On the Lower Bound of the Divisibility of Exponential Sums in Binomial Case
Xiaogang Liu
Francis Castro等[2]计算了与二项式$F(X) = aX^{d_1} + bX^{d_2}$在$\mathbb{F}_p$上的指数和族的整除性，并对相关工作提出了一个猜想.我们在这里研究这个问题。
Francis Castro, et al [2] computed the exact divisibility of families of exponential sums associated to binomials $F(X) = aX^{d_1} + bX^{d_2}$ over $\mathbb{F}_p$, and a conjecture is presented for related work. Here we study this question.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
Exact Divisibility of Exponential Sums Associated to Binomials over finite fields
本文计算了二项式$F(X)=aX^{d_1} +b X^{d_2}$的指数和的精确整除性。特别地，对于$\max\{d_1,d_2\}\leq\sqrt{p-1}$的情况，计算精确的整除度。作为我们的结果的副产品，我们得到家庭的二项式，不置换$\mathbb{F}_p$，和一个下界的二项式的值集的大小超过$\mathbb{F}_p$。此外，我们得到了一个新的标准，以确定一个多项式是否定义或不排列的$\mathbb{F}_p$，取决于整除的指数和相关的多项式。
Divisibility of some binomial sums
利用$q$ -同余，证明了某些二项式和的整除性.例如，对于任意整数$ρ,n\geq 2$、$$\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1) \binom{2k}{k}^ρ\cdot (-4)^{ρ(n-1-k)} \equiv 0\pmod{2^{ρ-2}n\binom{2n}{n}}.$$
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
Divisibility of binomial coefficients and generation of alternating groups
研究了二项式系数的素整除性的一个初等问题。我们的问题是由几个相关的问题交替群。
Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients
首先证明了如果$a$有一个素因子不整除$b$，则有无穷多个正整数$n$使得$\binom {an+bn} {an}$不能被$bn+1$整除.这证实了Z. W.太阳此外，我们还给出了二项式系数的一些新的整除性质：例如，我们证明了对所有正整数$n$，$\binom {12n} {3n}$和$\binom {12n} {4n}$都可被$6n-1$整除，以及$\binom {330n} {88n}$可被$66n-1$整除。正如我们所示，后者的结果实际上是后果的整除和积极的结果，$q$ -二项式系数的同数的$q$ -整数，推广的积极的$q$ -Catalan数。并提出了几点相关建议。
Proof of Sun's conjecture on the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z. W. Sun：$$ (2n-1){3n\choose n}| \sum_{k=0}^{n}{6k\choose 3k}{3k\choose k}{6(n-k)\choose 3(n-k)}{3(n-k)\choose n-k}. $$，方法是显示左侧除右侧的每个被加数。
On the divisibility of binomial coefficients
在Pacific J. Math. 292（2018），223-238中，Shareshian和Woodroofe询问是否对于每个正整数$n$都存在素数$p$和$q$，使得对于具有$1 \leq k \leq n-1$的所有整数$k$，二项式系数$\binom{n}{k}$可以被$p$或$q$中的至少一个整除。我们给出的条件下，一个数$n$有这个属性，并讨论了这个问题的一个变种，涉及两个以上的素数。证明了每个正整数$n$都有无穷多个具有此性质的倍数。
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
Divisibility of Weil Sums of Binomials
