On monoids of ideals of orders in quadratic number fields
Johannes Brantner, Alfred Geroldinger, Andreas Reinhart
我们确定的悬链线度的集合，距离的集合，以及非零理想的幺半群和二次数域中的可逆理想的幺半群的长度的集合的并集。
We determine the set of catenary degrees, the set of distances, and the unions of sets of lengths of the monoid of nonzero ideals and of the monoid of invertible ideals of orders in quadratic number fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On monoids of weighted zero-sum sequences and applications to norm monoids in Galois number fields and binary quadratic forms
设$G$是一个加法有限阿贝尔群，$Γ\subset \operatorname{End} (G)$是$G$的自同态群的子集.如果存在$γ_1, \ldots, γ_{\ell} \in Γ$使得$γ_1 (g_1) + \ldots + γ_{\ell} (g_{\ell})=0$，则$G$上的序列$S = g_1 \cdot \ldots \cdot g_{\ell}$是（$Γ$ -）加权零和序列。我们从赋范幺半群（具有Galois群$Γ$的Galois代数数域的幺半群）和正整数幺半群（用二元二次型表示）到加权零和序列幺半群构造了转移同态.然后研究了加权零和序列幺半群的代数和算术性质。
The monotone catenary degree of monoids of ideals
整环上的理想分解是乘法理想理论的一个中心问题。本文研究理想的幺半群，并考虑理想分解为乘不可约理想。重点讨论了弱Krull Mori整环上的非零除理想么半群和$v$ -可逆除理想么半群.在适当的代数有限性条件下，我们建立算术有限性的结果，特别是单调悬链线度和结构的长度集和工会。
On the arithmetic of monoids of ideals
本文研究了Krull和弱Krull Mori整环的可逆理想幺半群的代数和算术结构（更确切地说，是某些理想系统$r$的$r$ -可逆$r$ -理想的幺半群）.我们还研究了Noether整环上至少有两个不定元的多项式环的所有非零理想的幺半群。其中，我们证明了它们不是转移Krull，但它们与具有无限类群和在所有类中有素除子的Krull么半群有几个算术现象。
Radical factorization in commutative rings, monoids and multiplicative lattices
本文在抽象理想论的背景下研究了根分解的概念，目的是对交换环、幺半群和理想系统文献中的根理想和根元素的分解理论给出一个统一的方法。利用这种方法，我们得到新的刻画类的环的理想是一个产品的根理想，我们也得到类似的刻画类的理想系统在幺半群和星理想在整环。
Radical factorization in finitary ideal systems
本文研究了可消么半群的有限理想系统的根分解的概念。给出了r-几乎Dedekind的r-SP-幺半群的新刻画，并给出了t-几乎Dedekind的t-SP-幺半群和w-SP-幺半群的具体刻画.证明了么半群是w-SP-么半群当且仅当每个非平凡主理想的根是t-可逆的。我们刻画了么半群环是w-SP-整环的条件，并对有限型的星运算 * 刻画了 *-Nagata环是SP-整环的条件.
