k=2时的中心二项式系数。一个关于H的问题Montgomery和H. Shapiro关于k=3的情形，我们证明了c（n，k）是整数，并研究了它们的整除性质.
2008-11-13 math.CO math.NT
On b-ary binomial coefficients with negative entries
抽象的。我们推广了$b$ -ary二项式系数，它是基于早期工作中得到的生成函数。除了一个明确的表达式涉及限制划分，几个性质，如对称性，同余和Pascal的递归进行了研究。最后，我们还提供了两个不同的推广，部分满足Pascal类递归。
2019-09-23 math.CO math.NT
Asymptotic products of binomial and multinomial coefficients revisited
该研究重审二项式与多项式系数的渐近乘积，确定其渐近常数与公式，推导行系数的极限情形，明确常数区间与精确表达式，修正了Hirschhorn的相关结果。
2024-06-20 math.CO math.NT
Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients
首先证明了如果$a$有一个素因子不整除$b$，则有无穷多个正整数$n$使得$\binom {an+bn} {an}$不能被$bn+1$整除.这证实了Z. W.太阳此外，我们还给出了二项式系数的一些新的整除性质：例如，我们证明了对所有正整数$n$，$\binom {12n} {3n}$和$\binom {12n} {4n}$都可被$6n-1$整除，以及$\binom {330n} {88n}$可被$66n-1$整除。正如我们所示，后者的结果实际上是后果的整除和积极的结果，$q$ -二项式系数的同数的$q$ -整数，推广的积极的$q$ -Catalan数。并提出了几点相关建议。
2013-10-15 math.CO math.NT
Inequalities for binomial coefficients
本文证明了几个关于二项式系数的不等式。例如，如果$ k$和$n$是正整数，使得$n\ge 400$和$[\frac n5]\le k\le [\frac n2]$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数，则$$\binom nk<\Big(1-\frac{5(k-[\f n5])}{6n^2}\Big) \frac{n^{n-\f 12}}{k^k(n-k)^{n-k}}.$$
2013-10-07 math.CO math.NT
On the properties of a sequence concerning binomial coefficients
对于$n\ge 3$，令$f(n)$为最小正整数$k$，使得$\binom nk>\frac{2^n}{n+1}$。本文研究了$f(n)$的性质。
2013-09-29 math.CO math.NT
The number of nonzero binomial coefficients modulo p^alpha
在1947年罚款获得了一个表达式的数量二项式系数行n的帕斯卡的三角形是非零模p.在本文中，我们使用库默尔定理推广罚款的定理，以总理权力，表示数量的非零二项式系数模p^alpha作为一个总和超过某些整数分区。对于固定的alpha，这个表达式可以被重写，以显示对n的base-p表示中每个子字出现次数的显式依赖性。
2011-03-20 math.CO math.NT
Computation of q-Binomial Coefficients with the $P(n,m)$ Integer Partition Function
使用$P(n,m)$，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，这是早期论文$P(n,m,p)$的主题，$n$的整数分割成完全$m$部分的数目，每个部分至多为$p$，可以在$O(n^2)$中计算，并且q-二项式系数可以在$O(n^3)$中计算。利用q-二项式系数的定义，导出了q-二项式系数和$P(n,m,p)$的一些性质. q-多项式系数可以计算为q-二项式系数的乘积。给出了$Q(n,m,p)$的一个计算公式，它是将$n$划分为完全不同的$m$部分的整数个数，其中每个部分至多为$p$.导出了每部分在最小值和最大值之间的整数分拆数的计算公式。一个计算机代数程序列出实现这些算法使用计算机代数程序的早期文件。
2022-11-22 math.CO math.NT
Congruences on sums of $q$-binomial coefficients
本文建立了孙-赵同余式在调和和上的一个$q$ -模拟.基于这个$q$ -同余式和一个$q$ -级数恒等式，我们证明了最近由Guo提出的关于中心$q$ -二项式系数和的一个同余式猜想.我们还从郭的$q$ -同余式推出了Apagodu和Zeilberger的一个同余式的$q$ -模拟.