考虑Weil和$W_{F,d}(u)=\sum_{x \in F} ψ(x^d+u x)$，其中$F$是特征$p$的有限域，$ψ$是$F$的典型可加特征标，$d$与$|F^*|$互质，并且$u \in F^*$。当$u$通过$F^*$时，我们说$W_{F,d}(u)$是三值的：这是非退化情况下不同值的最小数量，三值$W_{F,d}$是罕见和可取的。当$W_{F,d}$为三值时，给出了三值的$p$ -adic赋值的下界.这使我们能够证明1976年Helleseth猜想的特征$3$情况：当$p=3$和$[F:{\mathbb F}_3]$是$2$的幂时，我们证明了$W_{F,d}$不能是三值的。
On some divisibility properties of binomial sums
本文考虑两个特殊的二项式和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(20k^2+8k+1){\binom{2k}{k}}^5 (-4096)^{n-k-1} \end{align*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(120k^2+34k+3){\binom{2k}{k}}^4\binom{4k}{2k} 65536^{n-k-1}, \end{align*}，它们是由Guillera关于$\frac{1}{π^2}$的两个级数得到的.我们考虑了它们的整除性质，证明了对所有整数$n\geq 2$，它们都能被$2n^2 \binom{2n}{n}^2$整除.这些整除性质比He用WZ-方法证明了上述两个和可被$2n \binom{2n}{n}$整除的结果更强。
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
Divisibility of binomial coefficients by powers of two
对于非负整数$j$和$n$，令$Θ(j,n)$为帕斯卡三角形第$n$行中不能被$2^{j+1}$整除的条目数。本文证明了族$j\mapstoΘ(j,n)$通常服从正态分布。用于证明该定理的方法涉及计算$Θ(j,n)$的一阶和二阶矩，并使用复分析方法对多元生成函数进行渐近分析，建立在Drmota（1994）和Drmota，Kauers和Spiegelhofer（2016）的早期工作基础上。
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
Divisibility of the central binomial coefficient $\binom{2n}{n}$
证明了对每个固定的$\ell\in\mathbb{N}$，具有$n^\ell|\binom{2n}{n}$的$n$的集合有正的渐近密度$c_\ell$，并给出了$c_\ell$的渐近公式为$\ell\to \infty$ .我们还证明了对于某些常数$c$，$\# \{n\le x, (n,\binom{2n}{n})=1 \} \sim cx/\log x$.一个新颖之处是一种方法来捕捉一般序列中整数的大素因子的影响。
Fibonacci sums and divisibility properties
本文利用 Sury 多项式恒等式的变体推导有限斐波那契与卢卡斯和的新表达式，并将其推广到相关多项式及 Horadam 序列，进而用于发现和证明整除性质。
On divisibility concerning binomial coefficients
设k和n为正整数。主要证明了$$(ln+1) | k\binom{kn+ln}{kn},$$ $$2\binom{kn}n | \binom {2n}{n}C_{2n}^{(k-1)}$$，$$\binom{kn}n | (2k-1)C_n\binom{2kn}{2n},$$ $$\binom{2n}n | (k+1)C_n^{(k-1)}\binom{2kn}{kn},$$ $$2^{k-1}\binom{2n}{n} | \binom{2(2^k-1)n}{(2^k-1)n}C_n^{(2^k-2)},$$ $$(6n+1)\binom{5n}{n} | \binom{3n-1}{n-1}C_{3n}^{(4)},$$和$$\binom{3n}{n} | \binom{5n-1}{n-1}C_{5n}^{(2)},$$，其中C_n表示Catalan数$\binom{2n}{n}/(n+1)$，C_m^{（h）}表示h阶Catalan数$\binom{(h+1)m}{m}/(hm+1)$.
On divisibility of sums of Apery polynomials
对任意正整数$m$和$α$，我们证明了$$\sum_{k=0}^{n-1}ε^k(2k+1)A_k^{(α)}(x)^m\equiv0\pmod{n}, $$，其中$ε\in\{1,-1\}$和$$ A_n^{(α)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^α\binom{n+k}{k}^αx^k.$$
On the divisibility of $q$-trinomial coefficients
建立了中心$q$ -二项式系数和的一个同余式.从这个$q$ -同余，我们得到了由Andrews和Baxter引入的$q$ -三项式系数的整除性.