Discriminants and the monoid of quadratic rings
我们考虑了任意基方案上的二次环集合上的自然幺半群结构，并用判别式刻画了这个幺半群。
Factorization in the Monoid of Integrally Closed Ideals
给定一个诺特环$A$，$A$中所有包含非零因子的整闭理想的集合，记为$ic(A)$，在运算$I*J=\overline{IJ}$下形成一个可消幺半群，该运算是乘积的整闭包。幺半群是无挠的和原子的--$A$中的每一个包含非零因子的整闭理想都可以在这个$*$ -积中分解为$*$ -不可约的整闭理想。限制在$A$是多项式环且理想是单项式的情形下，证明了在牛顿多面体平移不变性的条件下，存在从整多面体群到整闭单项式理想的Grothendieck群的满同态.值得注意的是，整数多面体群，在闵可夫斯基加法和平移不变性下具有整数顶点的多面体的格罗滕迪克群，具有显式基，允许在幺半群中显式因式分解。
Ideal extensions of free commutative monoids
本文引入间隙吸收幺半群，证明其链次度至多四且长度集为区间，并给出理想扩张的ω-素性界及有限间隙的等价条件。
The isomorphism problem for ideal class monoids of numerical semigroups
本文利用数值半群间隙偏序集可唯一恢复半群的性质，证明最小值为零的理想偏序集及理想类幺半群的同构均可唯一确定数值半群。
When the poset of the ideal class monoid of a numerical semigroup is a lattice
本研究刻画了理想类幺半群偏序集为格的数值半群，同时探究了该类格中关于并、交、上下确界的不可约元，丰富了数值半群相关结构的研究内容。
Apéry sets and the ideal class monoid of a numerical semigroup
本文研究了由V.Barucci和F. Khouja。证明了$\mathcal{C}\ell(S)$基数的新的界。我们观察到$\mathcal{C}\ell(S)$同构于$S$的最小元素为0的理想幺半群，这有助于将$\mathcal{C}\ell(S)$与$S$的Apéry集和Kunz坐标联系起来。研究了$\mathcal{C}\ell(S)$的一些组合和代数性质，包括理想的约化数，以及$\mathcal{C}\ell(S)$关于包含和加法的Hasse图.从这些图中，我们可以恢复一些值得注意的不变量的半群。最后，我们证明了关于$(\mathcal{C}\ell(S),+)$的不可约元、原子、夸克和素数的一些结果。幂等理想与上半群一致，幂等夸克对应于半群的酉扩张。我们证明了一个数值半群是不可约的当且仅当$\mathcal{C}\ell(S)$至多有两个夸克。
Ideal class groups of monoid algebras
设$A\subset B$是交换约化环的扩张，$M\subset N$是正交换可消无挠幺半群的扩张.证明了$A$在$B$中是次整闭的，$M$在$N$中是次整闭的当且仅当$B$的可逆$A$ -子模群同构于$B[N]$的可逆$A[M]$ -子模群.在$M=N$的情况下，我们证明了相同的假设，环的扩张是减少。
Minimal generators of the defining ideal of the Rees Algebra associated to monoid parametrizations
我们描述了一个最小的一组发电机的定义理想的里斯代数相关联的适当参数化的任何幺半群超曲面。在平面曲线的情况下，我们恢复了一个已知的描述有理参数化具有最小程度的合点（μ=1）。我们还证明了我们的方法可以应用于具有Hilbert-Burch分辨率μ_1=μ_2=1的有理曲面的参数化。
Riesz and pre-Riesz monoids
称一个有向偏序可消整除幺半群$M$为Riesz幺半群，如果对$M,$ $x\leq y_{1}+y_{2}\Rightarrow x=x_{1}+x_{2}$中的所有$x,y_{1},y_{2}\geq 0$，其中$0\leq x_{i}\leq y_{i}$。本文研究了Riesz幺半群$% M $与$M^{+}=\{x\geq 0|x\in M\}=M$生成Riesz群的充要条件，并给出了一些应用.我们称之为定向邮政信箱幺半群$M$ $Π$ -pre-Riesz如果$% M^{+}=M$和对于所有$x_{1},x_{2},...,x_{n}\in M$，$% glb(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$或有$r\in Π$使得$0<r\leq x_{1},x_{2},...,x_{n},$对于$M.$的某些子集$Π$我们探索$Π$ -pre-Riesz幺半群的例子$\star $ -不同类型的理想。例如，我们表明，如果$M$是幺半群的非零（积分）理想的诺特域$D$和$Π$集的可逆理想，$M$是$Π$ -前Riesz当且仅当$D$是一个戴德金域。我们还研究了某种类型的pre-Riesz么半群的因子分解，并将其与整环上理想的因子分解理论联系起来。
