正密度子集中的定量扭曲模式
Quantitative twisted patterns in positive density subsets
AI总结：
本文通过用多项式轨道替代随机游走，并建立一致的 Furstenberg-Sárközy 定理，对正密度子集中大差集在齐次多项式下的像的结构给出了定量改进。
摘要：
我们对最近得到的关于大差集在某些二次型和其他齐次多项式下的像的结构的结果进行了定量改进。先前的证明使用了 Benoist-Quint 关于 $\operatorname{SL}_r(\mathbb{Z})$ 的某些子群（这些二次型的对称群）中随机游走的深刻结果，而这些结果不具有定量性质。我们的新观察依赖于注意到，与其研究随机游走，不如考虑这些群作用的多项式轨道，这些轨道不包含在 $\mathbb{Z}^r$ 的小指数子模的陪集中，从而可以获得更具定量性的结果。我们的主要新技术工具是一个一致的 Furstenberg-Sárközy 定理，该定理适用于一大类不一定在零点消失的多项式，这可能具有独立的研究意义，并且是由密度增量论证和 Hua 关于多项式指数和的界推导出来的。
英文摘要：
We make quantitative improvements to recently obtained results on the structure of the image of a large difference set under certain quadratic forms and other homogeneous polynomials. Previous proofs used deep results of Benoist-Quint on random walks in certain subgroups of $\operatorname{SL}_r(\mathbb{Z})$ (the symmetry groups of these quadratic forms) that were not of a quantitative nature. Our new observation relies on noticing that rather than studying random walks, one can obtain more quantitative results by considering polynomial orbits of these group actions that are not contained in cosets of submodules of $\mathbb{Z}^r$ of small index. Our main new technical tool is a uniform Furstenberg-Sárközy theorem that holds for a large class of polynomials not necessarily vanishing at zero, which may be of independent interest and is derived from a density increment argument and Hua's bound on polynomial exponential sums.
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