2019-02-11 math.CO math.NT
On alternating sums of binomial coefficients and $q$-binomial coefficients
本文用组合论的方法求两个二项式系数的交错和。此外，通过结合相同的组合思想与分区理论技术，我们提供了$q$ -类似物涉及$q$ -二项式系数。
2016-06-04 math.NT
Binomial coefficients coprime to 6
Leoben University of Technology（莱奥本工业大学）
本文针对d含至少两个不同素因子时无有意义界的问题，首次给出与6互素的二项式系数数量的非平凡界，推进了例外集合规模的研究。
2026-08-11 math.CO math.NT
Multiple analogues of binomial coefficients and related families of special numbers
本文构造了几个著名的特殊数族的多重$qt$ -二项式系数及相关的多重模拟。这些多维推广包括第一和第二类$qt$ -Stirling数、$qt$ -Bell数、$qt$ -Bernoulli数、$qt$ -Catalan数和$qt$ -斐波那契数。在发展的过程中，这些扩展的主要属性，我们证明结果是显着的，在自己的权利，如某些概率测度的整数分区。
2010-01-20 math.CO math.NT
Binomial Coefficients and Quadratic Fields
设E是判别式为d的实二次域，p是不整除d的奇素数.当ρ=1或-1时，我们用Lucas数、基本单位和E的类数来确定$\prod_{0<c<d, (d/c)=ρ} binomial coeff.{p-1}{\lfloor pc/d\rfloor}$模p^2，其中（d/c）是克罗内克符号.
2005-03-06 math.CO math.NT
On the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients ${n \choose q}, {n \choose 2q}, {n \choose 3q}, \dots$
每个二项式系数爱好者都知道，如果对于某些$i>0$，$n=p^i$等于$p$，则二项式系数的最大公因数$\binom n1,\binom n2,\dots,\binom n{n-1}$等于$p$，否则等于1。不太为人所知的是，二项式系数$\binom{2n}2,\binom{2n}4,\dots,\binom{2n}{2n-2}$的最大公因数等于（2的某个幂）所有奇素数$p$的乘积，使得对于某些$0\le i\le j$，$2n=p^i+p^j$。本注记对这些事实的一个整齐的概括给出了一个简明的证明。
2018-07-25 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
Products and sums divisible by central binomial coefficients
本文主要研究可被中心二项式系数整除的乘积与和。我们证明了2（2n+1）binom（2n，n）|binom（6n，3n）binom（3n，n），其中n= 1，2，3，.此外，对于任何非负整数$k$和$n$，我们有$$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$和$$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$，其中$C_m$表示加泰罗尼亚数$\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$。应用这个结果，我们得到两个可被中心二项式系数整除的和。
2010-05-05 math.CO math.NT
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
2012-02-01 math.CO math.NT
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
2014-01-08 math.CO math.NT
Three combinatorial sums involving central binomial coefficients
本文研究三类含中心二项式系数及不同调和数的组合和，通过分部求和建立递归式，并用第二类 Stirling 数与 r-Stirling 数给出闭合形式。
2025-05-04 math.CO math.NT
Binomial coefficient-harmonic sum identities associated to supercongruences
利用部分分式分解方法建立了两个二项式系数--广义调和和恒等式.这些恒等式是证明许多超同余的关键要素。特别是，在其他作品的作者，他们被用来建立模$p^k$（$k>1$）之间的同余截断广义超几何级数，并在有限域上的函数扩展格林的超几何函数的$p$ -adic设置。一个专门化的这些同余之一是用来证明一个杰出的猜想罗德里格斯Villegas有关截断广义超几何级数的$p$第傅里叶系数的一个特定的模块形式。
2012-04-06 math.CO math.NT
Series Associated with Harmonic Numbers, Fibonacci Numbers and Central Binomial Coefficients $\binom{2n}{n}$
本文通过直接变换而非传统超几何方法，发现了涉及中心二项式系数、调和数与斐波那契数的多种级数，并给出了 $\zeta(2)$ 的新级数表示。
2024-05-27 math.CO math.NT
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
On a divisor of the central binomial coefficient
众所周知，对于所有$n\geq1$，数字$n+ 1$是中心二项式系数${2n\choose n}$的约数。由于$n$第n个中心二项式系数等于从$(0,0)$到$(n,n)$向北或向东单位步长的格路径的数量，因此自然的问题是是否存在将这些路径划分成$n+ 1$路径集合或$n+1$等数量路径集合的方法。Chung-Feller定理对这个问题给出了一个优雅的答案。我们提出并提供了一个类似的问题的答案$2n-1$，另一个因子的${2n\choose n}$。然后，我们表明我们的主要结果如下从一个更一般的观察二项式系数${n\choose k}$与$n$和$k$相对素数。讨论的情况下，$n$和$k$不是相对的素数也给出了，突出我们的方法的局限性。最后，我们来完整的循环，并给出一个新的解释加泰罗尼亚数字。
