发表机构
Korea Institute for Advanced Study; Yale University（韩国高等研究院; 耶鲁大学）
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研究特征标(2,2)下定量奥本海姆定理，通过将问题转化为\(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)中格的行列式值问题，利用修改高度和避免策略给出新证明，得到非行列式有理格的相关渐近公式。
AI 中文摘要
我们给出了特征标(2,2)下定量奥本海姆定理的新证明，该定理最初由埃斯金 - 马古利斯 - 莫泽斯证明。我们将问题重塑为关于\(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)中格上的行列式值问题。行列式\(\det\begin{pmatrix}x&y\\ z&w\end{pmatrix}=xw - yz\)是特征标(2,2)的二次型，且该特征标的每个实二次型都可通过实线性变量变换由它得到。对于每个非行列式有理的丢番图格\(\Lambda<\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)以及任意\(a < b\)，我们证明了\(\#\{v\in\Lambda:\|v\|<T,\ a<\det v<b\}\)的渐近公式。主项有与\((b - a)T^2\)成比例的非奇异贡献，当\(0\in(a,b)\)时，有理各向同性平面可能有奇异贡献。证明遵循修改高度和避免策略，在\(2\times2\)情形下表示理论和子水平估计很基础，且有理各向同性平面对于非行列式有理格构成有限集。
英文摘要
We give a new proof of the quantitative Oppenheim theorem in signature $(2,2)$, originally proved by Eskin-Margulis-Mozes, by recasting the problem as one about determinant values on lattices in $\operatorname{M}_2(\mathbb R)$.
Comments42 pages
