$\ell$-adic properties and congruences of $\ell$-regular partition functions
本文通过构造编码 ℓ-正则分拆 ℓ-adic 行为的模形式序列，证明其与级 1 模形式的同余关系，并利用相关模的秩的一致上界导出 ℓ-正则分拆值之间的 ℓ-adic 关系。
2024-08-08 math.NT
Congruences for a class of eta-quotients and their applications
配分函数$ p_{[1^c\ell^d]}(n)$可以用生成函数\[\sum_{n=0}^{\infty}p_{[1^c{\ell}^d]}(n)q^n=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(1-q^n)^c(1-q^{\ell n})^d}.\]来定义。在\cite{P}中，我们证明了$\ell=11$的配分函数的无穷族同余。在本文中，我们扩展的想法，我们已经使用的\cite{P}证明无穷族的同余的配分函数$p_{[1^c\ell^d]}(n)$模幂的$\ell$的任何整数$c$和$d$，素数$5\leq \ell\leq 17$。这推广了Atkin，Gordon和Hughes关于配分函数幂的同余式。证明使用一个明确的基础上的同余子群$Γ_0(\ell)$的模函数的向量空间。最后利用这些同余证明了$\ell=5,7,11,13$和$17$的广义Frobenius $\ell$ -色划分、$\ell-$正则划分和$\ell-$核划分的同余和不同余.
2020-11-16 math.NT
Partitions Associated to Class Groups of Imaginary Quadratic Number Fields
研究了整数的可达划分的性质，其中$n$的一个划分$(n_1,n_2, \dots, n_r)$是可达的，如果$\sum (3-2i)n_i\geq 0$ .推测，根据扩展的科恩和Lenstra的物理学Holmin等。例如，这些划分对应于阿贝尔$p$群，其表现为无穷多个奇素数$p$的虚二次数域的类群。我们展示了一个连接到分区的整数成三角形数，构造一个生成函数可达到的分区，并确定可达到的分区的最大长度。
2021-11-23 math.NT
Congruences for powers of the partition function
令$p_{-t}(n)$表示$n$划分为$t$颜色的分区数。类似于Ramanujan的工作的分拆函数，林最近证明了在\cite{Lin}，$p_{-3}(11n+7)\equiv0\pmod{11}$的每一个整数$n$。这种形式为$p_{-t}(\ell n + a) \equiv 0 \pmod {\ell}$的同余式，以前曾由Kiming和Olsson研究过。如果$\ell \geq 5$是素数且$-t \not \in \{\ell - 1, \ell -3\}$，则这样的同余满足$24a \equiv -t \pmod {\ell}$。受Lin例子的启发，我们得到了这样的同余的自然无穷族。如果$\ell\equiv2\pmod{3}$（分别$\ell\equiv3\pmod{4}$和$\ell\equiv11\pmod{12}$）是素数，而$r\in\{4,8,14\}$（分别为$r\in\{6,10\}$和$r=26$），则对于$t=\ell s-r$，其中$s\geq0$，我们有那个\begin{equation*} p_{-t}\left(\ell n+\frac{r(\ell^2-1)}{24}-\ell\Big\lfloor\frac{r(\ell^2-1)}{24\ell}\Big\rfloor\right)\equiv0\pmod{\ell}. \end{eq…
2016-04-26 math.NT
Congruence relations for r-colored partitions
设$\ell \geq 5$是素数。对于配分函数$p(n)$和$5 \leq \ell \leq 31$，Atkin发现了一些素数$Q \geq 5$的例子，使得存在形式为$p(\ell Q^{3} n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}.$的同余。最近，Ahlgren，Allen和Tang证明了对于每个$\ell$都有无穷多个这样的同余。在本文中，对于广泛的$c \in \mathbb{F}_{\ell}$，我们证明了形式$p(\ell Q^{3} n+β_{0}) \equiv c \cdot p(\ell Q n+β_{1}) \pmod{\ell}$的同余无穷多个素数$Q$。对于正整数$r$，令$p_{r}(n)$为$r$着色配分函数.我们的方法产生类似的同余$p_{r}(n)$。特别地，如果$r$是一个奇正整数，其中$\ell > 5r+19$和$2^{r+2} \not \equiv 2^{\pm 1} \pmod{\ell}$，那么我们表明，有无穷多个同余式的形式$p_{r}(\ell Q^{3}n+β) \equiv 0 \pmod{\ell}$。我们的方法涉及模块化伽罗瓦表示理论。
2022-06-11 math.NT
Theta-type congruences for colored partitions
研究了所有$n$的$p_r(\ell m n + t) \equiv 0 \pmod{\ell}$形式的同余关系，其中$p_r(n)$是$n$的$r$着色划分的个数，$m,\ell$是不同素数.
