Divisibility of binomial coefficients by powers of two
对于非负整数$j$和$n$，令$Θ(j,n)$为帕斯卡三角形第$n$行中不能被$2^{j+1}$整除的条目数。本文证明了族$j\mapstoΘ(j,n)$通常服从正态分布。用于证明该定理的方法涉及计算$Θ(j,n)$的一阶和二阶矩，并使用复分析方法对多元生成函数进行渐近分析，建立在Drmota（1994）和Drmota，Kauers和Spiegelhofer（2016）的早期工作基础上。
2017-10-30 math.CO math.NT
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
2014-01-02 math.CO math.NT
Gaussian binomials and the number of sublattices
这个简短的交流的目的是对现有的计算$n$维格中固定指数的子格数的各种公式之间的联系以及它们与高斯二项式的联系进行一些观察。
2006-10-23 math.CO math.NT
On some families of invariant polynomials divisible by three and their zeta functions
在本文中，我们建立了III型形式权枚举数的Mallows-Sloane界的一个模拟。这就完成了所有类型（类型I到IV）的边界，综合了我们以前的结果。接下来，我们通过使用二项式矩，存在一个家庭的多项式可被三分，这是不相关的线性码，但不变的值为3/2的MacWilliams变换。我们还讨论了这类多项式的zeta函数的一些性质。
2017-09-11 math.NT
Binomial coefficients involving infinite powers of primes
设p是素数，n是正整数，设v（n）表示p在n中的指数，u（n）=n/p^{v（n）}表示n的单位部分.如果k是不能被p整除的正整数，我们证明了（-1）^{pke} u（（kp^e）！）当e趋于无穷大时，是一个定义良好的p-adic整数，我们称之为z_k。在此基础上，我们给出了当e趋于无穷大时binom（a p^e +c，b p^e +d）的p进极限的公式，我们称之为binom（a p^ \infty +c，b p^ \infty +d）.这里a、\ge、b是正整数，c和d是整数。
2013-01-26 math.CO math.NT
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
2019-06-16 math.NT
Universal Matrices for Counting Fibonomial and $C$-nomial Coefficients by their $p$-adic Valuations
针对由序列 $C$ 定义的二项式系数推广形式 $C$-nomial 系数，提出当 $C$ 为强整除序列时，其按 $p$-adic 赋值计数的生成函数可通过通用矩阵乘积公式表示，并将该公式推广至 $C$-多项式系数。
2025-08-25 math.CO math.NT
New congruences for central binomial coefficients
设p是素数，a是正整数。在本文中，我们确定了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$模$p$，对于所有d=0，.，例如，我们证明了如果$p\not=2,5$，则$$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$，其中F_n是第n个Fibonacci数，（-）是Jacobi符号。我们还证明了当p>3时，有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$，其中B_n表示n阶Bernoulli数.
2010-04-01 math.CO math.NT
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
2021-10-20 math.NT
Two binomial coefficient conjectures
关于素数的二项式系数我们知道得很多，但关于素数幂和复合数的知道得很少。本文在这方面给出了两个定理，一个是关于模16的二项式系数的计数，另一个是关于模n的二项式[n，2 p]的值。
2011-02-07 math.NT
Counting Finite Index Subrings of $\mathbb{Z}^n$
本文对$\mathbb{Z}^n$的小指标子环进行了计数，其中加法和乘法是按分量定义的.令$f_n(k)$表示指数为$k$的子环的数目。对于任何$n$，我们给出了一个公式，这个数量的所有整数$k$是不能整除的9次幂的素数，刘的结果。
2020-07-31 math.CO math.NT
On a conjecture of Graham on the p-divisibility of central binomial coefficients
