Congruences for certain lacunary sums of products of binomial coefficients
证明了对任意素数$p$和任意自然数$\ell, m,$和$s$使得$0<s<p$，下列三个同余式\begin{align*}\sum_{i\ge \ell+1}(-1)^{m-i} {m \choose i}{m+s-1+i(p-1) \choose m+s-1+\ell(p-1)} &\equiv 0 \bmod p\\ \sum_{i\ge 0}(-1)^{m-i} {m \choose i}{\ell+ip \choose m+s-1}&\equiv 0 \bmod p^m\\ \sum_{j,i\ge \ell}(-1)^{j-i}{m \choose j} {j \choose i}{j+s-1+i(p-1) \choose j+s-1+\ell(p-1)}&\equiv 0 \bmod p^{m-\ell} \end{align*}成立.相应的同余式涉及Adelberg多项式，它可以显式计算，为这些和提供封闭形式的表达式，即使$p$不是素数，当同余式不一定成立时也有效。
2020-08-03 math.NT
On the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients ${n \choose q}, {n \choose 2q}, {n \choose 3q}, \dots$
每个二项式系数爱好者都知道，如果对于某些$i>0$，$n=p^i$等于$p$，则二项式系数的最大公因数$\binom n1,\binom n2,\dots,\binom n{n-1}$等于$p$，否则等于1。不太为人所知的是，二项式系数$\binom{2n}2,\binom{2n}4,\dots,\binom{2n}{2n-2}$的最大公因数等于（2的某个幂）所有奇素数$p$的乘积，使得对于某些$0\le i\le j$，$2n=p^i+p^j$。本注记对这些事实的一个整齐的概括给出了一个简明的证明。
2018-07-25 math.CO math.NT
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
2014-10-23 math.NT
The distribution of the Carlitz binomial coefficients modulo a prime
对于一个非负整数$n$，和一个总理$\wp$在$\mathbb{F}_q[T]$，我们证明了一个结果，提供了一种方法，用于计算整数$m$与$0 \le m \le n$的Carlitz二项式系数$\binom{n}{m}_C$落入每个剩余类模$\wp$。我们的主要结果可以被看作是一个功能领域的模拟Garfield-Wilf定理。
2017-07-24 math.NT
Two binomial coefficient conjectures
关于素数的二项式系数我们知道得很多，但关于素数幂和复合数的知道得很少。本文在这方面给出了两个定理，一个是关于模16的二项式系数的计数，另一个是关于模n的二项式[n，2 p]的值。
2011-02-07 math.NT
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
2014-01-02 math.CO math.NT
Binomial Coefficients and the Distribution of the Primes
设Ω（n）是除n的不同素因子的个数，且m > n个自然数。我们计算出一个公式，该公式显示了哪些素数在哪些区间中整除给定的二项式系数。由该公式得到恒等式Ω（binom（nk）（i））=sum_i（pi（k/b（i））- pi（k/a（i）+ O（sqrt（k））. Erdoes提到omega（binom（nk）（nk））= log n^n/（m^m（n-m）^（n-m））k/log k + o（k/log k）。作为上述恒等式的一个应用，我们得出了关于素数分布的一些众所周知的事实，并对所有自然数k推出了一个表达式（也是众所周知的）log k = sum_i a_k（i），它推广了log 2 = sum_i^（infty）（-1）^（j+1）/j。
2007-09-28 math.NT
Linear recurrence relations for binomial coefficients modulo a prime
研究了当正整数k为固定值时，二项式系数序列\binom{k}{i}模素数p在有限范围0 \le i \le k中满足（正）次h的线性递归关系.特别地，我们证明了，如果2 h \le k<p-h，这不会发生。这个假设可以减弱为2 h \le k<p，如果我们假设，此外，关系的特征多项式没有-1作为根。我们应用我们的结果来恢复一个已知的有限域有限域上的费马曲线的点的数目的界限。
2005-11-16 math.NT
Binomial Symbols and Prime Moduli
我们试图改进印度数学奥林匹克竞赛中的一道题。我们简要概述了Saikia和Vogrinc（2011）以及Saikia和Vogrinc的工作，其中作者发现了一个周期序列及其周期的长度，所有这些都是从奥林匹克问题中得到的启发。本文的主要目标是改进Saikia和Vogrinc（2011）的主要结果。
2012-09-07 math.NT
Binomial coefficients, roots of unity and powers of prime numbers
