Values of binary quadratic forms at integer points and Schmidt games
证明了对任意实数可数集$A$，使得$Q(\mathbb{Z}^2)$的闭包与$A$不相交的二元不定二次型集$Q$具有满豪斯多夫维数.
2013-11-07 math.NT
Representations of integers by certain positive definite binary quadratic forms
本文证明了Borwein和Choi关于无平方数整数N的n=x^2+Ny^2的解的个数的平方的估计的猜想的一部分。
2004-12-13 math.NT
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, I. (Smooth numbers.)
本文第三作者在[10]中给出了“光滑”（或“脆弱”）数列的加法可分解性的两个证明。Elsholtz和Harper [4]证明了（通过使用筛法）第二个（要求较低的）猜想。本文的目标是通过使用不同的方法（基于$S$ -单位方程理论）在三个方向上扩展和锐化他们的结果。
2020-06-27 math.NT
On the representation of integers by binary forms
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d$的二进制形式，其中$d$至少为$3$。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。证明了存在正数$C_F$使得$R_F(Z)$渐近于$C_F Z^{\frac{2}{d}}$ .
2018-03-23 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms
本文把分圆形式取值整数个数的既有结论推广到一般整系数二元形式族，核心是给出次数大于3的不同构二元形式公共值集合基数的渐近上界，并以典型例子验证应用。
2023-06-04 math.NT
On additive and multiplicative decompositions of sets of integers with restricted prime factors, II. (Smooth numbers and generalizations.)
本文的第一部分研究了$y$ -smooth数的集合$\F_y$的加法可分解性和移位集合$\g_y=\F_y+\{1\}$的乘法可分解性。在本文中，重点是“大”功能$y$的情况下，我们继续研究这些问题。此外，我们还研究了任意$k$的$k$ -项和集的m-可分解性问题。
2020-11-25 math.NT
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
2015-08-14 math.NT
Integers represented by binary recursive sequences
本文研究满足二元递归关系的整数序列所表示的整数，针对非退化序列，仅用两个初始值给出零项最高指标与项绝对值增长阶的界，部分界在常数因子意义下最优。
2024-08-09 math.NT
On representation of integers by binary quadratic forms
给定一个负的$D>-(\log X)^{\log 2-δ}$，我们给出了判别式$D$的本原正定二元二次型$f$的亏格的某些但不是全部形式所表示的无平方整数$<X$个数的一个新的上界.我们也给出了一个类似的上界平方自由整数的形式$q+a<X$其中$q$是素数和$a\in\mathbb Z$是固定的。结合Iwaniec的1/2维筛，这产生了由判别式$D$的二进制二次型表示的这样的整数$q+a<X$的数量的下界，其中$D$被允许如上所述随着$X$增长。一个直接的后果，这一点，来自最近的工作的作者在[BF]，是一个下界的数量素数来作为曲率在一个给定的原始整数阿波罗圆包装。
2011-05-23 math.NT
Representation of integers by sparse binary forms
我们将给新的上界的解决方案的数量不等式的形状$|F(x , y)| \leq h$，其中$F(x , y)$是一个稀疏的二进制形式，整数系数，和$h$是一个足够小的整数方面的判别式的二进制形式$F$的绝对值。我们的边界依赖于$F(x , y)$的非零系数的数量。当$F$是真正的稀疏，我们建立了一个尖锐的上界的解决方案的数量是线性的非零系数的数量。这项工作将提供肯定的答案，穆勒和施密特在1988年所提出的一些论点，为特殊但重要的情况。
2021-07-11 math.NT
Representation of integers by cyclotomic binary forms
与分圆多项式$ϕ_n(X)$相关的$φ(n)$次数的齐次形式$Φ_n(X,Y)$被称为{ \it分圆二元形式}。一个正整数$m\ge 1$被称为{ \it可由分圆二进制形式表示}，如果存在整数$n,x,y$与$n\ge 3$和$\max\{|x|, |y|\}\ge 2$使得$Φ_n(x,y)=m$。我们证明了$m$的这种表示的分圆二进制形式的数量$a_m$是有限的。更确切地说，我们有$\,φ(n) \le ({2}/ {\log 3})\log m\, $和$\, \max\{|x|,|y|\} \le ({2}/{\sqrt{3}})\, m^{1/φ(n)}.\,$我们给出了一个描述的渐近基数的一组值所采取的形式为$n\geq 3$。这将意味着整数集合$m$使得$a_m\neq 0$具有自然密度0。我们将推导出$a_m$的非零值中的整数$a_m$的平均值像$\sqrt{\log \, m}$一样增长。
2017-12-25 math.NT
On the Representation of Integers by Binary Forms Defined by Means of the Relation $(x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$
