Linear recurrence relations for binomial coefficients modulo a prime
研究了当正整数k为固定值时，二项式系数序列\binom{k}{i}模素数p在有限范围0 \le i \le k中满足（正）次h的线性递归关系.特别地，我们证明了，如果2 h \le k<p-h，这不会发生。这个假设可以减弱为2 h \le k<p，如果我们假设，此外，关系的特征多项式没有-1作为根。我们应用我们的结果来恢复一个已知的有限域有限域上的费马曲线的点的数目的界限。
2005-11-16 math.NT
Determinants related to Dirichlet characters modulo 2, 4 and 8 of binomial coefficients and the algebra of recurrence matrices
使用递归矩阵，定义和描述了一些细节，我们研究了一些行列式有关的二项式系数的狄利克雷字符模2，4和8的评价。
2008-05-12 math.NT math.RA
The number of nonzero binomial coefficients modulo p^alpha
在1947年罚款获得了一个表达式的数量二项式系数行n的帕斯卡的三角形是非零模p.在本文中，我们使用库默尔定理推广罚款的定理，以总理权力，表示数量的非零二项式系数模p^alpha作为一个总和超过某些整数分区。对于固定的alpha，这个表达式可以被重写，以显示对n的base-p表示中每个子字出现次数的显式依赖性。
2011-03-20 math.CO math.NT
Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
2011-09-22 math.NT
A binomial identity on the least prime factor of an integer
证明了模奇正整数$n$的二项符号与$n$的最小素因子有关的一个恒等式。的身份范围内讨论佩尔二次曲线。
2011-07-28 math.NT
Sums of binomial coefficients modulo $p$ and groups of exponent $p^n$
本文利用矩阵方法证明模素数 $p$ 的二项式系数和同余方程，并据此构造指数为 $p^n$ 的群，从而说明 $p=2$ 在 Heisenberg 群相关问题上并非真正例外。
2024-08-31 math.GR math.NT
A note on matrices over $\mathbb{Z}$ with entries stemming from binomial coefficients and from Catalan numbers once pure and once taken modulo $2$
本文在整数环中整理了 Pascal 矩阵及其模 $2$ 形式，以及由 Catalan 数定义的 Hankel 矩阵在原始与模 $2$ 情形下的共同特征，为研究仅含 $0$ 和 $1$ 元素的矩阵提供了动机。
2025-02-03 math.NT
Long nonnegative sums of Legendre symbols
对于$0\leq α<1$和素数$p$，令$L(α,p)$为勒让德符号模$p$的前$[αp]$值之和。本文研究了$L(α,p)$的正性，证明了对于$|α-\frac13|<2\cdot 10^{-6}$和有理$α\leq \frac12$，若集合$\{1,2,3,4,5,6,8,12\}$中的子为正，则不等式$L(α,p)\geq 0$对大多数素数成立.
2021-06-30 math.NT
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
2009-12-20 math.NT
Supercongruences involving products of two binomial coefficients modulo $p^4$
Nanjing University of Information Science and Technology（南京信息工程大学）
本文证明了关于两个二项式系数乘积的超同余式模p⁴的猜想，涉及调和数和二项式系数的求和问题。
2022-03-31 math.CO math.NT
Rotation Symmetries of Sequential Matrices with Applications to the Jacobi Symbol
假设$p$是奇素数，并且$\genfrac{(}{)}{}{}{\cdot}{p}$表示勒让德符号模$p$。如果$p$的形式为$p= n^2+1$，则很容易验证所有$a\in \mathbb Z/p\mathbb Z$的$\genfrac{(}{)}{}{}{a}{p} = \genfrac{(}{)}{}{}{-a}{p}$。我们确定了$\mathbb Z/(n^2+1)\mathbb Z$上序列矩阵的各种对称性质，而不管$n^2+1$是否是素数。我们从这些结果推导出一个集合的对称性，涉及雅可比符号模$n^2+1$推广我们上面的观察勒让德符号。
2018-08-18 math.NT
Two Triple binomial sum supercongruences
Apagodu和Zeilberger（http：//arxiv.org/abs/1606.03351）在最近的一篇文章中讨论了一个算法在寻找和证明多个组合序列的不定和的同余恒等式（模素数）中的应用。最后，他们提出了一些超同余。在这里，我们证明其中之一，包括一个新的同伴枚举阿贝尔广场，我们留下一些意见的其他人。