设$t\in\mathbb{N}_+$已知。在这篇文章中，我们有兴趣在这些$d\in\mathbb{N}_+$的特点，使合同$$\frac{1}{t}\sum_{s=0}^{t-1}{n+dζ_t^s\choose d-1}\equiv {n\choose d-1}\pmod{d}$$是真正的每个$n\in\mathbb{Z}$。特别地，假设$d$有一个大于$t$的素因子，我们证明了上述同余对每个$n\in\mathbb{Z}$成立当且仅当$d=p^r$，其中$p$是一个大于$t$和$r\in\{1,\ldots ,t\}$的素数。
2022-03-07 math.NT
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
2014-01-08 math.CO math.NT
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
2009-12-20 math.NT
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
2011-09-22 math.NT
Factors of Alternating Sums of Products of Binomial and q-Binomial Coefficients
In this paper we study the factors of some alternating sums of products of binomial and q- binomial coefficients . We prove that for all positive integers n_1,...,n_m, n_{m+1} =n_1, and 0 \leq j \leq m-1, {n_1+ n_{m} \brack n_1}^{-1} \sum_{k=-n_1}^{n_1} (-1)^kq^{jk^2+{k \choose 2}} \prod_{i=1}^m {n_i+ n_{i+1} \brack n_i+k} \in \N [q], which generalizes a result of Calkin [Acta Arith. 86 (1998), 17--26]. Moreover, we show that for all positive integers n, r and j, {2n \brack n}^{-1}{2j \brack j} \sum_{k=j}^n (-1)^{n-k}q^{A} \frac{1-q^{2k+1}}{1-q^{n+k+1}} {2n \brack n-k}{k+j \brack k-j}^r \in N[…
2007-01-07 math.CO math.NT
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
2019-06-16 math.NT
Products of binomial coefficients and unreduced Farey fractions
本文研究了Pascal三角形第n行的二项式系数的乘积$\bar{G}_n$，它等于所有n阶约化Farey分数与未约化Farey分数乘积的倒数。它研究了它作为实数的大小（通过其对数$log(\bar{G}_n)$来衡量）以及它的素因子分解（通过被固定素数p整除的顺序来衡量），每个都被视为n的函数。它推导出三个公式的素数幂整除，$ord_p(\bar{G}_n)$，其中两个涉及到基地p基数扩展的n，并显示不同方面的行为。这些公式用于确定每个$ord_p(\bar{G}_n)$的最大增长率和这些函数的波动结构。它还为所有整数基$b$定义了类似的函数来替换素数基。最后一个主题涉及的因子分解的$\bar{G}_n$切比雪夫型素数计数估计和素数定理。
2015-09-15 math.NT
Nonexistence of permutation binomials of certain shapes
设x^m + c*x^n是GF（p）上的置换多项式，其中p>5是素数，m>n>0，c在GF（p）^* 中。我们证明了gcd（m-n，p-1）不是2或4。在（p-1）/2或（p-1）/4是素数的特殊情况下，这在Masuda，Panario和Wang最近的一篇论文中得到了证明。
2007-07-07 math.NT
Binomial sequences over prime fields
Universidade Estadual Paulista（圣保罗州立大学）
研究素数p上的p元二项式序列，证明其构成周期为p的幂的p元序列空间的基。
2026-06-25 math.CO math.NT
Wendt's determinant and finiteness of prime characteristics for permutation binomials
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本研究针对置换二项式，结合Wendt行列式，证明对固定参数，仅有限个素特征存在满足条件的置换二项式，确定了特定情形下的可允许特征及相关整除条件。
2026-10-14 math.NT
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
2009-11-05 math.NT
On a divisor of the central binomial coefficient