令$F$是具有整数系数、非零判别式和度$d \geq 3$的二进制形式。令$R_F(Z)$表示由$F$表示的绝对值至多为$Z$的整数的数目。在2019年，Stewart和Xiao证明了$R_F(Z) \sim C_FZ^{2/d}$对于某个正数$C_F$。我们计算$C_{R_n}$和$C_{J_n}$的二进制形式$R_n(x, y)$和$J_n(x, y)$定义的关系$ (x + yi)^n = R_n(x, y) + J_n(x, y)i$，其中变量$x$和$y$是真实的。
2022-03-06 math.NT
Completely $p$-primitive binary quadratic forms
令$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$为具有整数系数的二元二次型。对于一个素数$p$不除$f$的判别式，我们说$f$是完全$p$ -本原的，如果对于任何非零整数$N$，丢番图方程$f(x,y)=N$总是有一个整数解$(x,y)=(m,n)$，只要它有一个整数解，就有$(m,n,p)=1$。本文研究了完全$p$ -本原二元二次型的各种性质.特别地，我们给出了二元二次型$f$是完全$p$ -本原的一个充要条件。
2017-09-07 math.NT
Average estimates and sign change of Fourier coefficients of cusp forms at integers represented by binary quadratic form of fixed discriminant
在这篇文章中，我们建立了一个平均行为的归一化傅里叶系数的Hecke本征形支持在整数表示的任何原始整数正定二元二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$。我们还获得了一个定量的结果的序列的归一化的傅里叶系数$λ_{f}(n)$的Hecke本征形式$f$的$n$是由任何原始的整数正定二进制二次型的固定判别$D < 0$时，类数$h(D) = 1$在间隔$(x,2x]$，足够大的$x$的符号变化的数量。
2022-04-18 math.NT
Fast square-free decomposition of integers using class groups
本文提出一种基于二元二次型类群的算法，用于快速求 $n=a^2b$ 的无平方因子分解，在 $a,b$ 为密码学规模素数时是目前最快的方法，对依赖此类整数分解困难性的密码系统具有重要意义。
2023-08-11 math.NT
Almost all binary forms of degree $\geq 3$ fail to represent a fixed integer
该研究证明，次数≥3的整系数二元型中，能表示固定非零整数的比例随高度趋于无穷而趋近于零，核心方法为格点计数与几何分析，结果对不可约形式也成立。
2026-08-28 math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Polynomial
整数的二进制符号数字表示用于各种设置中的高效计算。Stern多项式是Stern双原子序列的一个多项式扩展，它本身已经被深入研究。在本文中，我们展示了BSD表示和斯特恩多项式之间以前未知的连接。我们推导出一个权重分布定理$i$位BSD表示的整数$n$的斯特恩多项式的$2^i-n$的系数和程度的条款。然后，我们显示新的递归斯特恩多项式，并从这些和重量分布定理获得类似的BSD递归和快速$\mathcal{O}(n)$算法，计算的数量和数量的$0$的最佳BSD表示的所有整数的NAF位长度$\log(n)$一次，然后可以比较。
2021-08-27 math.NT
Integer matrix factorisations, superalgebras and the quadratic form obstruction
我们确定和分析的障碍因式分解成产品的整数矩阵$N^T N$或$N^2$的矩阵与理性或整数条目。障碍物作为具有整数系数的二次型出现，并提出了这种形式的离散范围的问题。它们是通过考虑超代数上的矩阵分解得到的。我们进一步得到了一个公式的行列式的方阵的这些矩阵分解，以及确定一个$\it co-Latin$对称空间的伴随。
2021-03-06 math.NT
On binary quadratic forms with semigroup property
一个二次型f称为具有半群性质，如果它在整数格上的点的值在乘法下形成一个半群。Arnold的一个问题是用半群性质描述所有的二进制整数二次型。如果存在一个整数双线性映射s，使得对于整数2维格中的所有向量x和y，f（s（x，y））=f（x）f（y），则形式f具有半群性质.我们给出了具有上述性质的所有对（f，s）的显式描述。我们不知道有半群性质的形式的任何其他例子。
2005-11-18 math.NT
Gaussian Behavior of the Number of Summands in Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。我们认为，在这样的分解所涉及的被加数的分布。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键地使用了$[F_n, F_{n+1})$中的所有整数共享相同的潜在被加数这一事实。我们将这些结果推广到子区间的$[F_n, F_{n+1})$作为$n \to \infty$ ;分析是显着更多的参与，因为不同的整数有不同的潜在的被加数。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [F_n, F_{n+1})$，在子区间$[m, m + F_{α(n)})$中整数的Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，与概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当定位的索引之间的大间隙在其分解。然后，我们使用该区间和$[0, F_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一区间中具有高斯行为。对于更一般的线性递归，我们也证明了同样的结果。