2016-07-08 math.NT
The Euler Series Transformation and the Binomial Identities of Ljunggren, Munarini and Simons
它表明，好奇的身份西蒙斯如下立即从欧拉的级数变换公式，也从一个身份由于Ljunggren。本文还讨论了西蒙斯恒等式与勒让德多项式的关系。最后利用广义欧拉级数变换得到了Munarini的两个最近的二项式恒等式。
2009-12-31 math.CO math.NT
On sums of binomial coefficients modulo p^2
设p为奇素数，a为正整数。本文研究和$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}/m^k$ mod p^2，其中h，m是p进整数，m \not =0（mod p）.例如，我们证明了如果h \not =0（mod p）并且p^a>3，则$$ sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-h/2)^k =(\frac{1-2h}{p^a})(1+h((4h-2)^{p-1}/h^{p-1}-1)) (mod p^2),$$，其中（-）表示雅可比符号。这是另一个值得注意的一致性：如果p>3，则$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{p^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-1)^k =3^{p-1}(\frac{p^a}3) (mod p^2).$$
2010-06-15 math.CO math.NT
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
2021-12-06 math.CO math.NT
Lucas' theorem modulo $p^2$
本文刻画了Lucas定理在模$p^2$下成立的数字对条件，并利用帕斯卡三角形的对称性给出自然表达。
2022-02-12 math.NT
On binomial coefficients modulo squares of primes
给出了Apagodu-Zeilberger-Stanton-Amdeberhan-Tauraso同余式$$\sum\limits_{n=0}^{p-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\mod p^{2},$$ $$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\sum\limits_{n=0}^{r-1}\dbinom {2n}{n}\mod p^{2}$$和$$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\sum\limits_{m=0}^{sp-1}\dbinom{n+m}{m}^{2} \equivη_{p} \sum\limits_{m=0}^{r-1}\sum\limits_{n=0}^{s-1}\dbinom{n+m}{m}^2\mod p^2,$$的初等证明，其中$p$是奇素数，$r$和$s$非负整数，$η_{p}= \begin{cases} 0, &\text{if }p\equiv0\mod 3;\\ 1, & \text{if }p\equiv1\mod 3;\\ -1, &\text{if }p\equiv2\mod 3 \end{cases}.$
2018-10-08 math.CO math.NT
Binomial exponential sums
我们得到了素数$p$与二项式$ax^k + bx^n$的指数和的新的界.特别地，对于$k=1$，我们将Karatsuba（1967）的结合从$O(n^{1/4} p^{3/4})$改进为任何$n$的$O\left(p^{3/4} + n^{1/3}p^{2/3}\right)$，然后使用它将Akulinichev（1965）的结合从$O(p^{5/6})$改进为$n | (p-1)$的$O(p^{4/5})$。这个结果是基于有限域上某些方程的解的个数和不可约分量的度的一个新的界。
2018-11-02 math.NT
Symmetric Pascal matrices modulo p
研究了有限域上元素为${i+j\choose i}$的二项式系数对称矩阵的特征多项式.
2003-01-31 math.CO math.NT
Consecutive primes and Legendre symbols
令$m$为任意正整数，令$δ_1,δ_2\in\{1,-1\}$。本文证明了对于某些常数$C_m>0$，存在无穷多个具有$p_{n+m}-p_n\le C_m$的整数$n>1$，使得对于所有的$0\le i<j\le m$，有$$\left(\frac{p_{n+i}}{p_{n+j}}\right)=δ_1\ \quad\text{and}\ \quad\left(\frac{p_{n+j}}{p_{n+i}}\right)=δ_2$$，其中$p_k$表示第$k$个素数，而$(\frac {\cdot}p)$表示对于任何奇素数$p$的Legendre符号.我们还证明了在广义黎曼假设下，存在无穷多个正整数$n$使得对于$0,1,\ldots,m$中的任何不同的$i$和$j$，$p_{n+i}$是模$p_{n+j}$的原根.