众所周知，对于所有$n\geq1$，数字$n+ 1$是中心二项式系数${2n\choose n}$的约数。由于$n$第n个中心二项式系数等于从$(0,0)$到$(n,n)$向北或向东单位步长的格路径的数量，因此自然的问题是是否存在将这些路径划分成$n+ 1$路径集合或$n+1$等数量路径集合的方法。Chung-Feller定理对这个问题给出了一个优雅的答案。我们提出并提供了一个类似的问题的答案$2n-1$，另一个因子的${2n\choose n}$。然后，我们表明我们的主要结果如下从一个更一般的观察二项式系数${n\choose k}$与$n$和$k$相对素数。讨论的情况下，$n$和$k$不是相对的素数也给出了，突出我们的方法的局限性。最后，我们来完整的循环，并给出一个新的解释加泰罗尼亚数字。
2021-04-09 math.CO math.NT
Two exercises of Comtet and two identities of Ruehr
一个问题提出的木村和证明鲁尔，木村和其他人在1980年指出，任何功能$f$连续$[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$一个有$$ \int_{-1/2}^{3/2} f(3x^2 - 2x^3) dx = 2 \int_0^1 f(3x^2 - 2x^3) dx. $$在他的证明鲁尔表明，没有明确的证明，这一身份，适用于$f(t) = t^n$，意味着两个身份涉及二项式和，即（更正印刷错误后）$$ \sum_{0 \leq j \leq n} 3^j {3n-j \choose 2n} = \sum_{0 \leq j \leq 2n} (-3)^j {3n-j \choose n} \ \ \mbox{and} \ \ \sum_{0 \leq j \leq n} 2^j {3n+1 \choose n-j} = \sum_{0 \leq j \leq 2n} (-4)^j {3n+1 \choose n+1+j}. $$使用两个身份在一本书中的孔泰我们提供了一个简单的明确的方式推导出这些身份从上述平等之间的积分。我们的推导表明了与不完全β函数、二项分布律、负二项分布律和一个引理的联系，该引理用于证明$(3x+1)$猜想的一个非常弱的形式。
2017-07-18 math.NT
Periodic minimum in the count of binomial coefficients not divisible by a prime
针对不被素数整除的二项式系数计数的周期函数最小值难以确定的问题，研究提出通用求解方法，解决了B. Wilson此前的相关猜想。
2024-08-13 cs.DM math.CO math.NT
On a conjecture of Graham on the p-divisibility of central binomial coefficients
我们证明，对于每个$r \geq 1$和所有$r$不同（足够大）的素数$p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无限多个整数$n$，使得${2n \choose n}$可被这些素数整除，仅具有低重数。从Kummer的定理，一个素数$p_j$可以整除${2n \choose n}$的次数的上限是$1+\log n / \log p_j$ ;我们的定理表明，对于每个$\varepsilon > 0$，$r \geq 1$和任何足够大的素数$p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，我们可以找到整数$n$，其中对于$j=1,...,r$，$p_j$整除${2n \choose n}$的重数至多为$\varepsilon \log n/\log p_j$。我们把这个结果与R. L. Graham关于是否存在无穷多个整数$n$使得${2n \choose n}$与$105$互质的问题。
2023-01-06 math.CO math.NT
A Note on Permutation Binomials and Trinomials over Finite Fields
设$p$为奇素数，$e$为正整数.本文完全解释了当$n=p^l+2$，其中$l\in \mathbb{N}$，在$\mathbb{F}_{p^e}$上的$D_{n,k}(1,x)$的逆Dickson多项式所产生的置换二项式和三项式.
2017-02-05 math.NT
The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields
设$q$是素数幂，$n$和$r$是正整数.众所周知，线性化二项式$L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$是置换多项式当且仅当$(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}}\neq 1$，其中$d=(n,r)$。在本文中，$L_r(x)$的组成逆显式确定时，这个条件成立。
2013-11-09 math.NT
Binomial coefficients involving infinite powers of primes
设p是素数，n是正整数，设v（n）表示p在n中的指数，u（n）=n/p^{v（n）}表示n的单位部分.如果k是不能被p整除的正整数，我们证明了（-1）^{pke} u（（kp^e）！）当e趋于无穷大时，是一个定义良好的p-adic整数，我们称之为z_k。在此基础上，我们给出了当e趋于无穷大时binom（a p^e +c，b p^e +d）的p进极限的公式，我们称之为binom（a p^ \infty +c，b p^ \infty +d）.这里a、\ge、b是正整数，c和d是整数。