2014-09-01 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers, II
本文改进了关于$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$和$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$形式的整数表示的平均数在短区间内的渐近公式的一些结果，其中$\ell_1, \ell_2\ge 2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-10-26 math.NT
Number of integers represented by families of binary forms II: binomial forms
本文研究二元二项式形式族 $aX^d+bY^d$ 对整数的表示，借助线性对数形式下界证明高次形式数量的一致界及低次形式的几乎完全表示。
2023-06-04 math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Diatomic Sequence
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制带符号数字表示是整数的另一种表示，在高效计算、编码理论和密码学中有很多用途。我们在这里链接这两个想法，表明$i$位二进制符号数表示的整数$n$与$n<2^i$是$(2^i-n)^\text{th}$元素斯特恩的双原子序列。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数整数。
2021-10-06 math.CO math.NT
Gaussian Distribution of the Number of Summands in Generalized Zeckendorf Decompositions in Small Intervals
Zeckendorf定理指出，每个正整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数${F_n}$的和，初始项为$F_1 = 1, F_2 = 2$。以前的工作证明，作为$n \to \infty$的分布的Zeckendorf分解的$m \in [F_n, F_{n+1})$，适当规范化的被加数的数量，收敛到标准正常。证明关键使用的事实，所有的整数在$[F_n, F_{n+1})$共享相同的潜在的被加数，并保持更一般的正线性递归序列$\{G_n\}$。我们将这些结果推广到$[G_n, G_{n+1})$的子区间上，对于某些序列，推广为$n \to \infty$。这里的分析要复杂得多，因为不同的整数有不同的潜在被加数集。解释，修复整数序列$α(n) \to \infty$。作为$n \to \infty$，对于几乎所有的$m \in [G_n, G_{n+1})$，整数在子区间$[m, m + G_{α(n)})$中的广义Zeckendorf分解中的被加数的分布，适当地归一化，收敛到标准正态。证明如下所示，概率倾向于$1$，$m$有至少一个适当的位置在其分解指数之间的大差距。然后，我们使用该区间和$[0, G_{α(n)})$之间的对应关系来获得结果，因为已知被加数在后一个区间中具有高斯行为。
2015-01-28 math.NT
Density of the union of positive diagonal binary quadratic forms
设$X$是一个足够大的正整数。我们证明了，可以选择一个子集$S$的素数与基数$O(\log X)$，使得一个正比例的整数小于$X$可以表示为$x^2 + p y^2$至少有一个$p \in S$。
2022-11-24 math.NT
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers
证明了整数表示形式$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$的平均数在短区间内的渐近公式，其中$\ell_1, \ell_2\in\{2,3\}$，$\ell_1+\ell_2\le 5$是固定整数，$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$，其中$\ell_1=2$和$2\le \ell_2\le 11$或$\ell_1=3$和$ \ell_2=2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
2018-06-21 math.NT
Point Decomposition Problem in Binary Elliptic Curves
研究了二元椭圆曲线上的点分解问题。众所周知，椭圆曲线群中的PDP可以归结为求解由所谓的Semaev求和多项式导出的多元非线性方程组的特定系统。我们通过引入一些辅助变量来修改基本方程组。我们认为，降低Semaev多项式的程度和增加变量的数量之间的权衡是值得的。
2015-04-18 cs.CR math.NT
Binary linear forms over finite sets of integers
设A是整数的有限集。对于多项式f（x_1，.，x_n），设f（A）= {f（a_1，.，a_n）：a_1，.，a_n \in A}。本文证明了对每对整系数的正规二元线性型f（x，y）=u_1x+v_1y和g（x，y）=u_2x+v_2y，存在任意大的整数A和B的有限集合，使得|f（A）| > |g（A）|和|f（B）| < |g（B）|.
