Quantitative Oppenheim Conjecture for Quadratic Forms in 5 Variables over Function Fields
Stephan Baier, Arkaprava Bhandari
我们翻译达文波特和海尔布隆的工作的定量版本的奥本海姆猜想不定对角二次型在5个变量的设置功能领域。
We translate Davenport's and Heilbronn's work on a quantitative version of the Oppenheim conjecture for indefinite diagonal quadratic forms in 5 variables into the setting of function fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms
利用解析数论的方法，对一般三元不定二次型建立了一个定量的Oppenheim猜想。这些语句带来了权力收益，在某些情况下，它们本质上是最佳的
A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms
本文证明了一般三元不定二次型的Oppenheim猜想的一个定量版本。我们的结果是启发和类似的对角二次型由于Bourgain最近的结果。
Quantitative Version of the Oppenheim Conjecture for Inhomogeneous Quadratic Forms
证明了非齐次二次型的奥本海猜想的一个定量形式。我们也给出了一个应用程序的特征值间距平坦2环面Aharonov-Bohm通量。
Oppenheim conjecture for pairs consisting of a linear form and a quadratic form
设Q是非退化二次型，L是维数d>3的非零线性型.作为Oppenheim猜想的推广，我们证明了集合{（Q（x），L（x））：x \in Z^d}在R^2中是稠密的，只要Q和L满足一定的自然条件.证明使用李群的齐性空间上的动力学。
Quantitative Oppenheim conjecture for $S$-arithmetic quadratic forms of rank $3$ and $4$
Eskin，Margulis and Mozes（1998）和Dani and Margulis（1993）关于定量Oppenheim猜想的著名结果指出，对于秩至少为5的无理二次型$q$，使得$q(\mathbf v)$在给定有界区间内的整向量$\mathbf v$的个数渐近等于使得$q(\mathbf v)$在同一区间内的实向量集合$\mathbf v$的体积。在$3$或$4$维中，存在不满足定量Oppenheim猜想的特殊二次型.即使在这些情况下，人们也可以说几乎所有的二次型都保持两个渐近极限相同（[Eskin-Margulis-Mozes'98，定理2.4]）。在本文中，我们将这一结果推广到$S$ -算术版本。
Quantitative Oppenheim Conjecture for Random Quadratic Forms and Optimal Variance Bounds in Function Fields
在函数域中证明了Oppenheim猜想的定量版本，通过计算Siegel变换的高阶矩，得到了集合中格点数的方差最优界，并精确计算了球内格点数的方差。
On Oppenheim-type conjecture for systems of quadratic forms
设Q_i，i=1，.，t，是d元实非退化不定二次型。我们研究了在什么条件下集合{（Q_1（x），.，Q_t（x））：x \in Z^d-{0}}包含（0，..，0）。作为推论，我们推导出关于g \in GL（d，R）的集合Δ的大小的几个结果，使得集合{（Q_1（gx），.，Q_t（gx））：x \in Z^d-{0}}包含（0，.，0）。当依赖于超曲面{Q_i=0}，i=1，.，t，集合Δ有全Haar测度或测度零，且有豪斯多夫维数d^2-（d-2）/2.
