On the representation of integers by binary forms
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d$的二进制形式，其中$d$至少为$3$。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。证明了存在正数$C_F$使得$R_F(Z)$渐近于$C_F Z^{\frac{2}{d}}$ .
2018-03-23 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms
本文把分圆形式取值整数个数的既有结论推广到一般整系数二元形式族，核心是给出次数大于3的不同构二元形式公共值集合基数的渐近上界，并以典型例子验证应用。
2023-06-04 math.NT
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
2015-08-14 math.NT
Integers represented by binary recursive sequences
本文研究满足二元递归关系的整数序列所表示的整数，针对非退化序列，仅用两个初始值给出零项最高指标与项绝对值增长阶的界，部分界在常数因子意义下最优。
2024-08-09 math.NT
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
2011-05-23 math.NT
Sparse Distribution of Coefficients of $\ell$-fold Product $L$-functions at Integers Represented by Quadratic Forms
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文研究了ℓ折乘L函数在由二次型表示的整数上的稀疏分布系数，建立了系数累加函数的上界，并探讨了首次符号变化的界。
2026-01-22 math.NT
Representation of integers by cyclotomic binary forms
与分圆多项式$ϕ_n(X)$相关的$φ(n)$次数的齐次形式$Φ_n(X,Y)$被称为{ \it分圆二元形式}。一个正整数$m\ge 1$被称为{ \it可由分圆二进制形式表示}，如果存在整数$n,x,y$与$n\ge 3$和$\max\{|x|, |y|\}\ge 2$使得$Φ_n(x,y)=m$。我们证明了$m$的这种表示的分圆二进制形式的数量$a_m$是有限的。更确切地说，我们有$\,φ(n) \le ({2}/ {\log 3})\log m\, $和$\, \max\{|x|,|y|\} \le ({2}/{\sqrt{3}})\, m^{1/φ(n)}.\,$我们给出了一个描述的渐近基数的一组值所采取的形式为$n\geq 3$。这将意味着整数集合$m$使得$a_m\neq 0$具有自然密度0。我们将推导出$a_m$的非零值中的整数$a_m$的平均值像$\sqrt{\log \, m}$一样增长。
2017-12-25 math.NT
On the Representation of Integers by Binary Forms Defined by Means of the Relation $(x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d \geq 3$的二进制形式。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。在2019年，Stewart和Xiao证明了$R_F(Z) \sim C_FZ^{2/d}$对于某个正数$C_F$。我们计算$C_{R_n}$和$C_{J_n}$的二进制形式$R_n(x, y)$和$J_n(x, y)$定义的关系$ (x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$，其中变量$x$和$y$是真实的。
2022-03-06 math.NT
The binary method of integer decomposition
本文提出了一种整数分解方法。该方法首先将一个整数写为一个多项式，以2为变量，其系数为0或1。然后，假设一个整数被分解为两个多项式的乘积，它们的阶数大于1。通过比较两边的系数，得到一个多元二次方程组。因此，整数分解问题转化为求解一个多元二次方程组的问题。该方法将整数分解问题转化为求解变量个数不超过被分解数的以2为底的对数的线性方程组。该方法的优点是直接，无需任何猜测，这是传统方法所不具备的。
2020-12-14 math.NT
Completely $p$-primitive binary quadratic forms
令$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$为具有整数系数的二元二次型。对于一个素数$p$不除$f$的判别式，我们说$f$是完全$p$ -本原的，如果对于任何非零整数$N$，丢番图方程$f(x,y)=N$总是有一个整数解$(x,y)=(m,n)$，只要它有一个整数解，就有$(m,n,p)=1$。本文研究了完全$p$ -本原二元二次型的各种性质.特别地，我们给出了二元二次型$f$是完全$p$ -本原的一个充要条件。
2017-09-07 math.NT
Average estimates and sign change of Fourier coefficients of cusp forms at integers represented by binary quadratic form of fixed discriminant
在这篇文章中，我们建立了一个平均行为的归一化傅里叶系数的Hecke本征形支持在整数表示的任何原始整数正定二元二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$。我们还获得了一个定量的结果的序列的归一化的傅里叶系数$λ_{f}(n)$的Hecke本征形式$f$的$n$是由任何原始的整数正定二进制二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$在间隔$(x,2x]$，足够大的$x$的符号变化的数量。
2022-04-18 math.NT
Almost all binary forms of degree $\geq 3$ fail to represent a fixed integer
该研究证明，次数≥3的整系数二元型中，能表示固定非零整数的比例随高度趋于无穷而趋近于零，核心方法为格点计数与几何分析，结果对不可约形式也成立。
2026-08-28 math.NT
Large sieve with sparse sets of moduli for $\mathbb{Z}[i]$
本文建立了一个广义的大筛不等式，其中高斯整数的模的稀疏集$\mathcal{S}$在等差数列中是在某种意义下均匀分布的.这扩展了S. Baier关于具有稀疏模集的大筛子。然后，我们使用这个结果，以获得大筛界的情况下，当$\mathcal{S}$由高斯整数和高斯素数的平方。我们的平方模的情况下的界改进了作者最近的结果。
2020-03-10 math.NT
Binary Additive Problems Involving Naturals with Binary Decompositions of a Special Kind
令$h$和$l$是整数，使得$0\le h\le 2$，$0\le l\le 4$。我们得到了方程$n-3m=h$，$n-5m=l$在正整数中的解的个数的渐近公式$m$和特殊类型的$n$，$m\le X$ .
