Unique representation bases for the integers
Melvyn B. Nathanson
构造了整数的稀疏集A，它具有每个整数都可以唯一地表示为n = a + a '的性质，其中a和a'属于集合A，且a < a'或a = a'.提出了一些相关的开放问题。
Arbitrarily sparse sets A of integers are constructed with the property that every integer can be represented uniquely in the form n = a + a', where a and a' belong to the set A and a < a' or a = a'. Some related open problems are stated.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Let $k\ge 2$ be an integer and let $A$ be a set of nonnegative integers. For a $k$-tuple of positive integers $\underlineλ = (λ_{1}, \dots{} ,λ_{k})$ with $1 \le λ_{1} < λ_{2} < \dots{} < λ_{k}$, we define the additive representation function $R_{A,\underlineλ}(n) = |\{(a_{1}, \dots{} ,a_{k})\in A^{k}: λ_{1}a_{1} + \dots{} + λ_{k}a_{k} = n\}|$. For $k = 2$, Moser constructed a set $A$ of nonnegative integers such that $R_{A,\underlineλ}(n) = 1$ holds for every nonnegative integer $n$. In this paper we characterize all the $k$-tuples $\underlineλ$ and the sets $A$ of nonnegative integers with $…
Cryptarithmically unique terms in integer sequences
本文研究整数序列中具有唯一数字模式的密码算术唯一项，估计其在平方数和素数中的密度，并引入素数不具备的恐素数数字模式。
On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems
设（m_r（n）），n>=0，是Moser序列，使得每个非负整数都是唯一的s_k+rs_l的和.本文给出了这种形式的一个显式分解公式和一个出乎意料的简单的Moser数的递归关系。我们还研究了序列（rm_r（n-1）+1），n>=1的一些有趣的性质，以及它与一些重要问题的联系。特别是，在r=2的情况下，这个序列令人惊讶地与解决组合约瑟夫斯-格罗尔问题的数字有关。我们还提出了一些悬而未决的问题。
On the number of unique expansions in non-integer bases
令$q > 1$为实数，令$m=m(q)$为小于$q$的最大整数。众所周知，每个数$x \in J_q:=[0, \sum_{i=1}^{\infty} m q^{-i}]$可以被写为具有整数系数$0 \le c_i < q$的$x=\sum_{i=1}^{\infty}{c_i}q^{-i}$。如果$q$是一个非整数，那么几乎每个$x \in J_q$都有许多这种形式的连续展开。本文考虑由具有这种形式唯一表示的数$x \in J_q$组成的集合$\mathcal{U}_q$的一些性质。更具体地，我们比较满足$1< q < r$和$m(q)=m(r)$的值$q$和$r$的集合$\mathcal{U}_q$和$\mathcal{U}_r$的大小。
Unique expansions of real numbers
几年前发现，存在非整数实数$q>1$，其中只有一个整数$c_i \in [0,q)$的序列$(c_i)$满足等式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=1$。这类“univoque数”的集合具有丰富的拓扑结构，它的研究揭示了一些意想不到的联系与测度论，分形，遍历理论和丢番图近似。在本文中，我们认为对于每个固定的$q>1$的集合$\mathcal{U}_q$的实数$x$具有唯一的表示形式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=x$与整数$c_i$属于$[0,q)$。我们进行了详细的拓扑研究，这些集。例如，我们刻画了它们的闭包，并确定了$\mathcal{U}_q$是闭的或甚至是康托集的那些基$q$。我们还研究了由整数$c_i \in [0,q)$的所有序列$(c_i)$组成的集合$\mathcal{U}_q'$，使得$\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i} \in \mathcal{U}_q$。我们确定的数字$r >1$的映射$q \mapsto \mathcal{U}_q'$（定义在$(1, \infty)$）是恒定的$r$的邻域和数字$q >1$的$\mathcal{U}_q'$是一个子移位或有限型的子移位。
Non-unique factorization of polynomials over residue class rings of the integers
本文研究了Z_{p^n} [x]中多项式的非唯一分解为不可约项.作为零因子包含在Jacobson根中的诺特环，Z_{p^n} [x]是原子环.我们把任意非零多项式分解为不可约项的问题归结为将首一多项式分解为一元不可约项的问题。Z_{p^n} [x]的首一多项式的乘法幺半群是Z_p[x]中对应于不可约多项式的幺半群的直和，我们证明了这些幺半群中的每一个都具有无穷弹性.此外，对于每一个正整数m，在这些幺半群中的每一个中存在2个不可约数的乘积，该乘积也可以表示为m个不可约数的乘积。
Let B_n={x_i \cdot x_j=x_k, x_i+1=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}. For a positive integer n, let ξ(n) denote the smallest positive integer b such that for each system S \subseteq B_n with a unique solution in positive integers x_1,...,x_n, this solution belongs to [1,b]^n. Let g(1)=1, and let g(n+1)=2^{2^{g(n)}} for every positive integer n. We conjecture that ξ(n) \leq g(2n) for every positive integer n. We prove: (1) the function ξ: N\{0}-->N\{0} is computable in the limit; (2) if a function f:N\{0}-->N\{0} has a single-fold Diophantine representation, then there exists a positive integer m such t…