2007-01-02 math.CO math.NT
Gaussian Behavior in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每一个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和; Lekkerkerker证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，其中$ϕ$是黄金平均数。有趣的是，更高的时刻似乎被忽略了。我们讨论的证明，分布的数目的被加数收敛到一个高斯$n \to \infty$，并评论有关分解的推广。例如，每个整数都可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。正和负被加数的分布收敛于具有可计算的负相关的二元正态分布，即$-(21-2ϕ)/(29+2ϕ) \approx -0.551058$。
2011-07-14 math.NT
On Generalized Zeckendorf Decompositions and Generalized Golden Strings
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。这个定理的一个自然的推广是看定义如下的序列：对于$n\ge 2$，设$F_{n,1} = F_{n,2} = \cdots = F_{n,n} = 1$和$F_{n, m+1} = F_{n, m} + F_{n, m+1-n}$对于所有$m\ge n$。已知每个正整数具有唯一表示为$F_{n,m}$的和，其中被加数的索引至少相隔$n$。我们称之为$n$ -分解。格里菲思证明了Zeckendorf分解和黄金弦之间的有趣关系。在本文中，我们继续的工作，以显示之间的关系$n$ -分解和广义金弦。
2020-05-29 math.NT
On the representation of $k$-free integers by binary forms
本文研究整数系数二元型所表示的无 $k$ 次因子整数计数，并在关于 $k$ 与不可约因子最大次数 $r$ 的条件下证明其具有主项为常数乘 $Z^{2/d}$ 的渐近公式。
2018-03-23 math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem to f-decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个正整数都可以唯一地分解为非连续Fibonacci数$\{F_n\}$的和，其中$F_1 = 1$，$F_2 = 2$和$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$。对于具有非负系数的一般递归$\{G_n\}$，存在合法分解的概念，其再次导致唯一表示，并且均匀随机选择的$m \in [G_n, G_{n+1})$的表示中的被加数的数量收敛于正态分布，如$n \to \infty$。我们考虑相反的问题：给定合法分解的概念，是否有可能构造一个序列$\{a_n\}$，使得每个正整数都可以分解为序列项的和？我们将合法分解的概念编码为函数$f:\N_0\to\N_0$，并说如果$a_n$处于“$f$ -分解”中，则该分解不能包含序列中紧接在$a_n$之前的$f(n)$项; $f$的特殊选择产生许多众所周知的分解（包括基- $b$、Zeckendorf和阶乘）。我们证明了，对于任何$f:\N_0\to\N_0$，存在一个序列$\{a_n\}_{n=0}^\infty$，使得每一个正整数有一个唯一的$f$分解使用$\{a_n\}$。此外，如果$f$是周期性的，则对应于$f$的唯一递增序列$\{a_n\}$满足线性递归关系。以前的研究只处理没有负系数的递归关系。我们发现一个函数$f$，产生一个序列，不能描述这样的递归关系。最后，对于一类函数$f$，…
2013-09-22 math.NT
Properties of the cumulated deficient binary digit sum
本文研究了On-LineEncyclopediaofSequences中的序列A268289，即连续整数二进制展开式中1位数与0位数之差的累积.该序列恰好匹配某些特定集合的基数序列。此外，它也可以通过使用Takagi函数来表示。这三种不同的定义各有其性质，将它们结合在一起会产生一些新的恒等式。
2019-11-10 math.NT
Succinct certificates for solutions to binary quadratic Diophantine equations
从计算复杂性理论的观点来看，二元二次丢番图方程是令人感兴趣的.它们包含了许多自然问题的特例，这些自然问题显然占据了P-NP层次结构的中间阶段，即既不是多项式时间问题，也不是NP完全问题。设L（F）表示二元二次丢番图方程F（x_1，x_2）=0的系数的二元编码长度。本文证明了L（F）中长度多项式存在一个证明，证明了这样的方程有整数解（分别为L（F）和L（F））。正整数解）。这是有趣的，因为已知存在这样的方程，其最小非负整数解是如此之大，以至于需要L（F）中的空间指数才能将其以二进制表示。这些证书是基于D. Shank的“基础设施”。
2011-07-31 math.NT
Sums of Consecutive Integers
一个自然数n的分解是一个连续的自然数序列，其和为n。我们构造了自然数的奇因子与其分解之间的一一对应关系。我们研究了长度分解，并引入了长度谱的概念。此外，我们使用图表来说明我们的证明背后的想法。
2007-01-04 math.HO math.NT
On values of binary quadratic forms at integer points
我们得到估计的整数解的数目在大球，不等式的形式$|Q(x, y)| < ε$，其中$Q$是一个不定的二元二次型，在Hurwitz连分数的扩展的斜率上的$Q$消失。该方法是基于编码的测地线上的模块化表面通过Hurwitz扩展的端点的升降机在庞加莱半平面。
2016-07-12 math.DS math.NT