2019-09-05 math.NT
An application of sums of triple products of binomials
本文证明了一类三个二项式乘积和族具有模素数$p$的交替性。为了实现这一点，我们重写这些款项的产品的三个二项式，更好地处理$p$的有符号的总和，我们给两个相关的三个二项式的有符号的产品的总和封闭形式的表达式。
2022-02-23 math.CO math.NT
A Proof of a Conjecture of Zhi-Wei Sun on a Truncated Legendre-Symbol Determinant
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院）
对于每个模4余3的素数p，通过将截断勒让德符号行列式化为Chapman满矩阵的逆数据，并利用Vsemirnov分解和Schur-Pfaffian预解式恒等式求值，证明了该行列式等于⌊(p-2)/3⌋²x，从而证实了孙智伟的猜想。
2026-09-09 math.NT
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
2021-10-20 math.NT
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
2009-11-05 math.NT
Jacobsthal sums, Legendre polynomials and binary quadratic forms
设$p>3$是素数，$m,n\in\Bbb Z$与$p\nmid mn$是素数.在Morton工作的基础上，本文证明了一致同余：$$&\sum_{x=0}^{p-1}\Big(\frac{x^3+mx+n}p\Big) \equiv {-(-3m)^{\frac{p-1}4} \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-\frac 1{12}}k\binom{-\frac 5{12}}k (\frac{4m^3+27n^2}{4m^3})^k\pmod p&\t{if $4\mid p-1$,} \frac{2m}{9n}(\frac{-3m}p)(-3m)^{\frac{p+1}4} \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-\frac 1{12}}k\binom{-\frac 5{12}}k (\frac{4m^3+27n^2}{4m^3})^k\pmod p&\text{if $4\mid p-3$,}$$，其中$(\frac ap)$是Legendre符号.本文还建立了$x\pmod p$的许多同余式，其中$x$由$p=x^2+dy^2$或$4p=x^2+dy^2$给出，并给出了关于二元二次型的模$p^2$的超同余式的一些结果。
2012-02-12 math.NT
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
2022-02-14 math.CO math.NT
Two determinant evaluations in Sun's conjectures involving Legendre symbols
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
通过约简四元行列式到相邻余子式的四元逆包，证明了Sun关于Legendre符号矩阵猜想中的第一个行列式求值，并给出了第二个行列式模p的一致精确同余式。
2026-05-27 math.NT
Modular periodicity of binomial coefficients
我们证明，如果有符号的二项式系数$(-1)^i\binom{k}{i}$查看模p是一个周期函数的i与周期h素数p的范围$0\le i\le k$，那么k+1是p的幂，提供h不是太大相比，k。(In特别是$2h\le k$就足够了。）作为应用，我们证明了：如果G和H是有限域的乘法子群，且H<G，且对所有$α\in G\setminus H$都有$1-α\in G$，则$G\cup\{0\}$是子域.
2006-11-23 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Generating functions for finite sums involving higher powers of binomial coefficients: Analysis of hypergeometric functions including new families of polynomials and numbers
本研究的起源是基于不仅显式公式的有限和涉及高次幂的二项式系数，但也显式评估的生成函数，这种总和。应该强调的是，这项研究既包含了新的结果，也包含了对迄今为止存在的一些相关结果的文献调查。借助于超几何函数，构造了一类新的与二项式系数的有限次幂和有关的组合数的生成函数。利用这些生成函数，得到了一系列新的恒等式，同时推广了以前熟知的公式和恒等式。此外，在这种情况下，我们确定新的家庭的多项式，包括一些家庭的著名的数字，如伯努利数，欧拉数，斯特林数，弗兰纳数，加泰罗尼亚数，Changhee数，Daehee数和其他，也为多项式，如勒让德多项式，迈克尔沃多项式，Mirimanoff多项式，Golombek型多项式，和其他。我们也给出了这些多项式的Riemann和$p$ -adic整表示。最后，我们给出了这些新的数族、多项式族和二项式系数幂的有限和族的组合解释。我们也给这些数字的普通生成函数的开放性问题。
2019-01-04 math.NT
Congruences concerning binomial coefficients and binary quadratic forms
设$p>3$为素数。本文得到了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^3}{(-8)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{(-192)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{(-144)^k}\ \text{and} \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{648^k}$$模$p^2$的同余式，以及$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}k^3\frac{w(k)}{m^k}$模$p^2$的部分结果，其中$m\in\{1,16,-64,256,-512,4096\}$和$w(k)\in\{k^2,k^3,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3}, \frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}\}$ .