Quantitative Oppenheim in signature $(2,2)$ via determinant values
研究特征标(2,2)下定量奥本海姆定理，通过将问题转化为\(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)中格的行列式值问题，利用修改高度和避免策略给出新证明，得到非行列式有理格的相关渐近公式。
On the density at integer points of a system comprising an inhomogeneous quadratic form and a linear form
我们证明了一个类似的奥本海默猜想的系统，包括一个非齐次二次型和一个线性型在$3$变量使用仿射格空间上的动力学。
Effective density for inhomogeneous quadratic forms I: generic forms and fixed shifts
我们建立了一般非齐次二次型的奥本海猜想的有效形式。我们证明了这样的结果固定的移位向量和一般的二次型。当移位是合理的，我们证明了一个计数结果，这意味着一般的非齐次形式的值的最佳密度。对于固定的无理移位，我们也得到了一个类似的密度结果，满足一个明确的丢番图条件。主要的技术工具是一个公式的Siegel变换的某些同余式的$\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$，我们认为是独立的利益。在续集中，我们使用不同的技术来处理的同伴问题，一般的移位和固定的二次型。
Quadratic forms of signature $(2, 2)$ or $(3, 1)$ I: effective equidistribution in quotients of $\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$
本文证明了$\mathrm{SO}(2, 2)$和$\mathrm{SO}(3, 1)$的次球面子群轨道在$\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$的多项式误差项下的一个有效的等分布定理。在即将发表的论文中，我们将使用这个定理来证明一个有效的版本的奥本海默猜想的不定二次型的签名$(2, 2)$或$(3, 1)$的多项式错误率。
Effective density for inhomogeneous quadratic forms II: fixed forms and generic shifts
我们建立了一般非齐次二次型的奥本海猜想的有效形式。我们证明了这样的结果固定二次型和一般的移位。我们的结果补充了我们的同伴论文，我们认为通用形式和固定的移位。本文利用遍历定理，特别是对不具有Kazhdan性质（T）的正交群的某些表示，建立了一个强谱间隙及其有效界。
Small Values of Indefinite Diagonal Quadratic Forms at Integer Points in at least five Variables
对于任何$\varepsilon > 0$，我们得到了求解丢番图不等式$\lvert Q[m] \rvert < \varepsilon$的非零整数点$m \in \mathbb{Z}^d \setminus \{0\}$的大小的有效估计，其中$Q[m] = q_1 m_1^2 + \ldots + q_d m_d^2$表示以$d \geq 5$为变量的非奇异不定对角二次型.为了证明我们的奥本海姆猜想的定量变体，我们将Birch和Davenport [BD 58b]开发的方法扩展到更高的维度，并结合Schlickewei [Sch85]的定理。所得到的结果是一个最佳的扩展Schlickewei的结果，给小零的整二次型的签名$(r,s)$，对角线形式的增长因子可以忽略不计的依赖范围。
The n-point correlation of quadratic forms
本文研究了二次型Q_i的值集在整点处的分布。特别是，我们感兴趣的是这个集合的n点相关性。给出了计数函数的渐近性质，该函数计数整数点$\left(v_{1},\dots,v_{n}\right)$的n元组的个数，且范数有界，使得n-1个差分$Q\left(v_{1}\right)-Q\left(v_{2}\right),\dots Q\left(v_{n-1}\right)-Q\left(v_{n}\right)$位于规定的区间内.只要该二次型的秩不小于5，不是有理型的倍数，且n不大于该二次型的秩，则上述结果是有效的.对于某些满足丢番图条件的二次型，我们得到了极限的速率。这些证明是以F. G $ö$ tze和G.马古利斯，他们在其中证明了奥本海猜想的一个“有效”版本。特别是，证明依赖于傅里叶分析和某些θ级数的估计。
Quantitative strong approximation for quaternary quadratic forms
本文证明了任意光滑非分裂射影二次曲面上有理点定量分布的渐近公式并取得实数位最佳误差项，同时研究了三维穿孔仿射锥上整点的增长，建立了 Brauer--Manin 障碍下的定量强逼近。
Quantitative strong approximation for ternary quadratic forms III
本文通过Hardy-Littlewood圆方法的δ变体，研究三次二次型的整数点计数问题，并将其与Brauer-Manin障碍联系起来。
Effective equidistribution in rank 2 homogeneous spaces and values of quadratic forms
本文在绝对秩2的拟分裂几乎单线性代数群商空间中建立了带多项式误差率的幂幺轨道有效等分布定理，并据此给出不定三元二次型整点取值分布的定量结果，从而有效且定量地证明了Oppenheim猜想。