2022-06-23 math.NT
Inequalities and asymptotics for hook lengths in $\ell$-regular partitions and $\ell$-distinct partitions
本文通过推导ℓ-正则分拆与ℓ-互异分拆中钩长为1、2、3的钩的总数的渐近公式，建立了这两类分拆之间及其内部的钩长不等式，并证明相应钩数比值趋于依赖ℓ和t的常数。
2025-04-13 math.CO math.NT
On the Maximum Number of k-Hooks of Partitions of n
令$α_k(λ)$表示分区$λ$中的$k$钩子的数量，并令$b(n,k)$是$n$的分区中的$α_k(λ)$的最大值. Amdeberhan对$b(n,1)$的生成函数提出了一个猜想。我们给出了这个猜想的一个证明。一般来说，我们得到一个公式，可以用来确定$b(n,k)$。这就导出了$b(n,k)$的母函数公式。我们引入了近$k$ -三角剖分的概念。我们发现，对于任何$n$，有一个近$k$三角分区，可以转换成一个分区的$n$，达到最大数量的$k$挂钩。转换的操作使我们能够计算数字$b(n,k)$。
2012-12-14 math.CO math.NT
Rademacher-type exact formula and higher order Turán inequalities for $r$-colored $\ell$-regular partitions
Indian Institute of Technology Indore（印度印多尔理工学院）
本文利用圆法建立了 $r$-色 $\ell$-正则分拆的 Rademacher 型精确公式，并据此推导出相应分拆函数的高阶 Turán 不等式，同时推广到不同部分分拆和最小排除数之和等情形。
2025-11-08 math.NT
Distribution of Coefficients of Modular Forms and the Partition Function
设$\ell\ge5$为奇素数，$j, s$为正整数.本文研究了模奇正整数$M$的整权和半整权模形式的系数分布。作为结果，我们证明了对于每个整数$1\le r\le\ell^j$，$$\sharp\{1\le n\le X\ |\ p(n)\equiv r\pmod{\ell^j}\}\gg_{s,r,\ell^j}\frac{\sqrt X}{\log X}(\log\log X)^s.$$
2011-04-12 math.NT
Congruences in fractional partition functions
生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数产生用于$α\in \mathbb{Q}$的$p_α(n)$。特别地，当$α= -1$时，获得配分函数。最近，Chan和Wang发现并证明了$p_{\frac{a}{b}}(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$形式的同余式，其中$\ell$是素数，使得$\ell \mid a -db$ for $d \in \{4, 6, 8, 10, 14, 26\}$ .扩展他们的工作，我们使用的权力的Dedekind-eta函数的Hecke本征形和他们的空缺的线性和的表示，以提高功率的模数更高的权力的$\ell$。此外，我们还利用Hecke代数生成了当$d=2$时的同余.
2021-03-13 math.NT
Eta-quotients and divisibility of certain partition functions by powers of primes
Andrews的$(k, i)$ -奇异过分区函数$\overline{C}_{k, i}(n)$计算$n$的过分区的数量，其中没有部分可被$k$整除，并且只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可以被上划线。近来，对于$\ell$的某些值，研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被$2$和$3$整除的可能性。本文研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被素数$p\geq 5$整除的问题。对所有正整数$\ell$和$\ell$的素因子$p\geq 5$，证明了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$，$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$几乎都能被$p$的任意幂整除.对于$s\in \{3, 4, 6\}$，我们接下来证明了那些$n$的集合，其中$\overline{C}_{s\cdot\ell, \ell}(n) \not\equiv 0\pmod{p_…
2021-07-12 math.NT
Congruences of the partition function
令$p(n)$表示分拆函数。在这篇文章中，我们将证明$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m \text{for all} n\ge 0 $$形式的同余对于满足$m\ge 13$和$\ell\neq 2,3,m$的所有素数$m$和$\ell$都存在。这里的整数$k$取决于$S_{m/2-1}(Γ_0(576),χ_{12})$的某个不变子空间的Hecke特征值，并且可以显式计算。更一般地，我们将证明对于每个整数$i>0$，存在整数$k$，使得对于具有适当选择的$B$的每个非负整数$j\ge i$，同余$$ p(m^j\ell^kn+B)\equiv 0\mod m^i $$对于不能被$\ell$整除的所有整数$n$成立。
2009-04-16 math.NT
A note on odd partition numbers
本文针对素数 $\ell\geq 5$，利用第二作者与 Ramsey 推广的 Mazur 结果及改进的 Sturm 准则，给出存在无穷多个 $m$ 使 $p(\ell m+δ_{\ell})$ 为奇数的新证明，并将最小 $m$ 的界改进至 $m<(\ell^2-1)/24$。
2024-03-16 math.NT
Congruences like Atkin's for the partition function
设$p(n)$为普通的分拆函数。在20世纪60年代，阿特金发现了一些形式为$p( Q^3 \ell n+β)\equiv0\pmod\ell$的同余式的例子，其中$\ell$和$Q$是素数，而$5\leq \ell\leq 31$是素数;这些都属于两个自然家族，由$1-24β\pmod\ell$的平方类区分开来。近几十年来，人们做了大量的工作来理解$p(Q^m\ell n+β)\equiv 0\pmod\ell$形式的同余。现在知道，当$m\geq 4$时，有许多这样的同余，当$m=1, 2$时，这样的同余是稀少的（如果它们存在的话），而对于$m=0$，这样的同余只存在于当$\ell=5, 7, 11$时。对于像阿特金的同余（当$m=3$），更多的例子已经发现了$5\leq \ell\leq 31$，但很少有人知道。在这里，我们使用的理论模块伽罗瓦表示证明，每一个总理$\ell\geq 5$，有无限多的同余像阿特金的第一个自然家庭，他发现，并至少为$17/24$的总理$\ell$有无限多的同余在第二个家庭。
2022-07-18 math.NT
Arithmetic properties of the $\ell$-regular partitions
对于给定的素数$p$，我们分别研究了Ramanujan θ函数$ψ(q)$和$f(-q)$的$p$剖分恒等式的性质.作为应用，我们发现了一些$\ell$ -正则分拆函数，特别是$\ell=2,4,5,8,13,16$的模2同余的无穷族。此外，在Ramanujan给出的$p(n)$的经典同余式的基础上，我们得到了更多的$\ell$ -正则分拆函数的同余式.
