Density of the union of positive diagonal binary quadratic forms
Yijie Diao
设$X$是一个足够大的正整数。我们证明了，可以选择一个子集$S$的素数与基数$O(\log X)$，使得一个正比例的整数小于$X$可以表示为$x^2 + p y^2$至少有一个$p \in S$。
Let $X$ be a sufficiently large positive integer. We prove that one may choose a subset $S$ of primes with cardinality $O(\log X)$, such that a positive proportion of integers less than $X$ can be represented by $x^2 + p y^2$ for at least one of $p \in S$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Prime-universal diagonal quadratic forms
一个（正定和积分）二次型称为$\textit{prime-universal}$，如果它代表所有的素数。最近，Doyle和Williams在[2]中提出了两种分类方法，分别对所有的素泛对角三元二次型和素泛对角四元二次型进行了分类。在这篇文章中，我们分类所有的素泛对角二次型，而不考虑秩。进一步证明了对角二次型的所谓$67$ -定理是素泛的。
A classification of regular diagonal quadratic forms
一个正定积分二次型称为正则的，如果它表示每一个局部表示的正整数。本文对秩大于3的正则对角二次型进行了分类。
Small zeros of quadratic forms outside of a union of varieties
设$F$是定义在全局域$K$上的向量空间$V \subseteq K^N$上的$N \geq 2$变量的二次型，$\Z \subseteq K^N$是由$K$上的齐次多项式族定义的簇的有限并.我们表明，如果$V \setminus \Z$包含一个非平凡的零$F$，则存在一个线性无关的收集小高度零的$F$在$V\setminus \Z$，其中的高度界不依赖于高度的$\Z$，只有在其定义多项式的程度。作为这个结果的推论，我们证明了二次空间$(V,F)$存在一个小高度极大全迷向子空间$W$，使得$W$不包含在$\Z$中.我们的研究推广了以前关于二次型的小零点的结果，包括Cassels定理及其各种推广。该文件还包含一个附录与两个变化的西格尔引理。所有的高度界限都是明确的。
Diagonal odd-regular ternary quadratic forms
一个（正定本原积分）二次型称为奇正则的，如果它表示每一个局部表示的奇正整数。本文证明了最多存在147个对角奇正则三元二次型，并证明了除6个候选形式外的所有候选形式的奇性。
Almost 2-universal diagonal quinary quadratic forms
一个（定积分）二次型称为几乎2-泛的，如果它表示除了仅在1/2个等价类中的那些之外的所有（定积分）二元二次型。Oh [7]确定了几乎所有的2-泛五元对角二次型，剩余的三个作为候选。在这篇文章中，我们证明了这三个候选确实是几乎2-泛的。
Local Densities of Diagonal Integral Ternary Quadratic Forms at Odd Primes
给出了对角积分三元二次型在奇素数处的局部密度公式。使用指数和和二次高斯和来获得这些公式。这些公式（连同2-adic密度和Siegel质量公式）可以用来计算某些三元二次型的表示数。
Representation of two by two matrices over perfect fields by a diagonal quadratic form
设F是完满域.则$F$上的对角二次型$a_iX_i^2$在$M_2(F)$上是泛的当且仅当至少有两个$a_i$非零。
Pairs of diagonal quadratic forms and linear correlations among sums of two squares
对于合适的对角二次型在8个变量，我们使用圆的方法来调查密度的同时整数解，并与此有关的问题估计两个平方和之间的线性相关。
A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms
利用解析数论的方法，对一般三元不定二次型建立了一个定量的Oppenheim猜想。这些语句带来了权力收益，在某些情况下，它们本质上是最佳的
The Hasse principle for systems of quadratic and cubic diagonal equations
利用Brüdern和Wooley的新的复化方法，当三次方程的个数至少是二次型个数的两倍时，我们建立了r_3三次和r_2二次对角型方程组解的个数的渐近Hasse原理.所需的变量的数量是低于在早期的工作。特别是，我们实现了一个二次和任意多个三次方程的系统基本上平方根取消。
Density of integer solutions to diagonal quadratic forms
设Q是至少包含四个变量的非奇异对角二次型。我们给出了方程Q=0的整数解的个数的上界，当B趋于无穷大时，这些整数解位于边长为2B的盒子中。得到的估计是完全一致的形式的系数，并成为尖锐的，因为他们越来越大的模。
Integral matrices as diagonal quadratic forms
本文研究了对角二次型$\sum_{i=1}^{m}a_i X_i^2$表示每个$n \times n$整数矩阵的条件，其中$a_i$（$1 \leq i \leq m$）是整数.对于$n=2$，我们给出了一个充要条件。并给出了$n \geq 2$（$1 \leq i \leq m$）两两互质的充分条件.