An effective equidistribution result for $SL(2,R)\ltimes(R^2)^{\oplus k}$ and application to inhomogeneous quadratic forms
设$G=$ SL $(2,R)\ltimes(R^2)^{\oplus k}$和$Γ$是SL $(2,Z)\ltimes(Z^2)^{\oplus k}$的同余子群。我们证明了$Γ\backslash G$中特殊类型的幂幺轨道投影到SL $(2,Z)\backslash$ SL $(2,R)$中的闭时环上的多项式有效的渐近等分布结果.作为应用，我们证明了二次型$(m_1-α)^2+(m_2-β)^2-(m_3-α)^2-(m_4-β)^2$，丢番图型$(α,β)$的有效的定量Oppenheim型结果，遵循Marklof [24]使用θ和的方法。
Quantitative strong approximation for ternary quadratic forms II
本文利用 Heath-Brown 的 Hardy–Littlewood 圆法 $\delta$ 变体，证明整三元二次型仿射曲面上的有理点在除去有限位置后的 adelic 空间中等分布，推进 Linnik 问题研究。
Values of indefinite quadratic forms at integral points and flows on spaces of lattices
这篇论文主要集中在两个领域最近证明的猜想：A）A。Oppenheim关于实不定二次型在整点的值。B）Dani、Raghunathan和Margulis关于像${\BSL}_n(\R)/{\BSL}_n(\Z)$这样的格空间中轨道闭包的猜想。初看起来，A）属于解析数论，B）属于遍历和李理论，它们似乎完全不相关。在此一并讨论它们，是因为M. S. Raghunathan，也就是说，B）的一个特例产生了A）的一个证明。
Hilbert's Irreducibility Theorem and Ideal Class Groups of Quadratic Fields
我们证明了一个版本的希尔伯特的不可约定理在二次的情况下，给出一个定量的改进结果的Bilu-Gillibert在此限制设置。作为应用，我们改进了具有某些类型理想类群的二次域的计数的几个定量结果。证明的主要定理是基于结果斯图尔特和顶部的价值观的二进制形式模平方。
Lattice point problems and distribution of values of quadratic forms
对于d维无理椭球E（d >= 9），我们证明了当r趋于无穷大时，rE中的格点个数近似于rE的体积，误差为o（r^{d-2}）.该估计改进了早期作者的O（r^{d-2}）阶界，该界对任意椭球都成立，并且对有理椭球是最优的。作为应用，我们证明了Davenport和Lewis的一个猜想，即正定无理二次型Q[x]，x在R^d中的连续值之间的间隔，例如Q[Z^d]中的s<n（s），s，n（s）是收缩的，即，n（s）- s -> 0，因为s -> \infty，对于d >= 9。为了比较，注意对于有理数Q[x]和d>= 5，sup_s（n（s）-s）< \infty和\inf_s（n（s）-s）>0。作为推论，我们导出了不定无理二次型的奥本海猜想，即，当d ≥ 9时，集合Q[Z^d]在R中稠密，这已由G. Margulis在1986年使用其他方法。最后，我们提供了明确的边界误差的某些特征的三角和。
Distribution of Values of Quadratic Forms at Integral Points
在$d$维双曲或椭圆壳$\{m : a<Q[m]<b\}$中，格点的数量被限制在重新缩放和增长的区域$r\;Ω$中，由体积近似。基于二次型$Q$的丢番图逼近性质，证明了该逼近的有效误差界为$o(r^{d-2})$阶。这些结果允许显示以前的非有效的结果在定量奥本海默问题的有效变体，并扩展已知的有效结果在尺寸$d \geq 9$尺寸$d \geq 5$。它们适用于$b-a$与$r$一起增长时的宽壳，以及正定形式$Q$。对于不定形式，他们提供明确的界限（取决于签名或丢番图性质的$Q$）的大小非零整数点$m$在维度$d\geq 5$解决丢番图不等式$|Q[m]| < \varepsilon$，并提供误差界可比的积极形式的权力$\log r$。
Quantitative strong approximation for ternary quadratic forms I
本文研究不定三元整系数二次型在局部条件下的定量强逼近，利用 Heath-Brown 的 δ 圆法得到含次级项、且允许 m 随 B 增长的整数解计数渐近公式。
A survey and a result on inhomogeneous quadratic forms
本文综述无理非齐次二次型整数点取值的奥本海姆猜想类比研究，并证明二元情形下避开给定可数集的二次型集合具有满豪斯多夫维数，同时借助齐性动力学方法处理平移量固定的精细变体。
Pair correlation densities of inhomogeneous quadratic forms
在$(α,β)\in\RR^2$上的显式丢番图条件下，证明了由值$(m-α)^2+\break (n-β)^2$和$(m,n)\in\ZZ^2$给出的序列的局部两点相关是泊松过程的局部两点相关.这部分地证实了Berry和Tabor [2]关于量子化可积系统谱统计的猜想，并且也建立了关于特征（2，2）的非齐次二次型的Oppenheim猜想的定量版本的一个特例。证明使用theta和和Ratner的分类的措施不变unipotent流。
Moments of Quadratic Hecke $L$-functions of Imaginary Quadratic Number Fields
本文研究了$\mathbb{Q}(i)$和$\mathbb{Q}(ω)$ with $ω= exp(2πi/3)$中与二次特征标相关的Hecke $L$ -函数的中心值的矩，并建立了这些$L$ -值的一些定量的非零结果.