2022-11-24 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
On new divisibility properties of generalized central trinomial coefficients and Legendre polynomials
本文提出了 $m=2$ 时整除和式 $B(n,m,a,b)$ 的 $a+b$ 最高幂次新公式，并据此确定了中心 Dellanoy 数等的完整 3-adic 赋值及 Legendre 多项式的整除性质。
2023-11-24 math.NT
Trace representation and linear complexity of binary sequences derived from Fermat quotients
通过确定陪集的所有二元特征序列的定义对，刻画了由Fermat商模奇素数$p$导出的两类二元序列（一类是二元阈值序列，另一类是Legendre-Fermat商序列）的迹表示，其中陪集的所有二元特征序列的定义对与Fermat商的每个固定值的模$p^2$的原像集一致.在$2^{p-1}\not\equiv 1 \bmod {p^2}$的假设下，由定义对得到了二元门限序列线性复杂度的一个较早的结果和Legendre-Fermat商序列线性复杂度的一个新结果.
2013-06-20 cs.CR math.NT
A combinatorial approach to Berkovich type identities
本研究受Berkovich的9个含勒让德符号的q-二项式恒等式启发，采用组合方法构建了这类恒等式的统一形式，既涵盖原有9个恒等式，还能推导更多同类恒等式。
2024-04-13 math.CO math.NT
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
2024-07-11 math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
2010-10-30 math.HO math.NT
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
2020-08-02 math.NT
On the generating polynomials for the distribution of generalized binomial coefficients in discrete valuation domains
对于具有极大理想$\mathfrak{m}$的离散赋值域$V$，使得剩余域$V/\mathfrak{m}$是有限的，存在定义在$V$的商域$K$上的多项式序列$(F_n(x))_{n \ge 0}$，其形成$V$ -模块$\text{Int}(V) = \{f \in K[x] | f(V)\subseteq V\}$的基础。这个多项式序列与经典的二项式多项式$(\binom{x}{n})_{n \ge 0}$有许多相似之处。在本文中，我们引入了一个生成多项式占的分布的$V$ -值的多项式$F_n(x)$模的最大理想$\mathfrak{m}$，并证明了一个结果，提供了一种方法，用于计数究竟有多少$V$ -值的多项式$(F_n(x))_{n \ge 0}$落入每个剩余类模$\mathfrak{m}$。本文的主要定理可以看作是经典的Garfield和Wilf定理在离散赋值域上的一个类似。
2020-06-12 math.AC math.CO math.NT
Binomial coefficient-harmonic sum identities associated to supercongruences
利用部分分式分解方法建立了两个二项式系数--广义调和和恒等式.这些恒等式是证明许多超同余的关键要素。特别是，在其他作品的作者，他们被用来建立模$p^k$（$k>1$）之间的同余截断广义超几何级数，并在有限域上的函数扩展格林的超几何函数的$p$ -adic设置。一个专门化的这些同余之一是用来证明一个杰出的猜想罗德里格斯Villegas有关截断广义超几何级数的$p$第傅里叶系数的一个特定的模块形式。
2012-04-06 math.CO math.NT
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
Congruence formulae for Legendre modular polynomials
设$p\geq 5$为素数。推广了E. de Shalit关于超奇异的$j$ -特征$p$中的不变量。我们考虑超奇异椭圆曲线的基础上的$2$ -扭转$\overline{\mathbf{F}}_p$，或等价的超奇异勒让德$λ$ -不变量。设$F_p(X,Y) \in \mathbf{Z}[X,Y]$是$λ$ -不变量的第$p$次模多项式. Kronecker经典同余的一个简单推广证明了$R(X):=\frac{F_p(X,X^{p})}{p}$在$\mathbf{Z}[X]$中.当$λ$是超奇异时，我们给出了$R(λ)$的一个计算公式.这个公式与在模曲线$X(Γ_0(p)\cap Γ(2))$的$p$ -adic均匀化中使用的Manin-Drinfeld配对有关.这种配对计算明确模的主要单位在以前的工作，两位作者。此外，如果$λ$是超奇异的，生活在$\mathbf{F}_p$，那么我们也表示$R(λ)$的CM升降机（这是存在的）的勒让德椭圆曲线与$λ$。
2017-04-23 math.AG math.NT
On a polynomial involving quadratic residues modulo primes
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文通过伽罗瓦理论研究多项式G_p(x)在单位根处的值，验证了某些猜想，特别是针对特定素数模数的根单位情况，给出了多项式值的表达式。
2026-05-11 math.NT
Some congruences involving generalized Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials
设$[x]$是$x$的整数部分，$n>1$是正整数，$χ_n$表示模$n$的平凡Dirichlet特征标.本文利用Z. H.得到了$T_{m,k}(n)=\sum_{x=1}^{[n/m]}\frac{χ_n(x)}{x^k}\left(\bmod n^{r+1}\right)$对于$r\in \{1,2\}$，任意正整数$m $与$n \equiv \pm 1 \left(\bmod m \right)$关于伯努利多项式的同余式.作为应用，我们还得到了关于广义Bernoulli数的模$n^4$的二项式系数的一些新的同余式.