2008-05-26 math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Polynomial
整数的二进制符号数字表示用于各种设置中的高效计算。Stern多项式是Stern双原子序列的一个多项式扩展，它本身已经被深入研究。在本文中，我们展示了BSD表示和斯特恩多项式之间以前未知的连接。我们推导出一个权重分布定理$i$位BSD表示的整数$n$的斯特恩多项式的$2^i-n$的系数和程度的条款。然后，我们显示新的递归斯特恩多项式，并从这些和重量分布定理获得类似的BSD递归和快速$\mathcal{O}(n)$算法，计算的数量和数量的$0$的最佳BSD表示的所有整数的NAF位长度$\log(n)$一次，然后可以比较。
2021-08-27 math.NT
On binary quadratic forms with semigroup property
一个二次型f称为具有半群性质，如果它在整数格上的点的值在乘法下形成一个半群。Arnold的一个问题是用半群性质描述所有的二进制整数二次型。如果存在一个整数双线性映射s，使得对于整数2维格中的所有向量x和y，f（s（x，y））=f（x）f（y），则形式f具有半群性质.我们给出了具有上述性质的所有对（f，s）的显式描述。我们不知道有半群性质的形式的任何其他例子。
2005-11-18 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers, II
本文改进了关于$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$和$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$形式的整数表示的平均数在短区间内的渐近公式的一些结果，其中$\ell_1, \ell_2\ge 2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-10-26 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms II: binomial forms
本文研究二元二项式形式族 $aX^d+bY^d$ 对整数的表示，借助线性对数形式下界证明高次形式数量的一致界及低次形式的几乎完全表示。
2023-06-04 math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Diatomic Sequence
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制带符号数字表示是整数的另一种表示，在高效计算、编码理论和密码学中有很多用途。我们在这里链接这两个想法，表明$i$位二进制符号数表示的整数$n$与$n<2^i$是$(2^i-n)^\text{th}$元素斯特恩的双原子序列。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数整数。
2021-10-06 math.CO math.NT
Density of the union of positive diagonal binary quadratic forms
设$X$是一个足够大的正整数。我们证明了，可以选择一个子集$S$的素数与基数$O(\log X)$，使得一个正比例的整数小于$X$可以表示为$x^2 + p y^2$至少有一个$p \in S$。
2022-11-24 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers
证明了整数表示形式$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$的平均数在短区间内的渐近公式，其中$\ell_1, \ell_2\in\{2,3\}$，$\ell_1+\ell_2\le 5$是固定整数，$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$，其中$\ell_1=2$和$2\le \ell_2\le 11$或$\ell_1=3$和$ \ell_2=2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-06-21 math.NT
Binary linear forms over finite sets of integers
设A是整数的有限集。对于多项式f（x_1，.，x_n），设f（A）= {f（a_1，.，a_n）：a_1，.，a_n \in A}。本文证明了对每对整系数的正规二元线性型f（x，y）=u_1x+v_1y和g（x，y）=u_2x+v_2y，存在任意大的整数A和B的有限集合，使得|f（A）| > |g（A）|和|f（B）| < |g（B）|.
