AI 中文总结
本文给出具有形如 $p_{r^a s^b}$ 的素数因子的整数的渐近计数公式，误差为 $o(1)$，并解决了 $(2,3)$ 情形下序数编码的计数问题。
AI 中文摘要
设 $p_n$ 为第 $n$ 个素数，并设 $r,s\ge2$ 为固定的乘法独立整数。我们计数不超过 $x$ 的整数，其所有素数因子均具有 $p_{r^a s^b}$ 的形式，其中 $a,b\ge0$ 为整数。我们对该计数的渐近公式具有相对误差 $o(1)$，并且精确到乘法常数。对于 $(r,s)=(2,3)$，这些整数是低于 $\omega^{\omega^2}$ 的序数的素数编码，因此该公式解决了 Vernaeve、Vindas 和 Weiermann 的计数问题的该情形。
英文摘要
Let $p_n$ be the $n$th prime, and let $r,s\ge2$ be fixed multiplicatively independent integers. We count the integers up to $x$ whose prime factors all have the form $p_{r^a s^b}$ with integers $a,b\ge0$. Our asymptotic formula for this count has relative error $o(1)$ and is explicit down to the multiplicative constant. For $(r,s)=(2,3)$ these integers are the prime codes of the ordinals below $ω^{ω^2}$, so the formula settles that case of the counting problem of Vernaeve, Vindas and Weiermann.
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