我们证明，对于每个$r \geq 1$和所有$r$不同（足够大）的素数$p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无限多个整数$n$，使得${2n \choose n}$可被这些素数整除，仅具有低重数。从Kummer的定理，一个素数$p_j$可以整除${2n \choose n}$的次数的上限是$1+\log n / \log p_j$ ;我们的定理表明，对于每个$\varepsilon > 0$，$r \geq 1$和任何足够大的素数$p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，我们可以找到整数$n$，其中对于$j=1,...,r$，$p_j$整除${2n \choose n}$的重数至多为$\varepsilon \log n/\log p_j$。我们把这个结果与R. L. Graham关于是否存在无穷多个整数$n$使得${2n \choose n}$与$105$互质的问题。
2023-01-06 math.CO math.NT
Construction of divisible formal weight enumerators and extremal polynomials not satisfying the Riemann hypothesis
形式权枚举数是由M.关它们形成了一个不变多项式环，类似于II型码的重量计数器。后来，发现了线性码的zeta函数，并发展了它们的理论。杜尔斯玛本文作者将它推广到某些不变多项式，包括Ozeki的形式权计数器.极值权计数器是否满足黎曼假设是一个著名而重要的问题。在本文中，我们首先制定的概念，可分的形式重量枚举，并提出了一个算法的有效搜索的形式重量枚举可被二分。主要工具是二项式矩。它导致发现了几个新的家庭的正式重量枚举。然后，作为一个结果，我们发现的极值形式的重量枚举不满足黎曼假设的例子。
2018-05-21 math.NT
Quadratically enriched binomial coefficients over a finite field
Duke University（杜克大学）
本文研究了有限域上二次富集的二项式系数，通过双线性形式扩展帕斯卡三角，并利用A^1同伦论在非代数闭域上进行曲线计数。
2026-01-09 math.AG math.CO math.NT
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
2017-07-18 math.CO math.NT
Counting numbers that are divisible by the product of their digits
本文研究 base-b Zuckerman 数的计数问题，改进其上下界，提出启发式估计，并设计计数与枚举算法验证结果。
2024-04-03 math.NT
Computing Crystalline Cohomology and p-Divisible Groups for Curves over Finite Fields
University of Florida（佛罗里达大学）
本文提出了一种计算有限域上曲线的p-可除群的算法，基于晶体上同调的Frobenius和Verschiebung算子，改进了Tuitman的p进点计数算法。
2026-01-20 math.AG math.NT
A matrix generalization of a theorem of Fine
该论文将Fine关于二项式系数不被p整除的计数公式推广为矩阵乘积形式，可同时统计各p-adic赋值，并证明生成函数序列为p-正则，且推广至多项式系数。
2018-03-24 cs.DM math.CO math.NT
The GBG-Rank and t-Cores I. Counting and 4-Cores
设r_j（π，s）表示划分π的s-剩余图中的细胞数，着色为j。πmod s的GBG秩定义为r_0+r_1*w_s+r_2* w_s ^2 +.+ r_（s-1）*w_s^（s-1），其中w_s=exp（2 * I/s）。我们将证明对于（s，t）=1，v（s，t）<=二项式（s+t，s）/（s+t），其中v（s，t）表示t核的GBG秩mod s可以假定的若干不同值。当s是素数或当s是合数且t<=2p_s时，上述不等式变为等式，其中p_s是s的最小素除子。我们将证明具有GBG秩模3的规定值的4核的生成函数都是η-积。
2008-08-14 math.CO math.NT
On the generating polynomials for the distribution of generalized binomial coefficients in discrete valuation domains
对于具有极大理想$\mathfrak{m}$的离散赋值域$V$，使得剩余域$V/\mathfrak{m}$是有限的，存在定义在$V$的商域$K$上的多项式序列$(F_n(x))_{n \ge 0}$，其形成$V$ -模块$\text{Int}(V) = \{f \in K[x] | f(V)\subseteq V\}$的基础。这个多项式序列与经典的二项式多项式$(\binom{x}{n})_{n \ge 0}$有许多相似之处。在本文中，我们引入了一个生成多项式占的分布的$V$ -值的多项式$F_n(x)$模的最大理想$\mathfrak{m}$，并证明了一个结果，提供了一种方法，用于计数究竟有多少$V$ -值的多项式$(F_n(x))_{n \ge 0}$落入每个剩余类模$\mathfrak{m}$。本文的主要定理可以看作是经典的Garfield和Wilf定理在离散赋值域上的一个类似。