Translation invariant quadratic forms in dense sets
将Roth关于三项等差数列的定理推广到至少17个变量的平移不变二次型.我们使用傅立叶分析，限制理论，一致性规范和罗斯的密度增量方法来显示没有任何非平凡的解决方案的整数子集的定量估计。
Quadratic residues and non-residues for infinitely many Piatetski-Shapiro primes
本文证明了$\mathbb{N}^+$的每一个非空有限子集都是一个具有$1\leqslant c\leqslant243/205$的$[n^c]$形式的无穷多个素数的二次剩余集这一命题的一个定量版本。相应地，在合理的假设下，对于二次非剩余的情形，我们也可以得到类似的结果。这些结果推广了S.在某些方面，莱特。
Moments and One level density of quadratic Hecke $L$-functions of $\mathbb{Q}(ω)$
本文给出了$\mathbb{Q}(ω), ω=\exp \left( \frac {2πi}{3}\right)$的二次Hecke Gauss和的显式估计.作为应用，我们研究了$\mathbb{Q}(ω)$的二次Hecke $L$ -函数的中心值的矩，建立了$L$ -值的定量非零性结果.我们还建立了$\mathbb{Q}(ω)$的二次Hecke $L$ -函数的低零点的一个能级密度结果。
Values of Inhomogeneous Forms at S-integral points
我们证明了有效版本的奥本海姆猜想的一般非齐次形式的S-算术设置。我们证明了一个有效的结果，固定的合理移位和一般形式，我们还证明了一个结果，其中的二次型和移位都允许变化。为了做到这一点，我们证明类似的罗杰斯矩公式的$S$ -算术同余式以及仿射格空间。我们认为，后一项结果具有独立利益。
On the rank of quadratic twists of elliptic curvers over function fields
我们证明了一个给定的椭圆曲线$E/\Fp_q(C)$在一个函数域上的有限域，有秩$\geq 2$的二次扭曲的数量的定量上界，并为他们的平均秩。主要工具是结构和结果的卡茨和统一版本的Chebotarev密度定理品种在有限域。此外，我们有条件地推导出在某些情况下，导体的程度是无界的一个界。
Some new results in quantitative Diophantine approximation
本文针对对角三元不定形式的一参数族，建立了两个定量丢番图逼近的新结果，分别涉及素数点上的二次形式与整数点上的任意次数非齐次形式。
Average estimates and sign change of Fourier coefficients of cusp forms at integers represented by binary quadratic form of fixed discriminant
在这篇文章中，我们建立了一个平均行为的归一化傅里叶系数的Hecke本征形支持在整数表示的任何原始整数正定二元二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$。我们还获得了一个定量的结果的序列的归一化的傅里叶系数$λ_{f}(n)$的Hecke本征形式$f$的$n$是由任何原始的整数正定二进制二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$在间隔$(x,2x]$，足够大的$x$的符号变化的数量。
On the analytic theory of isotropic ternary quadratic forms II
本文为特殊三元二次型给出哈塞原理定量补充的独立初等证明，并由此细化渐近结果、得到若干推论。
A collage of results on the divisibility and indivisibility of class numbers of quadratic fields
本文综述了二次域类数可除性的近期结果，并探讨了Izuka猜想及其定量方面。
On the $p$-ranks of the ideal class groups of imaginary quadratic fields