2007-01-02 math.CO math.NT
On the $Γ$-equivalence of binary quadratic forms
对于同余子群$Γ$，我们定义了二元二次型上的$Γ$ -等价的概念，当$Γ= \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ .我们发展了一个关于$Γ$ -等价的理论，如$Γ$ -约化形式的有限性，$Γ_0(N)$ -形式类群与理想类群的同构，整数的$N$ -表示，二元二次型的$N$ -亏格.作为应用，我们讨论了在一定的变量同余条件下整数的二元二次型表示。
2017-11-01 math.NT
On the representation of $k$-free integers by binary forms
本文研究整数系数二元型所表示的无 $k$ 次因子整数计数，并在关于 $k$ 与不可约因子最大次数 $r$ 的条件下证明其具有主项为常数乘 $Z^{2/d}$ 的渐近公式。
2018-03-23 math.NT
Properties of the cumulated deficient binary digit sum
本文研究了On-LineEncyclopediaofSequences中的序列A268289，即连续整数二进制展开式中1位数与0位数之差的累积.该序列恰好匹配某些特定集合的基数序列。此外，它也可以通过使用Takagi函数来表示。这三种不同的定义各有其性质，将它们结合在一起会产生一些新的恒等式。
2019-11-10 math.NT
Succinct certificates for solutions to binary quadratic Diophantine equations
从计算复杂性理论的观点来看，二元二次丢番图方程是令人感兴趣的.它们包含了许多自然问题的特例，这些自然问题显然占据了P-NP层次结构的中间阶段，即既不是多项式时间问题，也不是NP完全问题。设L（F）表示二元二次丢番图方程F（x_1，x_2）=0的系数的二元编码长度。本文证明了L（F）中长度多项式存在一个证明，证明了这样的方程有整数解（分别为L（F）和L（F））。正整数解）。这是有趣的，因为已知存在这样的方程，其最小非负整数解是如此之大，以至于需要L（F）中的空间指数才能将其以二进制表示。这些证书是基于D. Shank的“基础设施”。
2011-07-31 math.NT
Binary quadratic forms and sums of powers of integers
在这篇方法论论文中，我们首先回顾了经典的三次丢番图方程$a^3 + b^3 + c^3 = d^3$，并考虑了特定的一类解$q_1^3 + q_2^3 + q_3^3 = q_4^3$，其中每个$q_i$是一个二元二次型。接下来，我们将注意力转向熟悉的第一个$n$正整数的幂和$S_k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$，并将平方$S_k^2$、$S_m^2$和乘积$S_k S_m$表示为幂和的线性组合。这些表达式，连同三次方程的上述二次形式解，允许生成$Q_1^3 + Q_2^3 + Q_3^3 = Q_4^3$形式的无限数量的关系，其中每个$Q_i$是幂和的线性组合。本文还简要地考虑了二次丢番图方程$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$和$a^2 + b^2 = c^2$，并给出了用整数幂和表示的一族相应的解$Q_1^2 + Q_2^2 + Q_3^2 = Q_4^2$和$Q_1^2 + Q_2^2 = Q_3^2$.
2021-06-28 math.NT
Elementary results on the binary quadratic form a^2+ab+b^2
本文用初等方法证明了二进制二次型$a^2+ab+b^2$中数的一些有趣性质，其中$a$和$b$是非负整数.本文的主要发现是（i）素数$p$可以表示为$a^2+ab+b^2$当且仅当$p$是$6k+1$的形式，唯一的例外是3，（ii）任何正整数可以表示为$a^2+ab+b^2$当且仅当它的所有不处于相同形式的素因子在标准分解式中具有偶数指数，以及（iii）$a^2+ab+b^2$形式的整数的所有因子也具有相同的形式，其中$a$和$b$是正的并且彼此互素。给出了任意正整数在这种形式下不同表示数的一般公式。与其他二元二次型的性质的结果进行了比较。
2004-08-09 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms III: fewnomials
本文研究二元形式族中整数表示的数量，针对少项式族给出渐近估计，主项由最低次数形式决定，高次形式仅影响误差项。
2025-09-10 math.NT
On binary cubic and quartic forms
在本文中，我们确定了一组有理自同构的二元三次和四次形式的整数系数和非零判别式的某些二次协变的三次和四次形式。这使得人们可以给出精确的渐近公式的整数的数量在一个区间表示的二进制三次或四次形式和延伸工作的胡利。进一步，我们给出了与二元三次和四次形式有关的某些三次和四次曲面中所含直线的定义域。
2018-01-23 math.NT
Binary recurrences for which powers of two are discriminating moduli
给定一个不同正整数序列$w_0 , w_1, w_2, \ldots$和任意正整数$n$，我们定义一个正整数函数$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$为最小正整数$m$使得$w_0,\ldots, w_{n-1}$是模$m$的两两不相合.在本文中，我们对由不同整数项组成的所有二进制递归序列$\{w_n\}_{n\geq 0}$进行分类，使得对于每个$e\geq 1.$，$\mathcal{D}_{\bf w}(2^e)=2^e$对于所有这些序列，人们可以对每个$n\ge 1.$，实际上给出$\mathcal{D}_{\bf w}(n)$的相当简单的描述对于这样的序列的两个无限族，这已经由Faye，Luca和Moree分别在2019年完成。
2020-11-30 math.NT
On values of binary quadratic forms at integer points
我们得到估计的整数解的数目在大球，不等式的形式$|Q(x, y)| < ε$，其中$Q$是一个不定的二元二次型，在Hurwitz连分数的扩展的斜率上的$Q$消失。该方法是基于编码的测地线上的模块化表面通过Hurwitz扩展的端点的升降机在庞加莱半平面。
2016-07-12 math.DS math.NT