2020-06-12 math.AC math.CO math.NT
Wendt's determinant and finiteness of prime characteristics for permutation binomials
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本研究针对置换二项式，结合Wendt行列式，证明对固定参数，仅有限个素特征存在满足条件的置换二项式，确定了特定情形下的可允许特征及相关整除条件。
2026-10-14 math.NT
Powers in prime bases and a problem on central binomial coefficients
Niels Bohr Institute, University of Copenhagen（哥本哈根大学尼尔斯玻尔研究所）；Department of Mathematics, University of Copenhagen（哥本哈根大学数学系）
研究素数底数下幂的表示特性，证明关于中心二项式系数的整除性问题的渐近密度为零。
2026-01-14 math.NT
Products of binomial coefficients and unreduced Farey fractions
本文研究了Pascal三角形第n行的二项式系数的乘积$\bar{G}_n$，它等于所有n阶约化Farey分数与未约化Farey分数乘积的倒数。它研究了它作为实数的大小（通过其对数$log(\bar{G}_n)$来衡量）以及它的素因子分解（通过被固定素数p整除的顺序来衡量），每个都被视为n的函数。它推导出三个公式的素数幂整除，$ord_p(\bar{G}_n)$，其中两个涉及到基地p基数扩展的n，并显示不同方面的行为。这些公式用于确定每个$ord_p(\bar{G}_n)$的最大增长率和这些函数的波动结构。它还为所有整数基$b$定义了类似的函数来替换素数基。最后一个主题涉及的因子分解的$\bar{G}_n$切比雪夫型素数计数估计和素数定理。
2015-09-15 math.NT
Counting partitions inside a rectangle
我们考虑$n$的分区的数量，其Young图适合$m \times \ell$矩形内;等价地，我们研究$q$ -二项式系数$\binom{m+\ell}{m}_q$的系数。我们在整个方案$\ell = Θ(m)$和$n = Θ(m^2)$中获得了尖锐的渐近性。以前，Takács只在$|n - \ell m /2| = O(\sqrt{\ell m (\ell + m)})$使用局部中心极限定理的情况下才推导出尖锐的渐近性。我们的方法是解决一个相关的大偏差问题：我们描述的倾斜措施，产生的配置，其边界矩形具有给定的纵横比，并填充到给定的比例。我们的结果是足够尖锐的，以产生第一次渐近估计的连续差异，这些数字时，$n$增加1和$m, \ell$保持不变，因此显着细化西尔维斯特的单峰定理。
2019-02-04 math.CO math.NT math.PR
On binomial Weil sums and an application
本文对奇素数特征域上的二项式Weil和进行了显式求值，并利用该初等方法构造了一类三元线性码，确定了其精确重量分布，证明其对偶码达到球填充界最优。
2024-09-23 cs.IT math.IT math.NT
On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function
我们在数论中提出了许多新的结果，包括自然对数的二重级数公式和基于黎曼ζ函数的函数方程的Hölder平均的证明。我们找到了一个调和平均模拟切比雪夫不等式的主要计数函数涉及的欧拉-Mascheroni常数。此外，我们定义了一个函数的所有正整数的Hölder平均到一个给定的数字，并研究其渐近行为，发现两个不同的模式是由调和平均分开。此外，还讨论了该函数在零点处的性质，发现了一个涉及黎曼ζ函数的公式，并利用黎曼函数方程证明了该函数的连续性.受交替调和级数的启发，我们找到了自然对数的二重级数公式，从而得到了涉及黎曼ζ函数、二项式系数和多项式的恒等式。
2022-11-19 math.NT
Ultrametric Root Counting
设$K$是具有离散赋值的完备非阿基米德域，$f\in K[X]$是具有非零判别式的多项式，$A$是$K$的赋值环，$\M$是$A$的极大理想.本文的第一个主要结果是一个Hensel引理，连接$f$的根数与其减少模$\M$的幂的根数。然后，我们定义了一个条件- { \em正则性} -产生一个简单的方法来计算$K$中$f$的确切根数。特别是，我们表明，规律性意味着根的数量的$f$等于某些二项式的根的数量的总和来自牛顿多边形。
2010-09-02 math.AG math.NT
Multivariate ultrametric root counting
设$K$是一个关于离散非阿基米德赋值完备的域，$k$是剩余域。考虑$K\vars$中$n$多项式方程的系统$F$。我们的第一个结果是一个重新制定的经典亨泽尔引理的语言热带几何：我们证明了充分条件（半正则性$w$），保证第一位数映射$δ:(K^\ast)^n\to(k^\ast)^n$是一个一对一的对应关系的解决方案$F$在$(K^\ast)^n$与估值$w$和解决方案在$(k^\ast)^n$的初始形式系统${\rm in}_w(F)$。利用这一结果，我们提供了一个明确的公式的解决方案在$(K^\ast)^n$的某一类系统的多项式方程（称为定期），其特征在于有有限的热带prevariety，由有初始形式仅由二项式，并在热带prevariety中的任何一点是半正则的。最后，作为根计数公式的结果，我们得到了期望的根数在$(K^\ast)$的一元多项式与给定的支持和随机系数。