Factorization of integers and arithmetic functions
利用欧几里得证明算术算术基本定理的一个简单变体，初等证明算术函数环中的唯一因子分解。
Non-unique factorization and principalization in number fields
给出了数域的类群如何度量其整数环上唯一分解失败的精确描述。具体地说，根据Kummer的思想，我们确定了数域的整数环中元素的所有不可约分解的结构，并给出了这类分解个数的组合描述.在某些情况下，我们展示了如何二次型可以明确地提供所有这样的分解。
Arithmetic Progressions in a Unique Factorization Domain
皮莱表明，任何序列的连续整数与最多16项拥有一项是互素的所有其他。我们给出了一个新的证明，这个结果的轻微推广到整数的等差数列，并进一步将其推广到等差数列的特征零的唯一分解域。
Solutions to some problems on unique representation bases
本文解决了Nathanson（2003）和Chen（2007）提出的关于整数唯一表示基的五个公开问题。
On the unique solvability of the simultaneous Pell equations $x^2-ay^2 = 1$ and $z^2-bx^2 = 1$
本文研究一类联立Pell方程的正整数解唯一性问题，提出一个程序：对任意固定参数b，可确认方程至多一解或证明例外情形至多有限多个。
Unique expansions in number systems via refinement equations
本文通过 refinement 方程方法，研究了n进制数系统中自然数唯一表示的条件，并建立了与仿射整数函数半群自由性问题的联系。
Existence and Uniqueness Property On a Generalized Ledin-Brousseau Sum
本文针对一类含多项式与次数不小于2的约束齐次线性递推序列的广义Ledin-Brousseau型有限和，推导并给出了其存在性与唯一性性质。
An additive system for the nonnegative integers is a family (A_i)_{i\in I} of sets of nonnegative integers with 0 \in A_i for all i \in I such that every nonnegative integer can be written uniquely in the form \sum_{i\in I} a_i with a_i \in A_i for all i and a_i \neq 0 for only finitely many i. In 1956, de Bruijn proved that every additive system is constructed from an infinite sequence (g_i)_{i \in \N} of integers with g_i \geq 2 for all i, or is a contraction of such a system. This paper gives a complete classification of the "uncontractable" or "indecomposable" additive systems, and also co…
All functions g:N-->N which have a single-fold Diophantine representation are dominated by a limit-computable function f:N\{0}-->N which is implemented in MuPAD and whose computability is an open problem
设E_n={x_k=1，x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}。对于任何整数n \geq 2214，我们定义系统T \subseteq E_n，其具有唯一整数解（a_1，.，a_n）。我们证明了数a_1，...，a_n是正的并且max（a_1，...，a_n）>2^（2^n）。对于正整数n，设f（n）表示最小非负整数b，使得对于每个系统S \subseteq E_n，在非负整数x_1，.，x_n，则此解属于[0，b]^n。证明了如果函数g：N-->N有单重丢番图表示，则f优于g.我们提出了一个MuPAD代码，它以一个正整数n作为输入，执行一个无限循环，在每次迭代时返回一个非负整数，并在每次足够高的迭代时返回f（n）。
Let $p$ be a prime. We define $S(p)$ the smallest number $k$ such that every positive integer is a sum of at most $k$ squares of integers that are not divisible by $p$. In this article, we prove that $S(2)=10$, $S(3)=6$, $S(5)=5$, and $S(p)=4$ for any prime $p$ greater than $5$. In particular, it is proved that every positive integer is a sum of at most four squares not divisible by $5$, except the unique positive integer $79$.
Universality criterion sets for quadratic forms over number fields
本文通过最小准则集的新刻画，证明在完全实代数数域上，二次型表示所有完全正整数的有限准则集总是存在且唯一，并推广到给定整数子集的表示。
Expansions in non-integer bases have been investigated abundantly since their introduction by Rényi. It was discovered by Erdős et al. that the sets of numbers with a unique expansion have a much more complex structure than in the integer base case. The present paper is devoted to the continuity properties of these maps with respect to the Hausdorff metric.