A New Sparse Algorithm for Polynomial GCD over Integers
Shandong University（山东大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文提出一种新的稀疏算法，通过新变量替换将多元整数多项式GCD归约为单个单变量GCD，位复杂度为多项式级，在Maple中实现，对高次多变量但GCD项数少的多项式高效。
2026-09-11 math.AC math.NT
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位（BSD）表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象，表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数，反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理，将这些表示与Stern多项式联系起来，整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归，源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归，以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
2021-08-30 cs.DM math.CO math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
An algebraic perspective on integer sparse recovery
Claremont McKenna College（克莱蒙特麦肯纳学院）；University of California at Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文从代数角度探讨整数稀疏恢复问题，结合组合、概率和数论方法，讨论了传感矩阵的存在性与构造，并证明了稀疏版本的闵可夫斯基凸体和线性形式定理，揭示了该框架的局限性。
2018-01-04 cs.NA math.NA math.NT
Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms
我们重温了费马和欧拉关于用二进制二次型x^2+5y^2表示整数的老理论。利用Ramanujan的1阶求和公式，建立了\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式.费马和欧拉的猜想很容易遵循这个新公式。但我们不会就此止步。采用各种公式中发现拉马努金的笔记本电脑和使用有点巧妙我们obtaina收集新的朗伯系列的某些无穷乘积与二次型，如x^2+6y^2，2x^2+3y^2，x^2+15y^2，3x^2+5y^2，x^2+27y^2，x^2+5（y^2+ z^2+ w^2），5x^2+y^2+ z^2+ w^2。在这个过程中，我们发现了许多新的乘性η-子，并确定了它们的系数。
2007-02-06 math.CO math.NT
Combinatorial properties of sparsely totient numbers
设$N_1(m)=\max\{n \colon ϕ(n) \leq m\}$和$N_1 = \{N_1(m) \colon m \in ϕ(\mathbb{N})\}$，其中$ϕ(n)$表示欧拉函数。Masser和Shiu \cite{masser}称$N_1$的元素为“稀疏的totient数”，并开始了对这些数的研究。在这篇文章中，我们建立了几个结果稀疏totient数。首先，我们证明了一个无平方因子的整数能整除所有足够大的稀疏整数，而一个非无平方因子的整数能整除无穷多个稀疏整数。其次，我们构造了显式的稀疏素数无限族，并描述了它们与连续素数分布的关系。我们还研究了$N_1$的稀疏性，证明了它是乘性分段联会而不是加性分段联会。最后，我们研究算术/等比数列和其他加法和乘法模式，如$\{x, y, x+y\}, \{x, y, xy\}, \{x+y, xy\}$和它们的推广稀疏totient数。
2019-07-23 math.CO math.NT
Exploring Prime Number Classification: Achieving High Recall Rate and Rapid Convergence with Sparse Encoding
本文提出一种结合机器学习与数论的新方法，通过稀疏编码与传统神经网络结合，实现高召回率和快速收敛，验证了在素数识别中的有效性。
2026-03-31 cs.LG math.NT
Waring's Theorem for Binary Powers
如果自然数的二进制表示由$k$连续的相同块组成，则该自然数是二进制的$k$次幂。我们证明了二进制$k$次幂和的Waring定理的一个类似定理。更精确地说，我们证明了，对于每个整数$k \geq 2$，存在正整数$W(k)$，使得每个足够大的倍数的$E_k := \gcd(2^k - 1, k)$是最多$W(k)$二进制$k$的幂和。(The作为$E_k$的倍数的假设不能被省略，因为我们表明二进制$k$的幂的$\gcd$是$E_k$。）此外，我们解释了我们的结果可以扩展到任意整数基$b > 2$。
2018-01-13 cs.DM math.CO math.NT
Unique representation bases for the integers
构造了整数的稀疏集A，它具有每个整数都可以唯一地表示为n = a + a '的性质，其中a和a'属于集合A，且a < a'或a = a'.提出了一些相关的开放问题。
2002-02-14 math.CO math.NT
Sparse generalised polynomials
我们调查广义多项式（即多项式样的表达式涉及使用的地板功能），其中采取的值$0$的所有整数，除了一组密度$0$。我们的主要结果是，一个稀疏的广义多项式采取非零值的整数集不能包含一个IP集的平移。我们还研究了一些显式构造，并表明Fibonacci数和Tribonacci数的特征函数由广义多项式给出。最后，我们证明了任何足够稀疏的$\{0,1\}$值序列是由一个广义多项式。(This这篇论文基本上是我们早期提交的arXiv：1610.03900 [math.NT]的前半部分。因为arXiv：1610.03900 [math.NT]中的材料涉及许多不同的主题，我们认为最好将其分为两篇独立的论文。
2016-11-30 math.CO math.DS math.NT