2013-01-26 math.CO math.NT
Partial Factorizations of Products of Binomial Coefficients
设$G_n= \prod_{k=0}^n \binom{n}{k},$为帕斯卡三角形第$n$行元素的乘积。本文研究了$G_n$的部分因子分解，它由$G_n$的所有素因子$p$的乘积$G(n,x)$给出，且有$p \le x$，重数.对于为$0 \le α\le 1$定义的极限函数$f_{G}(α)$，它将$\log G(n, αn) \sim f_G(α)n^2$显示为$n \to \infty$。主要结果推导出从研究的功能$A(n, x), B(n,x),$，编码统计的基础$p$基数扩展的整数$n$（和更小的整数），其中基础$p$范围超过素数$p \le x$。利用带余项的素数定理或在黎曼假设的条件下导出了$A(n,x)$和$B(n,x)$的渐近性。
2020-10-05 math.NT
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
2009-09-30 math.CO math.NT
Infinitely Many Binomial Coefficients of Deficiency One
School of Mathematics and Statics, Shandong University（山东大学数学与统计学院）
本文通过构造性证明，证明了存在无穷多个亏度恰为1的好二项式系数，解决了 Erdős、Lacampagne 和 Selfridge 提出的相关问题。
2026-11-03 math.NT
Powers in prime bases and a problem on central binomial coefficients
Niels Bohr Institute, University of Copenhagen（哥本哈根大学尼尔斯玻尔研究所）；Department of Mathematics, University of Copenhagen（哥本哈根大学数学系）
研究素数底数下幂的表示特性，证明关于中心二项式系数的整除性问题的渐近密度为零。
2026-01-14 math.NT
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
Ljunggren--Jacobsthal and Bailey-Type Congruences for Rectangular Gaussian Binomial Coefficients
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）
本文针对模4余3的有理素数，研究矩形高斯二项式系数，证明其p-整性，建立Ljunggren--Jacobsthal型超同余式以解决Kalinin猜想的惰性素数情形，还给出矩形Bailey型模p同余式并完成相关证明。
2026-08-04 math.NT
Binomial predictors
对于素数p和非负整数n，k，考虑集合A_{n,k} ^{（p）}={x在[0，1，.，n]：p^k|| binom {n} {x}}。设n+1在基p中的展开式为：n+1= alpha_{0} p^v + alpha_{1} p^{nu-1}+.+ alpha_{nu}，其中0<= alpha_{i} <= p-1，i=0，.，努扎姆则数字n被称为以p为底的二项式预测器，如果|A_{n,k} ^{（p）}|= alpha_{k} p^{nu-k}，k= 0，1，.，努扎姆我们给出了一个完整的描述，二项式预测基p。
2009-07-31 math.NT
Lack of Divisibility of ${2N \choose N}$ by three fixed odd primes infinitely often, through the Extension of a Result by P. Erdős, et al
本文给出了一种方法来修正和推广P.Erdensys，R. Graham等人提出的一个猜想，并回答了R.格雷厄姆，它承担的缺乏整除的中心二项式系数由三个不同的，固定的奇素数。事实上，结果将表明，通过使用一种方法类似于他们自己的情况下，他们证明了两个固定的奇素数，即中央二项式系数是不整除无限往往由三个不同的和固定的奇素数。因此，推广到比三个更固定但数量有限的奇素数是可能的，至少如果人们能够找到一些充分条件的话。作者希望在随后的论文中回答后一个问题。
2010-10-15 math.NT
Binomial coefficients coprime to 6
Leoben University of Technology（莱奥本工业大学）
本文针对d含至少两个不同素因子时无有意义界的问题，首次给出与6互素的二项式系数数量的非平凡界，推进了例外集合规模的研究。
2026-08-11 math.CO math.NT
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
2021-12-06 math.CO math.NT
Permutation binomials over finite fields
证明了若x^m + c*x^n置换素域GF（p），其中m>n>0且c在GF（p）^* 中，则gcd（m-n，p-1）> sqrt{p} - 1.反之，若q>=4且m>n>0是固定的，且满足gcd（m-n，q-1）> 2 q *（log log q）/（log q），则GF（q）上存在形式为x^m + c*x^n的置换二项式当且仅当gcd（m，n，q-1）= 1.