On atoms and their density in the monoid of monomial ideals
本文研究多项式环中单项式理想幺半群的原子的结构与分布，刻画了至多四个极小生成元的原子，证明了原子密度的存在性并给出其渐近行为，同时在二元情形得到统一下界。
Decompositions of commutative monoid congruences and binomial ideals
交换幺半群同余的准素分解对交换环中的准素分解的某些特征不敏感。这些特征被更精细的同余解的介元分解理论所捕捉，这里介绍的是完整的见证人和相关的素对象。中初等分解的组合理论提升到幺半群代数中的任意二项理想。所得的二项式中初等分解是一种新的二项式理想的交分解，具有计算效率和独立于基域假设。二项式准素分解很容易从中间主分解中恢复出来。
One-dimensional monoid algebras and ascending chains of principal ideals
本文构造了第一个已知的满足几乎ACCP但不满足ACCP的一维幺半群代数，为不满足主理想升链条件的原子整环提供了迄今最基本的例子。
Gröbner bases and Betti numbers of monoidal complexes
本文考虑幺半群复形及其相应的代数，称为复环面环。这些环推广了Stanley-Reisner环和仿射幺半群代数。计算复曲面环的表现理想的初始理想，并确定其分次贝蒂数.我们的结果推广了组合交换代数中著名的Hochster定理.
On strongly primary monoids, with a focus on Puiseux monoids
准素幺半群和强准素幺半群和整环在交换幺半群和整环的理想和因子分解理论中起着核心作用。众所周知，满足除理想上的升链条件条件的准素幺半群（例如，数值么半群）是强准素的;一维局部区域的非零元素的乘法么半群是准素的，如果区域是诺特的，则它是强准素的。本文主要研究非负有理数的可加子幺半群，称之为Puietrix幺半群。很容易看出，Puienix幺半群是准素幺半群，我们提供的条件，确保他们是强准素的。然后，我们研究了局部和全球驯服的强主Puienix幺半群，最值得注意的是，我们建立了一个代数特征时，Puienix幺半群是全球驯服。此外，我们还得到了所有局部驯服强准素幺半群的长度集的结构的一个结果。
Non-commutative Krull monoids: A divisor theoretic approach and their arithmetic
一个（不一定是交换的）Krull幺半群--由Wauters引入-被定义为一个完全整闭幺半群，它满足除双边理想上的升链条件条件。我们研究了这些Krull幺半群的结构，无论是与理想的理论和因子理论的方法。其中，我们表征正规化Krull幺半群的除数理论。在此基础上，给出了Krull么半群是有界分解么半群的一个判别准则，并给出了具有有限Davenport常数的正规化Krull么半群的算术有限性结果.
Subintegrality and ideal class groups of monoid algebras
本文研究幺半群代数扩张中的子整性，证明在含ℤ的环上子整与弱子整等价，并给出商环子整闭性与可逆子模理想类群同构之间的等价刻画。
Terminal spaces of monoids
本文将环、半环和模的Zariski拓扑结果推广至幺半群的强不可约理想（终端空间），证明其$T_0$、拟紧等拓扑性质，并刻画了算术幺半群及子空间稠密的充要条件。
F-Splittings of seminormal monoid algebras
本文针对特征p>0的半正规仿射环面簇，利用Frobenius迭代潜在分裂的组合描述，给出了F-分裂比的简单公式，并计算了Cartier代数下的稳定理想（含测试理想）。
Factorizations of the same length in abelian monoids
