Sun的两个Legendre符号行列式与Bernoulli数
Two Legendre-symbol determinants of Sun and Bernoulli numbers
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- School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
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中文总结 AI 辅助
本文给出Sun定义的两个Legendre符号行列式模p的显式公式（用Bernoulli数表示），并利用Reinhart的反例找到使行列式模p为零的素数，否定回答了Sun的一个问题。
中文摘要 AI 辅助
设$p>5$为奇素数，令$n=(p-1)/2$，并设$\left(\frac{\cdot}{p}\right)$为Legendre符号。定义$D_p^{\pm}$为以下行列式\\[ \begin{aligned} D_p^{\pm}&:=\det\left[(i\pm j)\left(\frac{i\pm j}{p}\right) \right]_{1\leq i,j\leq n}. \end{aligned} \\]在本文中，我们给出了这些行列式模$p$的显式公式，用Bernoulli数表示。作为Reinhart最近对Ankeny--Artin--Chowla猜想的反例的一个推论，我们找到了一个素数$p$，使得$D_p^{\pm} \equiv 0 \pmod p$。这给出了Sun的一个问题的否定答案。
英文摘要
Let $p>5$ be an odd prime, put $n=(p-1)/2$, and let $\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ be the Legendre symbol. Define $D_p^{\pm}$ to be the following determinants \[ \begin{aligned} D_p^{\pm}&:=\det\left[(i\pm j)\left(\frac{i\pm j}{p}\right) \right]_{1\leq i,j\leq n}. \end{aligned} \] In this article, we give explicit formulas for these determinants modulo $p$ in terms of Bernoulli numbers. As a consequence of Reinhart's recent counterexample to the Ankeny--Artin--Chowla conjecture, we find a prime $p$ such that $D_p^{\pm} \equiv 0 \pmod p$. This gives a negative answer to a question of the Sun.
