正则三元三角形

旋量正则三元二次型表的完备性

Completeness of the list of spinor regular ternary quadratic forms

扩展了Dickson在1939年引入的正则性概念，一个正定三元整二次型被称为旋量正则的，如果它表示由它的旋量亏格表示的所有正整数（即，由它的旋量亏格中的任何形式表示的所有正整数）。贾吉进行了广泛的计算机搜索原始三元二次型是旋量定期，但不定期，导致在29个这样的形式。在本文中，我们将证明，没有额外的形式与此性质。

正三次多边形

Regular ternary polygonal forms

受Dickson对正则三元二次型分类的启发，我们证明了当$m$充分大时，不存在本原正则$m$ -二次型.为了做到这一点，我们构建序列的素数是惰性的在一定的二次域，并表明他们满足一定的不等式约束下一个素数的产品，以前的素数，一个问题的独立利益。

正三元二次多项式表示整数

The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials

一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。

整数三元二次型表示平方的个数（II）

The number of representations of squares by integral ternary quadratic forms (II)

设$f$是正定三元二次型.我们假设$f$是非经典积分，即$f$的范数理想是$\z$ .我们说$f$是{ \it强$s$ -正则}，如果整数平方的$f$表示的个数满足Cooper和Lam猜想在\cite {cl}中的条件。在这篇文章中，我们证明了只有1000个强$s$ -正则三元形式等价，如果由该形式表示的非零平方的最小值是固定的。特别地，我们证明了存在恰好$207$非经典积分强$s$ -正则三元形式表示一（见表1和表2）。这一结果可以看作是对Cooper和Lam猜想的一个自然扩张的完整回答。

表示相同整数的三元二次型

Ternary quadratic forms representing same integers

在1997年，Kaplansky证明了如果两个正定的整数系数三元二次型有完全相同的整表示，那么它们是等距的，都是正则的，或者包括两个三元二次型族中的任何一个。本文证明了不属于Kaplansky表中的表示相同整数的三元二次型对的存在性。

关于三元弱正则Bent函数的两个定理的证明

Proofs of two conjectures on ternary weakly regular bent functions

本文研究了$f(x)=\Tr_n(ax^d)$形式的三元单项函数，其中$x\in \Ff_{3^n}$和$\Tr_n: \Ff_{3^n}\to \Ff_3$是绝对迹函数。利用侯\cite{hou}的引理、Stickelberger关于高斯和的定理以及某些三元权不等式，证明了由\cite{hk1}产生的某些三元单项式函数是弱正则弯曲的，从而解决了Helleseth和Kholosha \cite{hk1}的一个猜想.我们还证明了Coulter-Matthews Bent函数是弱正则的。

Regular triangular forms of rank exceeding 3

A triangular form is defined to be an integer-valued quadratic polynomial of the form $a_1P_3(x_1)+a_2P_3(x_2)+\cdots+a_kP_3(x_k)$ where $a_i's$ are positive integers and $P_3(x)=x(x+1)/2$. A triangular form is called regular if it represents all positive integers which are locally represented. In this article, we find all regular triangular forms of more than three variables.

环Z上具有相同表示的三元正定二次型

On ternary positive-definite quadratic forms with the same representations over Z

Kaplansky指出，如果两个正定实三元二次型在$\mathbb{Z}$上有完全相同的表示，则它们是正则型的常数倍数，或者被包含在由$\mathbb{R}^2$参数化的两个族（所谓的六边形族和菱形族）中。我们的研究结果的目的是澄清这样一对计算和理论方法的限制。首先，给出了对这类整二次型对的穷举搜索结果，为Kaplansky猜想提供了一个具体的版本.所获得的列表包含少量的非正则形式，这些形式被确认具有多达3，000，000的相同表示，尽管仍然观察到对这种对的存在的强烈限制，无论系数字段是$\mathbb{Q}$还是$\mathbb{R}$。其次，证明了在$\mathbb{Q}$上，如果两对三元二次型同时具有相同的表示，则它们的常数倍数在$\mathbb{Q}$上是等价的.这是因为有人问为什么在搜索中没有发现其他家庭。在证明中，Bhargava对四次环及其预解式环的参数化被用来讨论三元二次型对。

Distribution of certain $\ell$-regular partitions and triangular numbers

Let $pod_{\ell}(n)$ be the number of $\ell$-regular partitions of $n$ with distinct odd parts. In this article, prove that for any positive integer $k$, the set of non-negative integers $n$ for which $pod_{\ell}(n)\equiv 0 \pmod{p^{k}}$ has density one under certain conditions on $\ell$ and $p$. For $p \in \{3,5,7\}$, we also exhibit multiplicative identities for $pod_{p}(n)$ modulo $p.$

Inequalities for inert primes and their applications

For any given non-square integer $ D\equiv 0,1 \pmod{4} $, we prove Euclid's type inequalities for the sequence $ \{q_{i}\} $ of all primes satisfying the Kronecker symbol $ (D/q_{i})=-1 $, $ i=1,2,\cdots, $ and give a new criterion on a ternary quadratic form to be irregular as an application, which simplifies Dickson and Jones's argument in the classification of regular ternary quadratic forms to some extent.

关于三角数的若干 $D(u^2)$-三元组和四元组

On some $D(u^2)$-triples and quadruples of triangular numbers

本文分类了最小元素为 $T_{4u-1}$ 或 $T_{4u}$ 的 $D(u^2)$-三角数三元组，研究其正则性，并证明无限多个 $u$ 存在全三角 $D(u^2)$-四元组，且 $T_{16k^2-1}$ 属于无限多个此类四元组。

The rank of new regular quadratic forms

A (positive definite and integral) quadratic form $f$ is called regular if it represents all integers that are locally represented. It is known that there are only finitely many regular ternary quadratic forms up to isometry. However, there are infinitely many equivalence classes of regular quadratic forms of rank $n$ for any integer $n$ greater than or equal to $4$. A regular quadratic form $f$ is called new if there does not exist a proper subform $g$ of $f$ such that the set of integers that are represented by $g$ is equal to the set of integers that are represented by $f$. In this article,…