对于素数$p \geq 5$，我们明确地构造了一类虚二次域$K$，其理想类群$Cl_{K}$具有$p$ -秩${\rm{rk}_{p}(Cl_{K})}$至少为$2$ .在$abc$ -猜想的假设下，我们还定量地证明了：对于充分大的正实数$X$和任意具有$0 < \varepsilon < \frac{1}{p - 1}$的实数$\varepsilon$，具有判别式$d_{K}$ $\leq X$和${\rm{rk}_{p}(Cl_{K})} \geq 2$的绝对值的虚二次域$K$的个数为$\gg X^{\frac{1}{p - 1} - \varepsilon}$ .这改进了先前已知的下限$X^{\frac{1}{p} - \varepsilon}$由于Byeon和最近的界限$X^{\frac{1}{p}}/(\log X)^{2}$由于Kulkarni和莱文。
Transcendence of $p$-adic continued fractions and a quantitative $p$-adic Roth theorem
本文研究了p进数列的超越性，证明回文和拟周期性p进数列收敛于超越数或二次无理数，并提供了一个量化版的p进Roth定理。
Moments of Margulis functions and indefinite ternary quadratic forms
本文通过建立Margulis α-函数沿单幂轨道扩张平移的λ-矩一致界，并引入新高度函数刻画经典Margulis不等式的失效，从而证明了不定三元二次型Oppenheim猜想的定量版本。
On the Quantitative Bounds of Nonlinear Roth Theorem
该研究针对不含非平凡多项式进展$(x, x + y, x + y^2)$的子集$A \subseteq \{1, \dots, N\}$，推导了其大小的定量上界，通过发展密度增量框架、多线性转移原理等技术完成证明，为非线性Roth定理提供了严格的定量界。
Fourier Spectral Reciprocity and Canonical Hecke $L$-Functions
本文证明数域上的傅里叶型环面谱互反公式，将其应用于CM域的典范赫克L-函数，得到含中心值与导数的一致一阶矩公式，结合次凸性界给出相关定量非零及Mordell-Weil秩1结果。
Equidistribution of bounded torsion CM points
在虚二次域上求平均，我们定量地证明了3-挠类的CM点在类群中的等分布。我们猜想，这种均匀分布保持与任何固定的奇数阶理想相关联的点。我们证明了在这个方向上的部分均匀分布的结果，并提出了经验证据。
Sets whose differences avoid a bracket quadratic
该研究针对差集避免特定括号二次式的整数集合，利用Green-Tao定理建立指数和估计，证明此类集合的大小上界，还将结果扩展至差集避免广义多项式的情形。
Equidistribution of values of linear forms on quadratic surfaces
本文研究了二次曲面上整数点处线性映射的值集的分布。特别是，它表明，在一定的代数条件下，这一套是equidistributed。这可以被认为是[2011arXiv1111.4428S]主要结果的定量版本。所使用的方法是基于A. Eskin，S. Mozes和G. [MR1609447]中的Margulis。具体地说，它们依赖于幂单流的等分布特性。
Asymptotic distribution for pairs of linear and quadratic forms at integral vectors
本文研究整向量上二次型与线性型对的值的联合分布问题，在特定维数、无理性及符号差条件下，得到满足范数与取值区间约束的整向量数量的渐近公式，推进了相关数论与动力系统领域的定量研究。
Values of ternary quadratic forms at integers and the Berry-Tabor conjecture for 3-tori
本文通过研究三次二次型在整数上的取值，验证了伯里-塔布猜想在三维扭体中的适用性，解决了特殊对角型在不同缩放下的分布问题。
Quantitative twisted patterns in positive density subsets
本文通过用多项式轨道替代随机游走，并建立一致的 Furstenberg-Sárközy 定理，对正密度子集中大差集在齐次多项式下的像的结构给出了定量改进。
$S$-integral quadratic forms and homogeneous dynamics
本文利用齐次动力学研究多变量整二次型，给出 $S$-整等价判据与 $S$-整正交群有限生成集，并以系数大小的多项式界推广已有结果。
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