Covariants and simultaneous diagonalization of pairs of ternary quadratic forms, and binary quartic forms
本文建立了二元四次型与三元二次型对协变间的对应，并给出了任意特征零域上二次型对的标准对角化方法及有理数域上可对角化的精确判据。
Quadratic Forms in Prime Variables with small off-diagonal ranks
本文的主要目的是确定L的极限。赵氏素变量二次型解的计数技巧。赵认为形式与排名至少9，并表明，这些方程的解决方案在素数提供了没有当地的障碍。我们详细考虑了非对角秩为1和2的退化情形，并将秩的下界分别提高到至少6和至少8。这些结果补充了格林最近在非退化秩8情况下的突破。
Rational solutions of pairs of diagonal equations, one cubic and one quadratic
本文通过获得指数和 $αx^3+βx^2$ 的 32/3 阶矩的最优估计，在局部可解性假设下证明变量数超过 10 时一对三次和二次对角方程存在非平凡整数解。
Small Values of Indefinite Diagonal Quadratic Forms at Integer Points in at least five Variables
对于任何$\varepsilon > 0$，我们得到了求解丢番图不等式$\lvert Q[m] \rvert < \varepsilon$的非零整数点$m \in \mathbb{Z}^d \setminus \{0\}$的大小的有效估计，其中$Q[m] = q_1 m_1^2 + \ldots + q_d m_d^2$表示以$d \geq 5$为变量的非奇异不定对角二次型.为了证明我们的奥本海姆猜想的定量变体，我们将Birch和Davenport [BD 58b]开发的方法扩展到更高的维度，并结合Schlickewei [Sch85]的定理。所得到的结果是一个最佳的扩展Schlickewei的结果，给小零的整二次型的签名$(r,s)$，对角线形式的增长因子可以忽略不计的依赖范围。
Simultaneous Cubic and Quadratic Diagonal Equations In 12 Prime Variables
方程组\[ u_1p_1^2 + \ldots + u_sp_s^2 = 0 \] \[ v_1p_1^3 + \ldots + v_sp_s^3 = 0 \]具有$s \geq 12$的素解$(p_1, \ldots, p_s)$，假设系统具有对每个素$p$取模的解。这是证明通过哈迪-利特尔伍德循环方法，建立在伍利的工作相应的系统的整数和最近的结果维诺格拉多夫的中值定理。另外，给出了局部可解的一组充分条件：若两个方程模2可解，二次方程模3可解，且对于每个素数$p$，$u_i$，$v_i$中至少有7个不为模$p$的零，则系统有模每个素数$p$的解.
Counting solutions to quadratic forms in eight prime variables of off-diagonal rank $3$
本文延续前人对素变量二次型解的计数研究，针对非对角秩为3的八个素变量非退化二次型，开展解的数量计数工作。
Representations of squares by certain diagonal quadratic forms in odd number of variables
本文考虑下列对角二次型\begin{equation*} a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \cdots + a_{\ell}x_{\ell}^2, \end{equation*}，其中$\ell\ge 5$是奇数，$a_i\ge 1$是整数.利用扩展的Shimura对应，我们得到了$|D|n^2$用上述类型的二次型表示的个数的显式公式，其中$D$是无平方整数或基本判别式，使得$(-1)^{(\ell-1)/2}D > 0$ .我们证明了我们的方法与许多例子，特别是，我们获得了所有的公式（$\ell =5$时）中获得的工作库珀林叶（Acta.阿里斯2013）以及当$n$为偶数时由他们在（Integers，2013）中获得的所有$n^2$的表示公式。Cooper et.的作品。al利用某些theta函数恒等式结合Hurwitz方法导出了这些公式。应该注意的是，我们的方法一般适用于任意系数$a_i$。作为我们的一些公式的结果，我们得到了一定的代表数之间的身份，也有一些同余关系，涉及傅立叶系数的某些新形式的权重$6, 8$和除数函数。
The fourth moment of quadratic Dirichlet $L$-Functions II
本研究无条件证明二次Dirichlet $L$-函数四次矩的含四个主项的渐近公式，基于已有工作引入改进大筛估计、交叉抵消分析等新要素，采用精细组合论证完成证明。
Arithmetic progressions represented by diagonal ternary quadratic forms
本文基于三元二次型理论，研究并证明了由L. Pehlivan、K. S. Williams和Z.-W. Sun提出的若干对角三元二次型具有表示特定等差数列的$(d,r)$-万有性。
Representations by octonary quadratic forms with coefficients $1$, $2$, $3$ or $6$
使用模块的形式，我们确定了一个正整数的对角八元二次型与系数$1$，$2$，$3$或$6$的表示数的公式。