2011-07-06 math.AG math.NT
Lucas Type Theorem Modulo Prime Powers
本文证明了{equation*} {np^s \choose mp^s+r} \equiv（-1）^{r-1}r^{-1}（m+1）{n \choose m+1}p^s \pmod{p^{s+1}} {equation*}其中$p$是任意素数，$n$，$m$，$s$和$r$是非负整数，使得$n\ge m$，$s\ge 1$，$1\le r\le p^s-1$和$r$不能被$p$整除.我们利用卢卡斯定理的多重应用和两个基本的二项式系数恒等式推导出一个归纳证明。作为应用，我们证明了1992年D. F. Bailey为每个素数$p$保持。
2012-12-29 math.NT
On arithmetic terms expressing the prime-counting function and the n-th prime
本研究提出首个固定长度的初等闭式算术项，可分别表示素数计数函数$\pi(n)$与第$n$个素数$p(n)$，仅用有限固定次数的初等算术运算，为素数是否存在次序的基础问题提供构造性解答。
2025-08-04 math.NT
Counting Roots of Polynomials over $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$
直到最近，除了域之外，唯一已知的在素幂环上求多项式根的方法是蛮力。其中一个原因是缺乏除法算法，阻碍了最大公因数的使用。固定一个素数$p \in \mathbb{Z}$和$f \in ( \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} ) [x]$任何非零多项式的次数$d$，其系数不都是可被$p$整除的。对于$n=2$，我们证明了在$(d+\operatorname{size}(f)+\log{p})$中的时间多项式内计算$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$中的$f$的根的一个新的有效算法，并记录了Cheng，Gao，Rojas和Wan提出的根数的简明公式.
2017-12-12 cs.CC cs.SC math.AC
On Higher Dimensional Fibonacci Numbers, Chebyshev Polynomials and Sequences of Vector Convergents
我们研究高维交错Fibonacci序列，通过切比雪夫型函数和$m$维递归关系产生。对于每个整数$m$，存在这些序列的有理数和整数版本，其中有理数序列分解器的底层素同余结构使得整数序列能够被恢复。从有理或整数序列中，我们构造了$\mathbb{Q}^m$中的向量序列，这些序列收敛到$\mathbb{R}^m$中的无理代数点。有理序列项可以表示为简单递归、三角和、二项式多项式、平方和以及正则单位$n$ -gon的有符号对角线的幂比之和。这些序列也表现出“彩虹型”的质量，并对应于负指数的Fleck数，导致一些组合的身份涉及二项式系数。证明了定义递推关系的正交生成多项式族可被某些代数数的极小多项式整除，并导出了这些多项式的三项递推关系和微分方程.进一步讨论了与Christoffel-Darboux公式、Rodrigues公式和升降算子有关的结果。此外，还证明了这些多项式的梅林变换满足形式为$p_n(s)=\pm p_n(1-s)$的函数方程，并且只在临界线Re上有零点$s=1/2$ .
2016-05-20 math.NT
Solution of the Differential Equation $y^{(k)}=e^{ay}$, Special Values of Bell Polynomials and $(k,a)$-Autonomous Coefficients
本文利用方程$y^{(k)}=e^{ay}$的幂级数解给出了Bell多项式的特殊值。此外，还定义了完全和部分指数自治函数、指数自治多项式、自治多项式和$(k,a)$ -自治系数.最后，我们给出了组合对象的各种计数与二项式系数、第二类Stirling数和自治系数之间的关系。
2021-05-11 math.CA math.NT
Divisor Goldbach Conjecture and its Partition Number
在哥德巴赫猜想和算术基本定理的基础上，将哥德巴赫猜想推广到更一般的情形，即，任何正整数都可以写成某些特定素数的和，这取决于这个整数的整除因子，即：对于任何正整数$n~(n>2)$，如果存在整数$m$，使得$m|n~( 1 < m < n )$，那么$n=\sum_{i=1}^m p_i $，其中$ p_i~(i=1,2 ,3...m)$是素数。此外，还讨论了多个素被加数的组合计数问题。对于某些特殊情况，给出了简单的证明.利用计算机进行了初步的数值验证，没有发现反例。
2016-03-14 math.NT