On the divisibility of sums involving powers of multi-variable Schmidt polynomials
多元施密特多项式定义为$$ S_n^{(r)}(x_0,\ldots,x_n):=\sum_{k=0}^n {n+k \choose 2k}^{r}{2k\choose k} x_k. $$我们证明了，对任意正整数$m$，$n$，$r$和$\varepsilon=\pm 1$，多项式$$ \sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon^k(2k+1) S_k^{(r)}(x_0,\ldots,x_k)^m $$中的所有系数都是$n$的倍数.这推广了最近的结果潘整除的总和Apéry多项式。
On the divisibility of sums of Fibonacci numbers
本文证明存在无穷多个奇数 $n$，使前 $n$ 个非零斐波那契数之和能被 $n$ 整除，从而解决 Fatehizadeh 与 Yaqubi 的猜想。
On alternating sums of binomial coefficients and $q$-binomial coefficients
本文用组合论的方法求两个二项式系数的交错和。此外，通过结合相同的组合思想与分区理论技术，我们提供了$q$ -类似物涉及$q$ -二项式系数。
Weil sums of binomials: properties, applications, and open problems
我们提出了一个调查韦尔和一个有限域$F$的添加剂字符被应用到一个二项式的个别条款（单项式）成为排列的$F$时，被视为功能。然后我们指出了这些Weil和在应用中的应用，特别是它们如何刻画幂置换的非线性和有限域上线性递归序列的相关性。在这些应用中，人们感兴趣的是频谱的威和值，获得的二项式中的系数是不同的。我们回顾了这些光谱的基本性质，然后给出了一个调查目前的研究课题：阿基米德和非阿基米德界的总和，在频谱中的值的数量，以及存在或不存在零的频谱。我们指出了一些重要的开放问题，并讨论了对他们已经取得的进展。
Divisibility of Power Sums and the Generalized Erdos-Moser Equation
使用初等方法，我们确定2的最高幂除以幂和1^n + 2^n +。. . + m^n，推广了Lengyel的公式，其中m本身是2的幂。Moree的结果的一个应用是：如果（a，m，n）是广义Erdos-Moser丢番图方程1 ^n +2 ^n+的任意解，则（a，m，n）是该结果的一个简单证明. . . + （m-1）^n = am^n，则m是奇数。
On a conjecture of Graham on the p-divisibility of central binomial coefficients
我们证明，对于每个$r \geq 1$和所有$r$不同（足够大）的素数$p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无限多个整数$n$，使得${2n \choose n}$可被这些素数整除，仅具有低重数。从Kummer的定理，一个素数$p_j$可以整除${2n \choose n}$的次数的上限是$1+\log n / \log p_j$ ;我们的定理表明，对于每个$\varepsilon > 0$，$r \geq 1$和任何足够大的素数$p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，我们可以找到整数$n$，其中对于$j=1,...,r$，$p_j$整除${2n \choose n}$的重数至多为$\varepsilon \log n/\log p_j$。我们把这个结果与R. L. Graham关于是否存在无穷多个整数$n$使得${2n \choose n}$与$105$互质的问题。
Factors of Some Lacunary q-Binomial Sums
本文证明了缺项$q$的一个整除性结果--二项式和$$ \sum_{k\equiv r\pmod{c}}(-1)^kq^{\binom{k}{2}}\qbinom{n}{k}{q}\qbinom{(k-r)/c}{l}{q^{c}}. $$
Generalized hyperharmonic number sums with reciprocal binomial coefficients
本文主要证明了具有倒数二项式系数的广义超调和数和可以用经典（交错）欧拉和、zeta值和广义（交错）调和数来表示。
Divisibility Tests Unified: Stacking the Trimmings for Sums
整除性测试是一种可以快速判断一个整数是否能被另一个整数整除的算法。有许多测试，但大多数都是修剪或求和类型的。我们的目标是目前Zbikowski的家庭修剪测试作为一个测试，并统一修剪和求和测试。我们这样做后者表明，第一，最有效的求和测试，由于哈雷，可以直接来自Zbikowski的测试，第二，最有名的求和测试-二项式测试-可以来自一个适应形式的Zbikowski的测试。我们引入堆叠的概念，声称一个六岁的孩子总是会选择10便士而不是一角硬币，并且只使用基本的整除属性来实现我们的目标。
Congruences for central binomial sums and finite polylogarithms
我们证明了同余，模幂的素数p，某些有限和涉及中心二项式系数$\binom{2k}{k}$。
An application of sums of triple products of binomials
本文证明了一类三个二项式乘积和族具有模素数$p$的交替性。为了实现这一点，我们重写这些款项的产品的三个二项式，更好地处理$p$的有符号的总和，我们给两个相关的三个二项式的有符号的产品的总和封闭形式的表达式。
Sums of series involving central binomial coefficients & harmonic numbers
本文给出了一类系数为中心二项式系数与调和数乘积的级数。最后一节中给出了一个涉及$ζ(2)$和另外两个很好的和的优雅求和。
Cyclotomy of Weil Sums of Binomials