2013-02-15 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for $\ell$-Regular Partitions Modulo $3, 5, 11$ and $13$
令$b_\ell(n)$为$n$的$\ell$ -正则划分的数目。最近，Hou等人建立了$b_\ell(n)$模$m$的几个无穷同余族，其中$(\ell,m)=(3,3),(6,3),(5,5),(10,5)$和$(7,7)$ .本文利用Hou等人给出的消失性质，证明了$b_{11}(n)$模$11$的无穷同余族.此外，对于$\ell= 3, 13$和$25$，我们利用Hecke特征形理论得到了$b_{\ell}(n)$模$3, 5$和$13$的三个无穷族同余.
2015-09-25 math.CO math.NT
On $\ell-$regular and $2-$color partition triples modulo powers of $3$
本文针对ℓ≥1且满足特定模3幂条件的ℓ，证明了ℓ-正则分拆三元组计数$T_\u2113(n)$和特定2-色分拆三元组计数$p_{\u2113,3}(n)$模3的幂的若干无限族同余式。
2025-04-18 math.CO math.NT
Divisibility of certain $\ell$-regular partitions by $2$
对于正整数$\ell$，令$b_{\ell}(n)$表示非负整数$n$的$\ell$ -正则划分的数目。受Keith和Zanello最近一些理论的启发，我们建立了$b_3(n)$和$b_{21}(n)$的模$2$同余的无穷族.我们证明了Keith和Zanello关于$b_3(n)$模$2$的自相似性猜想的一个特例.接下来我们证明了序列$\sum_{n=0}^{\infty}b_9(2n+1)q^n$是缺模的任意幂的$2$。证明了级数$\sum_{n=0}^{\infty}b_9(4n)q^n$是缺模$2$ .
2021-10-27 math.CO math.NT
Arithmetic properties of $(\ell,m)$-regular colored partitions
该研究针对不含$\ell$或$m$倍数部分的$k$着色分拆数$b^{k}_{\ell,m}(n)$，建立了若干同余关系，并给出了如$b^{2}_{4,5}(8n+7)\equiv0\pmod{40}$的具体实例，丰富了分拆函数的算术性质研究。
2025-05-18 math.CO math.NT
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
2021-03-30 math.CO math.NT
The Partition-Frequency Enumeration Matrix
The Caravan；Ashoka University（阿肖卡大学）
本文提出分区-频率枚举矩阵，通过无限上三角数论矩阵提供初等方法，统一数论函数与分区函数关系，并恢复扩展多个经典结果，如除数函数和拉马努金τ函数的递推关系。
2026-01-30 math.CO math.NT
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
2019-07-15 math.CO math.NT
Extending recent work of Nath, Saikia, and Sarma on $k$-tuple $\ell$-regular partitions
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学杜鲁斯分校）
本文验证了Nath等人关于T_{2,3}(n)模6无限个同余的猜想，并通过q级数技术证明了更一般的结果，同时给出了新的关于T_{ℓ,k}(n)的同余族。
2025-03-16 math.CO math.NT
Counting partitions inside a rectangle
我们考虑$n$的分区的数量，其Young图适合$m \times \ell$矩形内;等价地，我们研究$q$ -二项式系数$\binom{m+\ell}{m}_q$的系数。我们在整个方案$\ell = Θ(m)$和$n = Θ(m^2)$中获得了尖锐的渐近性。以前，Takács只在$|n - \ell m /2| = O(\sqrt{\ell m (\ell + m)})$使用局部中心极限定理的情况下才推导出尖锐的渐近性。我们的方法是解决一个相关的大偏差问题：我们描述的倾斜措施，产生的配置，其边界矩形具有给定的纵横比，并填充到给定的比例。我们的结果是足够尖锐的，以产生第一次渐近估计的连续差异，这些数字时，$n$增加1和$m, \ell$保持不变，因此显着细化西尔维斯特的单峰定理。
2019-02-04 math.CO math.NT math.PR
