差集避免括号二次式的集合
Sets whose differences avoid a bracket quadratic
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中文总结 AI 辅助
该研究针对差集避免特定括号二次式的整数集合，利用Green-Tao定理建立指数和估计，证明此类集合的大小上界，还将结果扩展至差集避免广义多项式的情形。
中文摘要 AI 辅助
设整数集合$A\subseteq\{1,\dots,N\}$不存在不同的$a,a'\in A$使得$a-a'=n\lfloor\sqrt[3]2n\rfloor$（$n\in\mathbb{N}$）。我们证明存在绝对常数$c>0$使得$|A|\ll N^{1-c}$。为此，我们对某些括号二次式集合的van der Corput性质证明定量界，这是通过利用Green和Tao关于幂零流形上多项式轨道定量均匀分布的定理，对这些集合建立指数和估计得到的，该方法紧密遵循Neale的思路，Neale后续证明了一个华林型结果。我们还将结果扩展到差集避免一族括号多项式（也称为广义多项式）的情况。
英文摘要
Suppose a set of integers $A\subseteq\{1,\dots,N\}$ has no solutions to $a-a'=n\lfloor\sqrt[3]2n\rfloor,$ for distinct $a,a'\in A,$ and $n\in \mathbb{N}.$ We show that $|A|\ll N^{1-c}$ for some absolute constant $c>0.$ To do this, we prove quantitative bounds on the van der Corput property for certain sets of bracket quadratics. This comes as a consequence of establishing exponential sum estimates for these sets, utilising a theorem of Green and Tao on the quantitative equidistribution of polynomial orbits on nilmanifolds, closely following the approach of Neale who went on to prove a Waring-type result. We also extend our result to differences avoiding a family of bracket polynomials (also known as generalised polynomials).
发表机构
- University of Warwick（华威大学）
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