Weil和$W_{K,d}(a)=\sum_{x \in K} ψ(x^d + a x)$其中$K$是一个有限域，$ψ$是$K$的一个加法特征标，$d$与$|K^\times|$互质，并且$a \in K^\times$经常出现在数论计算中，以及在有限几何、密码学、数字序列设计和编码理论的应用中。研究人员特别感兴趣的情况下，$W_{K,d}(a)$假设三个不同的值，因为$a$贯穿$K^\times$。一个伽罗瓦理论的方法，结合$p$ -整除高斯和的结果，在这里被用来证明各种新的结果，限制哪些领域$K$和指数$d$支持三值Weil和，并限制这样的Weil和可能承担的值。
Bilinear Forms with Exponential Sums with Binomials
我们得到了双线性型指数和的二项式$mx^k + nx^\ell$的几个估计。特别地，当系数$m$和$n$在一般性质的相当稀疏的集合上变化时，我们证明了这种和之间的非平凡抵消的存在性
Some 3-adic congruences for binomial sums
本文证明了Sun等人提出的关于二项和的3-adic同余。
Factors of alternative binomials sums
我们证实了郭、Jouhet和曾关于择一二项式和因子的几个定理。
$p$-adic multiple zeta values and binomial multiple harmonic sums
本文提出了一种方法，用于推导$p$-adic多重ζ值的显式公式，引入了二项多重调和和作为关键工具。
On two supercongruences of double binomial sums
本文证明了El Bachraoui关于二项式系数的两个双和的代数超同余。
Recurrences for certain sequences of binomial sums in terms of (generalized) Fibonacci and Lucas polynomials
本文给出了某些二项式和序列用（广义）Fibonacci和Lucas多项式表示的递归性的一些结果。
Mneimneh-type Binomial Sums of Multiple Harmonic-type Sums
本文利用斯特林数、贝尔数及相关变量，建立了涉及多重调和型和的Mneimneh型二项式和的表达式，并应用Toeplitz原理得到联系多重zeta星值与多重多对数的新恒等式。
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
Recurrences for some sequences of binomial sums II: A simpler approach
由于John P.D. Angelo和Dusty Grundmeier关于CR-映射的一些结果，我2001年关于某些二项式和序列的递归性的论文的主要结果可以被简化。
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
Factors of certain sums involving central q-binomial coefficients
最近，Ni和Pan证明了关于中心$q$ -二项式系数的和的一个$q$ -同余式，这是由Guo证明的.本文给出了这个$q$ -同余式的一个推广，并证明了另一个$q$ -同余式，该同余式也是由Guo提出的.我们的证明使用Ni和潘的技术和一个简单的$q$ -同余郭和Schlosser观察。
Proof of a Conjectured Three-Valued Family of Weil Sums of Binomials
我们考虑形式为$W_{F,d}(a)=\sum_{x \in F} ψ(x^d-a x)$的二项式的Weil和，其中$F$是有限域，$ψ\colon F\to {\mathbb C}$是标准可加特征标，$\gcd(d,|F^\times|)=1$和$a \in F^\times$ .如果我们固定$F$和$d$，并在$a$通过$F^\times$时检查$W_{F,d}(a)$的值，我们总是获得至少三个不同的值，除非$d$是简并的（$F$模$|F^\times|$的特征的幂）。$F$和$d$的选择，我们只得到三个值是相当罕见的，在各种各样的应用程序中是可取的。我们表明，如果$F$是一个领域的顺序$3^n$与$n$奇数，和$d=3^r+2$与$4 r \equiv 1 \pmod{n}$，那么$W_{F,d}(a)$假设只有三个值$0$和$\pm 3^{(n+1)/2}$。这证明了2001年Dobbertin，Helleseth，Kumar和Martinsen的猜想。证明采用了不同的方法，包括三线性形式，通过乘法特征和计算曲线上的点，高斯和的可分性，以及图论。
Evaluating Binomial Character Sums Modulo Powers of Two
我们表明，对于任何模$2^m$字符，$χ_1, χ_2,$的完全指数和，$$ \sum_{x=1}^{2^m}χ_1(x) χ_2(Ax^k+B), $$有一个简单的显式评估。
Periodic Weighted Sums of Binomial Coefficients
本文用初等方法建立了二项式系数与斐波那契数、卢卡斯数等之间的新旧关系。
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients
我们提出了高阶推广的Jacobsthal的$p$ -进近似的二项式系数。我们的研究结果意味着明确的公式的线性组合的二项式系数$\binom{ip}{p}$（$i=1,2,\dots$），可整除的素数$p$的任意大的权力。
A $q$-analogue of Boyadzhiev-Mneimneh-type binomial sums of finite multi-polylogarithms
该研究给出有限多重多重对数的Boyadzhiev-Mneimneh型二项式和的$q$-模拟公式，其$q\ o1$极限等价于Sakugawa-Seki恒等式，还给出对应柯西二项式定理的该类和的公式。
Congruences on sums of $q$-binomial coefficients
本文建立了孙-赵同余式在调和和上的一个$q$ -模拟.基于这个$q$ -同余式和一个$q$ -级数恒等式，我们证明了最近由Guo提出的关于中心$q$ -二项式系数和的一个同余式猜想.我们还从郭的$q$ -同余式推出了Apagodu和Zeilberger的一个同余式的$q$ -模拟.