2008-12-24 math.NT
Binomial exponential sums
我们得到了素数$p$与二项式$ax^k + bx^n$的指数和的新的界.特别地，对于$k=1$，我们将Karatsuba（1967）的结合从$O(n^{1/4} p^{3/4})$改进为任何$n$的$O\left(p^{3/4} + n^{1/3}p^{2/3}\right)$，然后使用它将Akulinichev（1965）的结合从$O(p^{5/6})$改进为$n | (p-1)$的$O(p^{4/5})$。这个结果是基于有限域上某些方程的解的个数和不可约分量的度的一个新的界。
2018-11-02 math.NT
Computing the Greatest Common Divisor of Binomial Coefficients $\binom{mn}{mk}$
IBM Research IBM T. J. Watson Research Center（IBM 研究院）
本文研究了二项式系数 $\binom{mn}{mk}$ 的最大公约数，给出了 $m=2$ 时该 GCD 的完整刻画，并展示了在特定条件下高效计算的方法。
2026-08-06 math.NT
On binomial coefficients modulo squares of primes
给出了Apagodu-Zeilberger-Stanton-Amdeberhan-Tauraso同余式$$\sum\limits_{n=0}^{p-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\mod p^{2},$$ $$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\dbinom{2n}{n} \equivη_{p}\sum\limits_{n=0}^{r-1}\dbinom {2n}{n}\mod p^{2}$$和$$\sum\limits_{n=0}^{rp-1}\sum\limits_{m=0}^{sp-1}\dbinom{n+m}{m}^{2} \equivη_{p} \sum\limits_{m=0}^{r-1}\sum\limits_{n=0}^{s-1}\dbinom{n+m}{m}^2\mod p^2,$$的初等证明，其中$p$是奇素数，$r$和$s$非负整数，$η_{p}= \begin{cases} 0, &\text{if }p\equiv0\mod 3;\\ 1, & \text{if }p\equiv1\mod 3;\\ -1, &\text{if }p\equiv2\mod 3 \end{cases}.$
2018-10-08 math.CO math.NT
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
2021-10-20 math.NT
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients
我们提出了高阶推广的Jacobsthal的$p$ -进近似的二项式系数。我们的研究结果意味着明确的公式的线性组合的二项式系数$\binom{ip}{p}$（$i=1,2,\dots$），可整除的素数$p$的任意大的权力。
2018-08-30 math.CO math.NT
Sums of binomial coefficients modulo $p$ and groups of exponent $p^n$
本文利用矩阵方法证明模素数 $p$ 的二项式系数和同余方程，并据此构造指数为 $p^n$ 的群，从而说明 $p=2$ 在 Heisenberg 群相关问题上并非真正例外。
2024-08-31 math.GR math.NT
Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)
1878年，Lucas证明了一个显著的结果，它提供了一种简单的方法来计算二项式系数${n\choose m}$模一个素数$p$，根据$n$和$m$的基$p$数字的二项式系数：{ \it如果$p$是素数，$n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$和$m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$是非负整数$n$和$m$的$p$ -进展开式，则\begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*} }上述同余式，所谓的{ \it Lucas' theorem}（或{ \it Theorem of Lucas}）在数论和组合数学中起着重要的作用。本文共分六节，主要介绍了Lucas型同余的历史，Lucas模素幂定理的推广，广义二项式系数的Lucas类定理及其应用。在第一节中，我们介绍了模素数的基本同余，包括著名的卢卡斯定理。在第2节中，我们提到几个已知的证明和一些后果卢卡斯定理。在第3节中，我们提出了一些扩展和变化的卢卡斯定理模素数的权力。在第4节中，我们考虑卢卡斯性质和双重卢卡斯性质的概念，其中我们也提出了许多整数序列满足这些性质之一或某一卢卡斯型同余。在第五节中，我们收集了几个已知的关于广义二项式系数的Lucas型同余。特别地，这涉及Fi…
2014-09-06 math.NT
For which p-adic integers x can Sum_k binomial(x,k)^(-1) be defined?
设f（n）= Sum binomial（n，k）^（-1）.首先，我们证明了f：N到Q_p在p-adic拓扑中无处连续。如果x是p进整数，我们说f（x）是p可定义的，如果lim f（x_j）存在于Q_p中，其中x_j表示x的第j个部分和。我们证明了f（-1）对所有素数p都是p-可定义的，并且如果p是奇数，则-1是Z_p-N中唯一一个f（x）是p-可定义的元素。对于p=2，我们证明了如果k是正整数，则f（-k-1）不是2-可定义的，但是如果x的二进制展开式中的1最终非常稀疏，则f（x）是2-可定义的。我们的一些证明要求p满足两个条件之一。有三个小素数不满足相关条件，但我们的定理可以直接证明这些素数。任何小于小于100，000，000的素数都不满足条件。
2012-08-01 math.CO math.NT
Congruences for Wolstenholme primes
一个素数$p$称为Wolstenholme素数，如果它满足同余式${2p-1\choose p-1} \equiv 1 \,\,(\bmod{\,\,p^4})$。对于这样一个素数$p$，我们建立了${2p-1\choose p-1}\,\,(\bmod{\,\,p^8})$的表达式，该表达式用和$R_i:=\sum_{k=1}^{p-1}1/k^i$（$i=1,2,3,4,5,6)$）给出。此外，该同余式中的表达式根据和$R_i$（$i=1,3,4,5$）来简化。利用这个同余，我们证明了对任何Wolstenholme素数，$$ {2p-1\choose p-1}\equiv 1 -2p \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} -2p^2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\pmod{p^7}. $$.此外，利用作者\cite{Me}最近的一个结果，我们证明了上述同余蕴含一个素数$p$必然是Wolstenholme素数.应用Helou和Terjanian \cite{HT}的技巧，给出了上述同余式的包含Bernoulli数的表达式.