Criterion set for diagonal forms of higher degree
本文研究全实代数数域上的高次对角型，证明了存在唯一且极小的有限判据集合来判定其全向性，并建立了渐近局部-全局原理及局部表示理论。
Ternary quadratic forms representing a given arithmetic progression
一个正二次型是$(k,\ell)$ -泛的，如果它表示所有的数$kx+\ell$，其中$x$是一个非负整数，和几乎$(k,\ell)$ -泛的，如果它表示所有，但其中的许多。证明了对任何$k,\ell$使得$k\nmid\ell$存在几乎$(k,\ell)$ -泛对角三进制形式.我们还猜想，只有1000多个素数$p$的$(p,\ell)$ -普遍对角三元形式存在（任何$\ell<p$），我们显示的计算机实验结果，有利于该猜想。
Intersections of binary quadratic forms in primes and the paucity phenomenon
本文研究了二元二次型在素数变量限制下的解数稀少现象，探讨了仅部分变量为素数的剩余情形，并综合 Daniel、Hooley 和 Plaksin 的方法进行分析。
Hilbert's tenth problem for systems of diagonal quadratic forms, and Büchi's problem
该研究通过证明五个平方数在二阶差分恒为2时必连续的断言，补全 Büchi 证明，确立对角二次型方程组整数可解性的不可判定性。
On monoids of ideals of orders in quadratic number fields
我们确定的悬链线度的集合，距离的集合，以及非零理想的幺半群和二次数域中的可逆理想的幺半群的长度的集合的并集。
Integral zeros of quadratic polynomials avoiding sublattices
本文研究避开有限指数子格的整系数二次多项式的非平凡零点，证明其存在范数有界零点并给出显式上界，同时将结果应用于整数格中向量夹角分布问题。
On a diagonal quadric in dense variables
我们研究的对角线，平移不变，二次方程系统在任意（稠密）子集A \subset Z的溶解度和显示的大小上的定量界限A，如果没有非平凡的解决方案。我们使用圆的方法和罗斯的密度增量的论点。由于限制理论的方法，我们可以处理在s \geq 7变量的方程。
Some refinements for translation invariant quadratic forms in dense sets
在两种特殊情况下，改进了前一篇关于平移不变二次型的结果。对于大多数二次型，我们将密度约束$|\mathcal{A}|/N = O((\log\log N)^{-c})$降为$|\mathcal{A}|/N = O((\log N)^{-c})$，并在$s \geq 6$变量而不是$s \geq 8$中处理几乎对角方程。
Quadratic forms of modular forms
研究全纯尖形式空间中的二次型，条件性地证明当两个Hecke特征形式的二次型没有公共对角项时，其内积收敛于公共非对角系数乘积之和，并定义ℓ^p范数建立条件上界，揭示Hecke基下二次型系数的不均匀小性。
Representations by sexternary quadratic forms with coefficients 1,2,5 and 10
在这篇文章中，我们找到了模形式空间$d=-4,-8,-20\text{ and }-40.$的基，然后导出了正整数由系数为$% 1,2,5$和$10$的所有对角广义二次型表示的个数公式.
Diophantine inequalities for generic ternary diagonal forms
设k为\geq 2，考虑丢番图不等式|x_1^k- \alp_2 x_2^k- \alp_3 x_3^k| < \tet。我们的目标是找到非平凡的解决方案，在变量x_i，1 \leq i \leq 3，所有的大小约为P，假设\tet是足够大的。我们研究这个问题的平均\alp_3和推广以前的工作Bourgain二次三元对角形式一般程度k。
On the density of primes with a set of quadratic residues or non-residues in given arithmetic progression
令$\mathcal{A}$表示正整数的等差数列的有限集合，并且令$s \geq 2$是整数。如果$\mathcal{A}$的基数至少为2，并且$U$是从$\mathcal{A}$的每个元素取一定长度的等差数列$s$所形成的并集，则我们计算所有素数集合$p$的渐近密度，使得$U$是$p$的二次剩余（分别为二次非剩余）的集合。
On the rank of universal quadratic forms over real quadratic fields
本文研究了实二次域$\mathbb Q(\sqrt D)$上的全正定对角泛二次型所需变量的最小数目，并利用相关的连分数的某些系数和得到了它的上界.我们还估计这样的总和方面的$D$和建立一个连分数展开和特殊值的$L$ -函数的克罗内克的极限公式的精神之间的联系。
The Hasse principle for diagonal forms restricted to lower-degree hypersurfaces
建立了由一个对角形式的次数$k$和一个一般形式的次数$d$组成的丢番图系统的解析Hasse原理，其中$d$小于$k$ .通过采用一种混合方法，结合了一般形式的研究与技术，适用于对角线的情况下，我们能够获得的界限，$d$指数增长，但只有二次在$k$，反映了增长率通常分别获得这两个问题。我们还讨论了我们的方法的一些最有趣的概括。