2022-11-29 math.NT
Supercongruences involving Domb numbers and binary quadratic forms
本文证明了孙志宏关于Domb数截断和的两个最近证明的超同余（模$p^3$，其中$p$是大于$3$的素数）.我们的证明涉及一些成分，如涉及专门的伯努利多项式，调和数，二项式系数，超几何求和和变换的同余。
2021-12-23 math.NT
Legendre polynomials and complex multiplication, II: class numbers of quadratic fields and genus 2 supersingular polynomials
该文研究亏格2的两类超奇异多项式在有限域上的因式分解，用二次变换结合勒让德多项式、类方程性质及已有结果，证明其一次因式个数由虚二次域类数刻画，部分核心结论由人工智能首次发现。
2026-09-01 math.NT
Supercongruences involving products of two binomial coefficients
本文给出了素$p>3$的模幂的一些新的超同余.设$d\in\{0,1,\ldots,(p-1)/2\}$。我们证明了$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+d}}{8^k}\equiv 0\ (\mbox{mod}\ p)\ \ \ \mbox{if}\ d\equiv \frac{p+1}2\ (\mbox{mod}\ 2),$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+d}}{16^k} \equiv\left(\frac{-1}p\right)+p^2\frac{(-1)^d}4E_{p-3}\left(d+\frac12\right)\pmod{p^3},$$，其中$E_{p-3}(x)$表示次数为$p-3$的欧拉多项式，而$(-)$表示Legendre符号。本文还包含了其它一些结果，如$$\sum_{k=0}^{p-1}k^{(1+(\frac{-1}p))/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{864^k}\equiv0\pmod{p^2}.$$
2013-10-30 math.CO math.NT
Exponential sums with sparse polynomials over finite fields
我们得到了具有稀疏多项式$a_0x^{n_0} + \cdots + a_νx^{n_ν}$的模素数$p$的指数和的新界.该界取决于指数$n_0, \ldots, n_ν$的各种最大公因数及其差。特别是，获得了两个新的二项式边界，改善了以前的结果在广泛的参数范围。
2020-07-29 math.NT
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
2010-01-31 math.CO math.NT
Two Legendre-symbol determinants of Sun and Bernoulli numbers
School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
本文给出Sun定义的两个Legendre符号行列式模p的显式公式（用Bernoulli数表示），并利用Reinhart的反例找到使行列式模p为零的素数，否定回答了Sun的一个问题。
2026-09-22 math.CO math.NT
Sums of products of binomial coefficients mod 2 and 2-regular sequences
本文证明了模2二项式系数乘积之和对应的线性递推序列游程长度变换是2-正则序列，从而利用计算机程序 Walnut 复现并扩展了 Wu 的结果，免去了冗长的技术证明。
2023-09-07 cs.FL math.CO math.NT
A congruence modulo $n^3$ involving two consecutive sums of powers and its applications
对于各种正整数$k$，第一个$k$正整数的$k$次幂的和，$S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$，必须是所有数学中最流行的一些和。本文证明了对于每个$k\ge 2 $ $ 2S_{2k+1}(n)- (2k+1)nS_{2k}(n)\equiv \{{array}{ll} 0\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\,even\,\,or}\,\, n\,\, {\rm is\,\, odd} & {\rm or} \,\, n\equiv 0\,(\bmod{\,4}) \frac{n^3}{2}\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\, odd} &,\,{\rm and}\,\, n\equiv 2\,(\bmod{\,4}). {array}.$ $ The above congruence allows us to state an equivalent formulation of Giuga's conjecture. Moreover, we prove that the first above congruence is satisfied modulo $ n ^4 $ whenever $ n \ge 5 $ is a prime number …
2012-11-17 math.NT