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位（BSD）表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象，表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数，反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理，将这些表示与Stern多项式联系起来，整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归，源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归，以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
2021-08-30 cs.DM math.CO math.NT
Limits and decomposition of de Bruijn's additive systems
非负整数的加法系是一族（A_i）_{i \in I}，其中对于所有i个\in I，\in A_i为0，使得每个非负整数都可以唯一地写成\sum_{i\in I} a_i的形式，其中对于所有i，a_i \in A_i为a_i，并且对于只有100个i，a_i \neq为0。1956年，de Bruijn证明了每个加法系都是由一个无穷序列（g_i）_{i \in \N }构造的，其中g_i对所有i都是\geq 2，或者是这样一个系统的收缩。本文给出了“不可压缩”或“不可分解”可加系统的完整分类，并讨论了可加系统的极限和稳定性。
2017-08-04 math.CO math.NT
Fraenkel's Partition and Brown's Decomposition
用B（x，x '）表示序列（[（n-x'）/ x ]）_{n=1}^ \infty，即所谓的Beatty序列。Fraenkel分割定理给出了B（x，x '）和B（y，y'）为正整数的充要条件，即对于B（x，x ′）\cap B（y，y ′）= \emptyset和B（x，x ′）\cup B（y，y ′）= {1，2，3，.}。固定0 < x < 1，如果k \in B（x，0），则c_k = 1，否则c_k = 0，即，c_k=[（k+1）/ x ] - [ k / x]。对于正整数m，令C_m为二进制字c_1c_2c_3. c_m。布朗分解给出整数q_1，q_2，.，与m无关并且至少指数增长，以及整数t，z_0，z_1，z_2，.，z_t（取决于m），使得C_m = C_{q_t} ^{z_t}C_{ q_{t-1} }^{ z_{t-1} }. C_{q_1} ^{z_1} C_{q_0} ^{z_0}。换句话说，布朗分解给出了C_ \infty的初始段的稀疏集合和C_m（对于每一个m）到这些初始段的乘积的显式分解。
2003-05-09 math.CO math.NT
Detecting the Integer Decomposition Property and Ehrhart Unimodality in Reflexive Simplices
组合数学中一个长期存在的公开猜想断言具有整数分解性质（IDP）的Gorenstein格多面体具有单峰（Ehrhart）$h^\ast$ -多项式。这个猜想可以被看作是加强了以前被否定的猜想，其中指出，任何Gorenstein格多面体有一个单峰$h^\ast$ -多项式。第一个关于Gorenstein格多面体单峰性的反例是Musta{n}{n}和Payne在大于5的偶数维中给出的，Payne将其推广到所有大于5的维。虽然有许多例子支持IDP自反是$h^\ast$ -单峰的猜想，但它的有效性尚未被认为是自反格单形的家族，这些家族紧密地概括了佩恩的反例。这项工作的主要目的是证明，前猜想确实举行了自然推广佩恩的例子。这项工作的第二个目的是将这项调查扩展到更广泛的一类格单纯形，我们提出了新的结果和开放的问题。
2018-06-01 math.AC math.CO math.NT
Ramanujan's Identities and Representation of Integers by Certain Binary and Quaternary Quadratic Forms
我们重温了费马和欧拉关于用二进制二次型x^2+5y^2表示整数的老理论。利用Ramanujan的1阶求和公式，建立了\sum_{n,m=-\infty}^{\infty} q^{n^2+5m^2}的一个新的Lambert级数恒等式.费马和欧拉的猜想很容易遵循这个新公式。但我们不会就此止步。采用各种公式中发现拉马努金的笔记本电脑和使用有点巧妙我们obtaina收集新的朗伯系列的某些无穷乘积与二次型，如x^2+6y^2，2x^2+3y^2，x^2+15y^2，3x^2+5y^2，x^2+27y^2，x^2+5（y^2+ z^2+ w^2），5x^2+y^2+ z^2+ w^2。在这个过程中，我们发现了许多新的乘性η-子，并确定了它们的系数。
2007-02-06 math.CO math.NT
Integers and Prime Numbers: Deriving Zipf's Law
研究整数素数分解中素数频率分布，证明其满足齐普夫定律的一般形式。
2024-03-12 math.NT physics.soc-ph
Waring's Theorem for Binary Powers
如果自然数的二进制表示由$k$连续的相同块组成，则该自然数是二进制的$k$次幂。我们证明了二进制$k$次幂和的Waring定理的一个类似定理。更精确地说，我们证明了，对于每个整数$k \geq 2$，存在正整数$W(k)$，使得每个足够大的倍数的$E_k := \gcd(2^k - 1, k)$是最多$W(k)$二进制$k$的幂和。(The作为$E_k$的倍数的假设不能被省略，因为我们表明二进制$k$的幂的$\gcd$是$E_k$。）此外，我们解释了我们的结果可以扩展到任意整数基$b > 2$。
2018-01-13 cs.DM math.CO math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