2021-04-09 math.CO math.NT
Explicit Identities and new results for Infinite Series associated with the Ratio of Central Binomial Coefficients
研究中心二项式系数比值相关的无穷级数，推导新的显式恒等式和闭式求值，改进先前结果。
2025-09-10 math.CO math.NT
On Binomial Identities in Arbitrary Bases
通过引入$b-$元二项式系数，将Nguyen等人给出的数字二项恒等式推广到任意基$b$中的恒等式.然后，我们研究这些系数的性质，如正交性，链接到卢卡斯定理和相应的$b-$ ary杨辉三角形。
2016-02-12 math.CO math.NT
A binomial identity on the least prime factor of an integer
证明了模奇正整数$n$的二项符号与$n$的最小素因子有关的一个恒等式。的身份范围内讨论佩尔二次曲线。
2011-07-28 math.NT
Two binomial coefficient conjectures
关于素数的二项式系数我们知道得很多，但关于素数幂和复合数的知道得很少。本文在这方面给出了两个定理，一个是关于模16的二项式系数的计数，另一个是关于模n的二项式[n，2 p]的值。
2011-02-07 math.NT
Factors of Alternating Sums of Products of Binomial and q-Binomial Coefficients
In this paper we study the factors of some alternating sums of products of binomial and q- binomial coefficients . We prove that for all positive integers n_1,...,n_m, n_{m+1} =n_1, and 0 \leq j \leq m-1, {n_1+ n_{m} \brack n_1}^{-1} \sum_{k=-n_1}^{n_1} (-1)^kq^{jk^2+{k \choose 2}} \prod_{i=1}^m {n_i+ n_{i+1} \brack n_i+k} \in \N [q], which generalizes a result of Calkin [Acta Arith. 86 (1998), 17--26]. Moreover, we show that for all positive integers n, r and j, {2n \brack n}^{-1}{2j \brack j} \sum_{k=j}^n (-1)^{n-k}q^{A} \frac{1-q^{2k+1}}{1-q^{n+k+1}} {2n \brack n-k}{k+j \brack k-j}^r \in N[…
2007-01-07 math.CO math.NT
Conjectures on congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
在这篇文章中，我们提出了许多具有挑战性的假设，涉及二项式系数和Apéry-like数的同余。
2020-08-17 math.NT
An identity relating $n$-nacci numbers, partitions, and products of binomial coefficients
本文通过研究最终类型和其相关划分，推导出n-nacci数的恒等式，并比较了不同偏序关系。
2026-01-24 math.CO math.NT
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
2014-01-02 math.CO math.NT
Binomial coefficients and the ring of p-adic integers
设k>1为整数，p为素数。我们证明了，如果对a= 1，2，.，$p^a\le k<2p^a$或$k=p^aq+1$（2 q <p），则集合{ \binom{n}{k}：n= 0，1，2，.}在p进整数环Z_p中稠密，即，它包含一个完全剩余系模p的任何幂。
2011-01-25 math.CO math.NT
Sums of series involving central binomial coefficients & harmonic numbers
本文给出了一类系数为中心二项式系数与调和数乘积的级数。最后一节中给出了一个涉及$ζ(2)$和另外两个很好的和的优雅求和。
2019-03-18 math.NT
Divisibility of binomial coefficients and generation of alternating groups
研究了二项式系数的素整除性的一个初等问题。我们的问题是由几个相关的问题交替群。
2017-05-19 math.CO math.GR math.NT
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
2011-06-02 math.CO math.NT
Fibonacci Identities Involving Reciprocals of Binomial Coefficients
我们导出了一些含有逆二项式系数的Fibonacci和Lucas恒等式。在某些情况下，将结果推广到一般的Horadam序列是可能的。
2021-11-19 math.NT
The congruence of Wolstenholme and generalized binomial coefficients related to Lucas sequences
利用关于基本Lucas序列的广义二项式系数，我们建立了推广经典的Wolstenholme同余和其他相关的强同余的同余.