2011-08-21 math.NT
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
2010-01-31 math.CO math.NT
Structured Solutions of Prime-Base Binomial Congruences
Universidade Federal Rural de Pernambuco（伯南布哥联邦农村大学）
研究素数基 q 下二项式同余式 C(qn, n) ≡ q^n (mod n) 的解结构，将解 n = q^t p 转化为模 p 同余和数字和不等式两个独立条件，并用于生成新解及证明平方解与 Wieferich 素数等价。
2026-06-29 math.CO math.NT
Proof of a congruence on sums of powers of $q$-binomial coefficients
我们证明了，如果$m,n\geqslant 1$和$a_1,\ldots,a_m$是非负整数，那么\begin{align*} \frac{[a_1+\cdots+a_m+1]!}{[a_1]!\ldots[a_m]!}\sum^{n-1}_{h=0}q^h\prod_{i=1}^m{h\brack a_i} \equiv 0\pmod{[n]}, \end{align*}，其中$[n]=\frac{1-q^n}{1-q}$，$[n]!=[n][n-1]\cdots[1]$，和${a\brack b}=\prod_{k=1}^b\frac{1-q^{a-k+1}}{1-q^k}$。$a_1=\cdots=a_m$的案例证实了Z. W.太阳我们还证明了，如果$p>\max\{a,b\}$是素数，则\begin{align*} \frac{[a+b+1]!}{[a]![b]!}\sum_{h=0}^{p-1}q^h{h\brack a}{h\brack b} \equiv (-1)^{a-b} q^{ab-{a\choose 2}-{b\choose 2}}[p]\pmod{[p]^2}. \end{align*}
2015-04-20 math.CO math.NT
Variations of Lucas' Theorem Modulo Prime Powers
令$p$为素数，且令$k,n,m,n_0$和$m_0$为非负整数，使得$k\ge 1$，且$_0$和$m_0$均小于$p$。K. Davis和W.韦伯建立了一个总理$p\ge 5$以下变化卢卡斯定理模素数权力持有$$ {np^k +n_0 \choose mp^k+m_0}\equiv{np^{\lfloor(k-1)/3\rfloor} \choose mp^{\lfloor(k-1)/3\rfloor}} {n_0 \choose m_0} \pmod{p^k}. $$在证明中，作者使用他们的早期结果，提出了一个广义版本的卢卡斯定理。本文给出了上述同余式的一个简单的归纳证明.我们的证明是基于一个经典的同余由于Jacobsthal，我们还使用了一些众所周知的身份二项式系数。此外，我们证明，断言也是正确的$p=2$和$p=3$，如果在上述同余之一取代$\lfloor(k-1)/3\rfloor$由$\lfloor k/2\rfloor$，和由$\lfloor (k-1)/2\rfloor$，分别。作为应用，利用Lucas型同余，我们得到了Wolstenholme素数的一个新刻画.
2012-12-29 math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
An explicit generating function arising in counting binomial coefficients divisible by powers of primes
对于素数$p$和非负整数$j$和$n$，令$\vartheta_p(j,n)$是帕斯卡三角形的第$n$行中可被$p^j$整除的条目数。此外，对于$\{0,\ldots,p-1\}$中的有限序列$w=(w_{r-1}\cdots w_0)\neq (0,\ldots,0)$，我们用$\lvert n\rvert_w$表示$w$作为$n$的基- $p$扩展$n=(n_{μ-1}\cdots n_0)_p$的因子（连续子序列）出现的次数.从Barat和Grabner的工作（二项式系数的数字函数和分布，J. London Math. Soc.（2）64（3），2001）得出，$\vartheta_p(j,n)/\vartheta_p(0,n)$由变量$X_w$中的多项式$P_j$给出，其中$w$是$\{0,\ldots,p-1\}$中的某些有限字，并且每个变量$X_w$被设置为$\lvert n\rvert_w$。这后来由Rowland（The number of nonzero二项式系数modulo $p^α$，J. Comb. Number Theory 3（1），2011）明确表示，独立于Barat和Grabner的工作，并且Rowland描述并实现了计算这些多项式$P_j$的算法。本文用生成函数表示$P_j$的系数，并证明了这些生成函数可以通过递推关系显式确定。此外，我们证明了$P…
2017-11-08 math.CO math.NT