On the number of representations by certain octonary quadratic forms with coefficients 1, 2, 3, 4 and 6
在本文中，我们找到了一些对角八元二次型的系数$1,2,3,4$和$6$的表示数的公式。通过构造$Γ_0(48)$上的权模形式空间$4$的带特征标的显式基，得到了这些公式。
Integral Quadratic Forms Avoiding Arithmetic Progressions
该研究证明对任意正整数k，存在正定对角四元整二次型恰好表示除k个算术级数中数之外的所有正整数，并确定了k=1时所有满足该性质的二次型，丰富了数论中整二次型表示理论。
A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms
本文证明了一般三元不定二次型的Oppenheim猜想的一个定量版本。我们的结果是启发和类似的对角二次型由于Bourgain最近的结果。
Diagonal cycles and anticyclotomic twists of modular forms at inert primes
本文借助对角类重构 Castella–Do 的反环圈 Euler 系统，并结合既有结果，在 $p$ 于虚二次域中惰性的条件下推进解析秩一情形的 Bloch–Kato 猜想。
Tight universal quadratic forms
对于正整数$n$，令$\mathcal T(n)$为大于或等于$n$的所有整数的集合。一个整二次型$f$称为紧$\mathcal T(n)$ -泛的，如果由$f$表示的非零整数的集合正好是$\mathcal T(n)$。所有紧$\mathcal T(n)$ -泛二次型上的最小可能秩由$t(n)$定义。在这篇文章中，我们找到了所有的紧$\mathcal T(n)$ -泛对角二次型。我们还证明了$t(n) \in Ω(\log_2(n)) \cap O(\sqrt{n})$ .对于某个小整数$n$，将提供$t(n)$的明确下限和上界。
Kolyvagin classes versus non-cristalline diagonal classes
设$E/\mathbb{Q}$是在素数$p$处具有乘法约简的椭圆曲线。设$(g,h)$是一对权$1$的本征形，它是虚二次域$K$的θ级数，并假定三重积$L$ -函数$L(f,g,h,s)$是自对偶的，在中心临界点$s=1$不为零。本文的主要结果是一个公式，该公式将[DLR]中引入的$p$ -adic迭代积分表示为Bertolini和Darmon关联的Kolyvagin类，并表示为$E$上的Heegner点系统。
Quantitative Oppenheim Conjecture for Quadratic Forms in 5 Variables over Function Fields
我们翻译达文波特和海尔布隆的工作的定量版本的奥本海姆猜想不定对角二次型在5个变量的设置功能领域。
$p$-Adic quotient sets: diagonal forms
对于一组整数$A$，我们考虑$R(A)=\{a/b: a, b\in A, b\neq 0\}$。当$A$是由积分形式得到的非零值集时，研究$R(A)$在$p$ -adic数中的稠密性是一个公开问题.这个问题已经回答了二次形式。最近，Antony和Barman研究了对角二元三次形式$ax^3+by^3$的这个问题，其中$a$和$b$是整数。在这篇文章中，我们研究这个问题的对角线形式。我们将Antony和Barman的结果推广到对角二元形式$ax^n+by^n$的所有$n\geq 3$。我们还研究了由度$n\geq 3$的对角形式得到的非零值的导数的$p$ -adic稠密性，其中$\gcd(n,p(p-1))=1$。
Counting monochromatic solutions to diagonal Diophantine equations
我们展示了如何适应Hardy-Littlewood圆的方法来计数单色解对角丢番图方程。这提供了一个下界，这是最佳的绝对常数。该方法在通过将对角二次型设置为等于线性型获得的方程上进行说明。因此，我们确定了一个代数准则时，这样的方程是分区定期。我们的方法涉及离散调和分析，并需要一些“混合”的限制估计，这可能是独立的利益。
Representations of binary quadratic forms by quaternary quadratic forms
本文通过Linnik的ergodic方法变种，证明了二元二次型由四元二次型的原始表示的局部-全局原理，并利用Einsiedler和Lindenstrauss的测度分类结果和Siegel质量公式，解决了一个affine variety上的计数问题。
Counting orbits of integral points in families of affine homogeneous varieties and diagonal flows
本文研究了仿射齐次簇的参数族上整点的分布。通过Borel和Harish-Chandra的工作，每个这样的簇上的整点集由算术群的1000个轨道组成，并且我们建立了由它们的Siegel权重索引的轨道数的渐近公式（平均）。特别地，我们推导出了除代数中由可分解形式和范数形式表示的不等价整表示个数的渐近公式，以及二次曲面截面上整点等价类的加权个数的渐近公式.我们的论证利用了齐性空间上对角流的指数混合性质。
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