由二元形式族表示的整数个数 II：二项式形式
Number of integers represented by families of binary forms II: binomial forms
AI总结：
本文研究二元二项式形式族 $aX^d+bY^d$ 对整数的表示，借助线性对数形式下界证明高次形式数量的一致界及低次形式的几乎完全表示。
摘要：
我们考虑若干二元二项式形式族 $aX^d+bY^d$，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。在适当假设下，我们证明每个满足 $|m|\ge 2$ 的有理整数 $m$ 只能被该族中有限数量的形式（其中 $d,a,b$ 变化）表示。此外，对所有 $|m|\ge 2$ 一致地，表示 $m$ 且次数 $\ge d_0$ 的此类形式的数量以 $O(|m|^{(1/d_0)+\epsilon})$ 为界。我们还证明，区间 $[-N,N]$ 中由该族中次数 $d\geq d_0$ 的某个形式表示的整数，几乎全部都由该族中次数 $d=d_0$ 的某个形式表示。在此前的一篇论文中，我们研究了二元二项式形式为正定的特殊情形。现在我们利用线性对数形式的一个下界来处理一般情形。
英文摘要：
We consider some families of binary binomial forms $aX^d+bY^d$, with $a$ and $b$ integers. Under suitable assumptions, we prove that every rational integer $m$ with $|m|\ge 2$ is only represented by a finite number of the forms of this family (with varying $d,a,b$). Furthermore {the number of such forms of degree $\ge d_0$ representing $m$ is bounded by $O(|m|^{(1/d_0)+ε})$} uniformly for $\vert m \vert \geq 2$. We also prove that the integers in the interval $[-N,N]$ represented by one of the form of the family with degree $d\geq d_0$ are almost all represented by some form of the family with degree $d=d_0$. In a previous {paper} we investigated the particular case where the binary binomial forms are positive definite. We now treat the general case by using a lower bound for linear forms of logarithms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