2014-09-30 math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
2020-05-10 math.CO math.NT
Use of difference tables at studying of properties of binomial coefficients
研究了对角二项式系数关于其单位位频率的一些性质。制定了一种方法，导致使用差分表来预测某些单位数字是否可以出现在二项式定理的二次项处的二项式系数的值中。二项式系数的单位数字的频率分布在大多数常见的编号系统下包含间隙（零频率），假定排除2^n基的系统。二项式系数算法可用于模拟多细胞生物体中的细胞群体动力学，这意味着动力学服从幂函数定律。
2017-04-30 math.NT
Generalized hyperharmonic number sums with reciprocal binomial coefficients
本文主要证明了具有倒数二项式系数的广义超调和数和可以用经典（交错）欧拉和、zeta值和广义（交错）调和数来表示。
2021-04-08 math.NT
Identities for the shifted harmonic numbers and binomial coefficients
给出了n + α阶移位调和数和与倒数二项式系数关于α阶移位调和数的新的封闭形式表示.一些有趣的新的后果和说明性的例子。
2017-03-29 math.NT
Double Series Involving Binomial Coefficients and the Sine Integral
通过将正弦反正弦的超几何级数表示除以sin^-1（x）并积分，就产生了整数和常数的新的二重级数表示。因此，二项式系数和正弦积分结合在二重级数中。
2010-09-16 math.NT
Identities for squared central binomial coefficients
证明了四个平方中心二项式系数的恒等式。前三种方法反映了第一类和第二类完全椭圆积分的某些变换性质，而最后一种方法是基于Lagrange多项式的性质。
2021-11-16 math.NT
Quadratically enriched binomial coefficients over a finite field
Duke University（杜克大学）
本文研究了有限域上二次富集的二项式系数，通过双线性形式扩展帕斯卡三角，并利用A^1同伦论在非代数闭域上进行曲线计数。
2026-01-09 math.AG math.CO math.NT
Binomial collisions and near collisions
我们描述了有效的算法来搜索的情况下，二项式系数是相等或几乎相等的，给出了一个完整的列表中的所有情况下，两个二项式系数不同的1，并给出了一些身份的二项式系数，似乎是新的。
2017-10-13 math.NT
On four families of power series involving harmonic numbers and central binomial coefficients
我们提出了几个涉及调和数和中心二项式系数的序列。计算技术是由一个特殊的求和方法，允许，基于适当的二值整数函数，计算不同的家庭的幂级数，涉及奇调和数和中心二项式系数。此外，它表明，基于这些系列的一种新的类型的非线性欧拉和，涉及奇调和数可以计算的zeta函数。
2020-06-23 math.NT
On sums related to central binomial and trinomial coefficients
广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$(x^2+bx+c)^n$用$b,c\in\mathbb Z$展开时$x^n$的系数。本文研究了与中心二项式系数和广义中心三项系数相关的项和的同余式和级数。本文包含了许多关于与某些二元二次型表示素数有关的同余式的说明，以及62个由同余式和相关对偶激发的$1/π$的新系列。
2014-10-22 math.CA math.CO math.NT