Three combinatorial sums involving central binomial coefficients
本文研究三类含中心二项式系数及不同调和数的组合和，通过分部求和建立递归式，并用第二类 Stirling 数与 r-Stirling 数给出闭合形式。
A double-sum analogue of Whipple's summation formula and a restricted sum formula for multiple binomial sums
该研究证明了Whipple的{}_3F_2求和公式的双重和模拟式，并将其应用得到Igarashi参数化多重zeta级数特殊情形下多重二项和的受限求和公式
A matrix variation on Ramus's identity for lacunary sums of binomial coefficients
我们研究了著名的缺项和的二项式系数考虑，最值得注意的是，基督教Ramus，和他们的连接到一个特殊的一种调和数与第一种情况下的费马大定理。对于一种情况下，拉莫斯的著名的身份，我们得到一个变化，其中一些参数被替换为任意尺寸的方阵。
Generic twisted $T$-adic exponential sums of binomials
研究了与$x^{d}+λx$相关的扭曲$T$ -adic指数和.如果是$λ\neq0,$，则证明了一个显式算术多边形是T-adic指数和的扭曲$C$ -函数的牛顿多边形.给出了扭曲$p$幂阶指数和的$L$ -函数的牛顿多边形.
Power Series with Binomial Sums and Asymptotic Expansions
本文研究了系数为二项式（迭代有限差分）的幂级数。我们的结果可用于级数求和、级数变换或涉及第二类Stirling数的渐近展开。在某些情况下，我们得到渐近展开涉及伯努利多项式，多伯努利多项式，或欧拉多项式。我们还讨论了与欧拉级数变换和其他级数变换公式的联系。
The $p$-adic Order of Power Sums, the Erdös-Moser Equation, and Bernoulli Numbers
Erdös-Moser方程是60多年前提出的一个丢番图方程，至今仍未得到解决。在本文中，我们认为这个问题的整除的权力和某些埃及分数方程。因此，我们表明，解决方案必须满足强整除性和限制性埃及分数方程。我们的研究使我们的结果伯努利数，并使我们能够激励莫泽的原始方法的问题。
Binomial exponential sums
我们得到了素数$p$与二项式$ax^k + bx^n$的指数和的新的界.特别地，对于$k=1$，我们将Karatsuba（1967）的结合从$O(n^{1/4} p^{3/4})$改进为任何$n$的$O\left(p^{3/4} + n^{1/3}p^{2/3}\right)$，然后使用它将Akulinichev（1965）的结合从$O(p^{5/6})$改进为$n | (p-1)$的$O(p^{4/5})$。这个结果是基于有限域上某些方程的解的个数和不可约分量的度的一个新的界。
Discovering and Proving Infinite Binomial Sums Identities
我们考虑无穷远处的二项和逆二项和，并将它们重写为一小组常数，例如$π$或$\log(2)$的幂。为了进行这些简化，我们将级数视为生成级数的特化。对于这些生成级数，我们导出了根值迭代积分的整表示。利用代换，我们将积分表示为分圆调和多项式。最后，利用已知的分圆调和多项式之间的关系，我们推导出几个常数的表达式。
On 2-adic orders of some binomial sums
证明了对任意非负整数$n$和$r$，二项式和$$ \sum_{k=-n}^n\binom{2n}{n-k}k^{2r} $$可被$2^{2n-\min\{α(n),α(r)\}}$整除，其中$α(n)$表示$n$的二进制展开式中1的个数.这证实了郭和曾的一个猜想。
Products and sums divisible by central binomial coefficients
本文主要研究可被中心二项式系数整除的乘积与和。我们证明了2（2n+1）binom（2n，n）|binom（6n，3n）binom（3n，n），其中n= 1，2，3，.此外，对于任何非负整数$k$和$n$，我们有$$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$和$$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$，其中$C_m$表示加泰罗尼亚数$\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$。应用这个结果，我们得到两个可被中心二项式系数整除的和。
New sums mixing harmonic numbers and central binomial coefficients
本文提出了一种混合调和数与中心二项式系数的新和类，并建立了相关幂和的递归解。
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