有限域上形如 $X^r(X^{q-1}+a)$ 的置换二项式的完整分类
A complete classification of permutation binomials of the form $X^r(X^{q-1}+a)$ over finite fields
- School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
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AI总结：
本文完整分类了有限域上形如 $X^r(X^{q-1}+a)$ 的置换二项式，给出充要条件并证明 Masuda 等人的猜想，同时确定置换函数数量并推广到更广族。
AI中文摘要：
我们对每个素数幂 $q$ 和每个 $e\geqslant2$，分类了 $\nmathbb F_{q^e}$ 上的置换二项式 $X^r(X^{q-1}+a)$。记 $\ell_j(q)=(q^j-1)/(q-1)$，这样的二项式是置换当且仅当 $\gcd(r,q-1)=1$，$(-a)^{\ell_e(q)}\ne1$，并且存在某个与 $e$ 互素的 $1\leqslant h<e$ 使得 $r\ell_h(q)\equiv1\pmod{\ell_e(q)}$。这证明了 Masuda、Rubio 和 Santiago 的一个猜想：该形式的每个置换二项式都来自 $(X^{q^h}+aX)\circ X^r$，其中 $h$ 适当。我们还确定了该族所表示的不同置换函数的精确数量。作为进一步推论，在互素指标情形 $\gcd(d,\ell_e(q))=1$ 下，我们完整分类了更广泛的族 $X^r(X^{d(q-1)}+a)$。主要分类中的新成分是必要性论证：选定的 Hermite 幂和经过组织，使得 Lucas 定理将其系数转化为数字条件；随后一个基于 Farey 序列的局部论证强制了连续的基 $q$ 数字，而循环旋转产生逆同余。在特征 $2$ 中，对辅助环的模 $4$ 提升保留了模 $2$ 丢失的端点信息。
英文摘要：
We classify, for every prime power $q$ and every $e\geqslant2$, the permutation binomials $X^r(X^{q-1}+a)$ over $\mathbb F_{q^e}$. Writing $\ell_j(q)=(q^j-1)/(q-1)$, such a binomial is a permutation if and only if $\gcd(r,q-1)=1$, $(-a)^{\ell_e(q)}\ne1$, and $r\ell_h(q)\equiv1\pmod{\ell_e(q)}$ for some $1\leqslant h<e$ coprime to $e$. This proves a conjecture of Masuda, Rubio, and Santiago: every permutation binomial of this form arises from $(X^{q^h}+aX)\circ X^r$ for a suitable $h$. We also determine the exact number of distinct permutation functions represented by this family. As a further consequence, we completely classify the broader family $X^r(X^{d(q-1)}+a)$ in the coprime-index case $\gcd(d,\ell_e(q))=1$. The new ingredient in the main classification is the necessity argument: selected Hermite power sums are organized so that Lucas' theorem turns their coefficients into digit conditions; a Farey-guided local argument then forces successive base-$q$ digits, and cyclic rotations yield the inverse congruence. In characteristic $2$, a mod-$4$ lift to an auxiliary ring retains endpoint information lost modulo $2$.