Distribution of Zeckendorf expressions
本文围绕Zeckendorf定理展开，研究小于x的无相邻项二进制展开数的渐近公式，并将结果推广至非负整数系数的一般线性递推场景，拓展了相关数论结论的适用范围。
Given a positive integer $M$ and $q\in(1,M+1]$, let $\mathcal U_q$ be the set of $x\in[0, M/(q-1)]$ having a unique $q$-expansion: there exists a unique sequence $(x_i)=x_1x_2\ldots$ with each $x_i\in\{0,1,\ldots, M\}$ such that \[ x=\frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\cdots. \] Denote by $\mathbf U_q$ the set of corresponding sequences of all points in $\mathcal U_q$. It is well-known that the function $H: q\mapsto h(\mathbf U_q)$ is a Devil's staircase, where $h(\mathbf U_q)$ denotes the topological entropy of $\mathbf U_q$. In this paper we {give several characterizations of} the…
Gaussian Behavior in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每一个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和; Lekkerkerker证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，其中$ϕ$是黄金平均数。有趣的是，更高的时刻似乎被忽略了。我们讨论的证明，分布的数目的被加数收敛到一个高斯$n \to \infty$，并评论有关分解的推广。例如，每个整数都可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。正和负被加数的分布收敛于具有可计算的负相关的二元正态分布，即$-(21-2ϕ)/(29+2ϕ) \approx -0.551058$。
From Fibonacci Numbers to Central Limit Type Theorems
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续的斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和。Lekkerkerker证明了在$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，$ϕ$是黄金分割数。这一点概括如下：给定非负整数$c_1,c_2,...,c_L$和$c_1,c_L>0$以及递归序列$\{H_n\}_{n=1}^{\infty}$和$H_1=1$、$H_{n+1} =c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_nH_1+1$、$(1\le n< L)$和$H_{n+1}=c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_LH_{n+1-L}$ $(n\geq L)$，每个正整数在$a_i$的自然约束下可以唯一地写为$\sum a_iH_i$，$[H_{n}, H_{n+1})$中整数的被加数的均值和方差的大小为$n$，当$n$趋于无穷大时，被加数的分布趋于高斯分布.以前的方法使用数论或遍历理论。我们将问题转化为组合问题。除了重新推导这些结果，我们的方法推广到许多其他问题（在续集论文\cite{BM}中，我们展示了这种观点如何使我们能够确定分解中的被加数之间的间隙分布）。例如，已知每个整数可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。负被加数的存在引…
Generalizing Zeckendorf's Theorem to f-decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续Fibonacci数$\{F_n\}$的和，其中$F_1 = 1$，$F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。对于具有非负系数的一般递归$\{G_n\}$，存在合法分解的概念，其再次导致唯一表示，并且均匀随机选择的$m \in [G_n, G_{n+1})$的表示中的被加数的数量收敛于正态分布，如$n \to \infty$。我们考虑相反的问题：给定合法分解的概念，是否有可能构造一个序列$\{a_n\}$，使得每个正整数都可以分解为序列项的和？我们将合法分解的概念编码为函数$f:\N_0\to\N_0$，并说如果$a_n$处于“$f$ -分解”中，则该分解不能包含序列中紧接在$a_n$之前的$f(n)$项; $f$的特殊选择产生许多众所周知的分解（包括基- $b$、Zeckendorf和阶乘）。我们证明了，对于任何$f:\N_0\to\N_0$，存在一个序列$\{a_n\}_{n=0}^\infty$，使得每一个正整数有一个唯一的$f$分解使用$\{a_n\}$。此外，如果$f$是周期性的，则对应于$f$的唯一递增序列$\{a_n\}$满足线性递归关系。以前的研究只处理没有负系数的递归关系。我们发现一个函数$f$，产生一个序列，不能描述这样的递归关系。最后，对于一类函数$f$，…
Essentially Unique Representations by Certain Ternary Quadratic Forms
本文推广了用三元二次型表示“本质唯一”的思想。我们利用Siegel公式，结合类数小于或等于8的虚二次域的完全分类，推导出本质上用一种给定形式表示的整数集合，该形式在其亏格中是唯一的。我们考虑各种形式，说明这种方法如何适用于任何794三元二次型，这是单独在其属。因此，我们解决了Kaplansky关于唯一表示形式$x^2 +y^2 +3z^2$，$x^2 +3y^2 +3z^2$，和$x^2 +2y^2 +3z^2$的一些问题。
Zeckendorf proved that every positive integer has a unique representation as a sum of non-consecutive Fibonacci numbers. A natural generalization of this theorem is to look at the sequence defined as follows: for $n\ge 2$, let $F_{n,1} = F_{n,2} = \cdots = F_{n,n} = 1$ and $F_{n, m+1} = F_{n, m} + F_{n, m+1-n}$ for all $m\ge n$. It is known that every positive integer has a unique representation as a sum of $F_{n,m}$'s where the indexes of summands are at least $n$ apart. We call this the $n$-decomposition. Griffiths showed an interesting relationship between the Zeckendorf decomposition and t…
Note on unique representation bases
本文改进了关于唯一表示基的上界结果，证明了该上界至少为1。
By Zeckendorf's Theorem, every positive integer is uniquely written as a sum of non-adjacent terms of the Fibonacci sequence, and its converse states that if a sequence in the positive integers has this property, it must be the Fibonacci sequence. If we instead consider the problem of finding a monotone sequence with such a property, we call it the weak converse of Zeckendorf's theorem. In this paper, we first introduce a generalization of Zeckendorf conditions, and subsequently, Zeckendorf's theorems and their weak converses for the general Zeckendorf conditions. We also extend the generaliza…
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。