设$\mathcal S \subseteq \mathbb Z^m \oplus T$是一个可生成的约化幺半群.在本文中，我们开发了一个通用的策略来研究$\mathcal S$中的元素集至少有两个相同长度的因子分解，即理想的$\mathcal L_{\mathcal S}$。为此，我们使用与幺半群$\mathcal S$相关的某个（格）理想。我们的研究可以看作是对\cite{chapman:2011}的一种新的推广，它只研究数值半群的情形。当$\mathcal S$是数值半群时，我们给出了三个主要结果：（1）当$\mathcal S$由几乎等差数列极小生成时，我们显式地计算了理想$\mathcal L_{\mathcal S}$的生成元集：（2）我们给出了一个无穷族的数值半群，使得$\mathcal L_{\mathcal S}$是主理想;（3）将确定不在$\mathcal L_{\mathcal S}$中的最大整数的计算问题归类为$\mathcal{NP}$ -困难问题。
Value Monoids of Zero-Dimensional Valuations of Rank One
传统上，Groebner基是通过首先规定一个集合单项式阶来计算的。Moss Sweedler提出了一种替代方案，并开发了一个框架，通过使用赋值环代替单项式订单来执行此类计算。我们建立在这些想法，提供了一个类的两个变量的有理函数域，适合于这个框架的估值。对于这些估值，我们明确地计算一个基本的多项式环的图像，并使用它来执行计算理想的多项式环。有趣的是，对于这些赋值，一些理想具有关于赋值的有限Groebner基，而不是关于任何单名阶的Groebner基，而其他理想仅具有关于赋值的无限Groebner基。
Factorizations of polynomials with integral non-negative coefficients
本研究分析了$\mathbb{Z}[x]$中具非负系数的非零多项式构成的交换乘法幺半群$\mathbb{N}_0[x]^*$的结构，证明其非半因子、非Krull幺半群但与Krull幺半群结构相似，并研究了其理想、素理想等性质。
On the arithmetic of polynomial ideals
本文研究多项式环中理想monoid的原子分解，通过扩展现有技术构建新原子家族，深入探讨其算术性质及monomial理想子monoid的结构。
On monoid algebras having every nonempty subset of $\mathbb{N}_{\ge 2}$ as a length set
本研究构造满足主理想升链条件的幺半群代数，证明其可实现自然数≥2的任意非空子集为长度集，丰富了相关代数结构研究。
On some partial orders associated to generic initial ideals
研究了${x_1,...,x_n}$上的自由交换幺半群$[x_1,...,x_n]$上的两个偏序.这些偏序，我们称之为“强稳定”和“稳定”偏序，是由它们的滤子恰好是强稳定和稳定么半群理想的性质定义的。这些理想出现在研究一般的初始理想。
Conic divisor classes over a normal monoid algebra
设R=K[M]是域K上的正规仿射幺半群，在同构下锥理想恰是R的扩张R^{1/n}的直和项.我们证明了圆锥除子理想的类可以用与M自然相关的环面的分解中的全维开胞来识别。此外，它们可以由与它们相关联的某个群的相对紧性来表征。Baetica给出了Cohen-Macaulay整除理想不是圆锥曲线的例子。我们回顾他的结构，并简化一些论点。在本文的最后一部分中，我们研究了R^{1/n}作为n的函数的分解中的锥类的重数。对于所有n >= 1，这个重数是一个拟多项式，计算上面提到的复形的某些胞腔内部的并中的格点。这个论证可以用来计算R在特征p > 0时的Hilbert-Kunz重数。此外，还给出了关于R的Hilbert-Kunz函数的一些结论。
Graded integral domains which are UMT-domains
设$Γ$是一个无挠可换可消么半群，$R =\bigoplus_{α\in Γ}R_α$是一个$Γ$ -分次整环，$H$是$R$的非零齐次元集.本文证明了：如果$Q$是$R$的极大$t$ -理想且有$Q \cap H = \emptyset$，则$R_Q$是赋值整环.然后，我们使用这个结果给出以下事实的简单证明：（i）$R$是UMT-Domain当且仅当$R_Q$是$R$的每个齐次极大$t$ -理想$Q$的拟Prüfer Domain;（ii）$R$是P $v$ MD当且仅当$R$的每个非零的齐次生成的齐次理想是$t$ -可逆的，当且仅当$R_Q$是$R$的所有齐次极大$t$ -理想$Q$的赋值域.设$D[Γ]$是整环$D$上$Γ$的幺半群整环.证明了$D[Γ]$是UMT-整环当且仅当$D$是UMT-整环且$Γ_S$的积分闭包是$Γ$的所有极大$t$ -理想$S$的赋值么半群.因此，当且仅当$D$是$v$ MD且$Γ$是$v$ MS时，$D[Γ]$是$v$ MD。
Cotangent cohomology of quadratic monomial ideals
研究了多项式环的直子的二次单项式理想的变形理论。更精确地说，我们计算的第一余切上同调模这样的环。给出了二阶余切上同调模为零的一个判别准则。
Lexicographic and reverse lexicographic quadratic Gröbner bases of cut ideals
希比指出，如果一个环面理想有一个二次格罗布纳基，那么这个环面理想有一个字典序或一个逆字典序的二次格罗布纳基。在本文中，我们提出了一个图的割理想，作为这个猜想的一个反例。我们还讨论了圈的割理想的二次Gröbner基的存在性。Nagel和Petrović利用Chifman和Petrović的结果声称一个圈的截理想有一个字典序二次Gröbner基。然而，我们指出，内格尔和彼得罗维奇使用的Chifman和彼得罗维奇的结果是不正确的长度为大于或等于6的循环。因此，一个圈（一个环图）的割理想的二次Gröbner基的存在性是一个开放的问题。我们还提供了一个字典式的二次Gröbner基的切理想的周期长度小于或等于7。
Quadratic linear strands of prime ideals
研究素数理想在标准 graded多项式环中的解的二次串的精确估计，证明高度为h的理想最多含h²个二次极小生成元，且存在由h²个二次式生成的理想。
Generators of the initial ideal of simplicial toric ideals
本文提出了一种通过不可约元素求和来生成简单赋值初理想的方法，并展示了如何从该生成集获得约简格式基，同时比较了格式基的最大次数与正则性。
Powers of binomial edge ideals with quadratic Gröbner bases
研究了闭图和块图的二项式边理想的幂。
Bounds on Regularity of Quadratic Monomial Ideals
Castelnuovo-Mumford正则性是理想的代数复杂性的度量。单项理想的正则性可以用组合的方法研究。我们使用一个单图分解和结构图论的结果来证明，改进和推广许多已知的二次无平方单式理想的正则性的界。
Rigid ideals by deforming quadratic letterplace ideals
当有限偏序集$P$的Hasse图是有根树时，计算了其二次字母位理想$L(2,P)$的变形空间.这些变形是畅通无阻的。变形族具有作为基环的多项式环。定义完整变形族的理想$J(2,P)$是刚性理想，并且我们显式计算它。在简单的例子情况下，$J(2,P)$是一般矩阵的极大子式的理想，反对称矩阵的Pfweans，以及梯形行列式理想。
Quadratic Gröbner bases of block diagonal matching field ideals and toric degenerations of Grassmannians
本文证明了某些$s$ -块对角匹配域的环面理想具有二次Gröbner基.因此，特别地，这些是二次生成的。利用这一结果，我们提供了一个新的家庭环面退化的格拉斯曼。
Invariant chains in algebra and discrete geometry
我们将有限生成的锥，幺半群，和理想在增加链（局部情况）的等变有限生成相应的极限对象（全球情况）。对于锥和幺半群没有类似的Noetherianity的情况下的理想，我们证明了这一点的例子。作为一种补救措施，我们找到了有限代的局部-全局对应。这些结果来自一个更一般的框架，涉及有限生成下闭包运算等变有限生成下一般家庭的地图。我们还给出了一个新的证明，非饱和的Inc不变链的理想稳定，关闭在文献中的空白。
Quadratic ideals and Rogers-Ramanujan recursions
给出了定义二重点喷流格式的二次理想族的Hilbert级数和Gröbner基的显式递归描述。我们将这些递归的罗杰斯-拉马努金身份，并证明了猜想的第二作者，Oblomkov和拉斯穆森。
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