On the divisibility of $q$-trinomial coefficients
Ji-Cai Liu
建立了中心$q$ -二项式系数和的一个同余式.从这个$q$ -同余，我们得到了由Andrews和Baxter引入的$q$ -三项式系数的整除性.
We establish a congruence on sums of central $q$-binomial coefficients. From this $q$-congruence, we derive the divisibility of the $q$-trinomial coefficients introduced by Andrews and Baxter.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Further results on the divisibility of $q$-trinomial coefficients
我们研究了$q$ -三项系数$τ_0(n,m,q)$、$T_0(n,m,q)$和$T_1(n,m,q)$的可分性，这三项系数是由Andrews和Baxter首先提出的。特别是，我们完全确定$τ_0(an,bn,q)$，$T_0(an,bn,q)$和$T_1(an,bn,q)$模的平方分圆多项式$Φ_n(q)$为$(a,b)=(m,m-1)$。
On the Divisibility of Trinomials by Maximum Weight Polynomials over F2
有限域上的三项式被给定多项式整除的问题在最近的文献中已被研究并用于构造正交表。Dewar等人(Des.\代码Cryptogr.\ 45：1-17，2007）研究了在$\F_2$上用给定的五项整除三项式以获得强度至少为3的正交表，并以一些开放性问题完成了他们的论文。这些问题之一是关于推广到多项式的五项以上。本文研究了$\F_2$上三项式被给定的最大权多项式整除的问题，并将所得结果应用于强度至少为3的正交表的构造。
Some new results about $q$-trinomial coefficients
本文给出了Andrews和Baxter引入的$q$ -三项式系数的几个新的同余式.建立了中心$q$ -二项式系数和的一个新的同余式.
Congruence properties for the trinomial coefficients
本文给出并证明了三项式系数的一些同余性质，其中一个性质类似于Wolstenholme定理。
Refined $q$-Trinomial Coefficients and Two Infinite Hierarchies of $q$-Series Identities
我们将证明一个涉及精化$q$ -三项式系数的恒等式。然后，我们扩展这个身份到两个无限的家庭的双重有界多项式身份使用的转换性能的精制$q$ -三项在迭代的方式在贝利链的精神。这两个层次之一包含一个身份，这是相当于卡帕雷利的第一个分区定理。
Tetrahedron trinomial coefficient transform
我们介绍了四面体三项式系数变换，它需要一个Pascal的算术三角形的序列。定义了一个Pascal型无限四面体H，证明了对H的一个面T作四面体三项式变换，可得到H中T的对边E.从这个结构可以得出，H中平行于E的其他方向也可以类似地得到。在Pascal三角形的情况下，由三项变换生成的序列与中心二项式系数的二项变换重合。
Elementary Polynomial Identities Involving $q$-Trinomial Coefficients
利用$q$ -二项式定理证明了三个新的涉及$q$ -三叉系数的多项式恒等式.然后，我们使用求和公式的$q$ -三项式系数转换成另一组的三个多项式的身份，这意味着卡帕雷利的分区定理时，多项式的程度趋于无穷大。这样，我们也得到了一个有趣的新结果的总和的Capparelli的产品。最后，我们提出了一个无限层次的多项式身份。
On Apery numbers and generalized central trinomial coefficients
我们决定将这个预印本与另外两个预印本（arXiv：1101.1946和arXiv：1008.3887）合并。关于Awesome数和多项式的结果将被添加到arxiv的新版本：1101.1946，关于广义三项式系数的结果将被添加到arxiv的新版本：1008.3887
The trinomial transform triangle
序列的三项变换是众所周知的二项变换的推广，用三项系数代替二项式系数。我们研究了三项变换下的Pascal三角形，重点是三元线性递归序列。我们确定列中元素的和与交错和，并给出了三项式变换三角形的一些例子。
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients
对于任何$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示在$(x^2+bx+c)^n$的展开中$x^n$的系数。设$p$为奇素数。本文确定了整数$m$在一定限制条件下的模$p^2$和$\sum_{k=0}^{p-1}T_k(b,c)^2/m^k$.作为应用，我们确认了Sun [Sci.中国数学57（2014），1375- 1400].
Some parametric congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，$n$第广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$x^n$在$(x^2+bx+c)^n$展开式中的系数。特别地，$T_n=T_n(1,1)$是中心三项式系数。本文主要建立了几类含广义中心三项式系数的参数同余。作为结果，我们证明了对于任何素数$p>3$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{12^k}T_k\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\frac{3^{p-1}+3}{4}\pmod{p^2} $$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{T_kH_k}{3^k}\equiv\frac{3+\left(\frac{p}{3}\right)}{2}-p\left(1+\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Legendre符号和$H_k:=\sum_{j=1}^k1/j$表示$k$次谐波数。这证实了第二作者的两个理论一致性。
Analytic aspects of generalized central trinomial coefficients
本文研究广义中心三项式系数的解析性质，证明普通中心三项式多项式只有实根且根交错，并给出广义系数构成对数凸或Stieltjes矩序列的充要条件。
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients via the constant term method
研究广义中心三项式系数，利用常数项方法和生成函数证明参数同余式，证实了孙志伟的几个猜想。
Congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于整数$b$和$c$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示$(x^2+bx+c)^n$展开式中$x^n$的系数。这些$T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$是通常的中心三项式系数，$T_n(3,2)$与组合学中的Delannoy数$D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$一致。本文系统地研究了含广义中心三项式系数的同余。以下是一些典型的结果：对于每个$n=1,2,3,\ldots$，我们有$$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$，特别是$n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$ ;如果$p$是奇素数，则有$$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p\right)\ \pmod{p}\ \ \ {\rm and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p\right)\ \pmod{p},$$，其中$(-)$表示Legendre符号。我们还提出了几个approachures其中一些涉及参数表示素数的某些二元二次型。
Supercongruences involving Motzkin numbers and central trinomial coefficients
令$M_n$和$T_n$分别表示第$n$个Motzkin数和第$n$个中心三项式系数。我们证明了对于任何素数$p\ge 5$，\begin{align*} &\sum_{k=0}^{p-1}M_k^2\equiv \left(\frac{p}{3}\right)\left(2-6p\right)\pmod{p^2},\\ &\sum_{k=0}^{p-1}kM_k^2\equiv \left(\frac{p}{3}\right)\left(9p-1\right)\pmod{p^2},\\ &\sum_{k=0}^{p-1}T_kM_k\equiv \frac{4}{3}\left(\frac{p}{3}\right)+\frac{p}{6}\left(1-9\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, \end{align*}其中$\left(-\right)$是Legendre符号.这些结果证实了Z. W.太阳
On Motzkin numbers and central trinomial coefficients
Motzkin数$M_n=\sum_{k=0}^n\binom n{2k}\binom{2k}k/(k+1)$ $(n=0,1,2,\ldots)$和由$(1+x+x^{-1})^n$的常数项给出的中心三项式系数$T_n$（$n=0,1,2,\ldots)$）具有许多组合解释。在本文中，我们建立了以下令人惊讶的算术性质，它们与$n$任何正整数：$$\frac2n\sum_{k=1}^n(2k+1)M_k^2\in\mathbb Z,$$ $$\frac{n^2(n^2-1)}6\,\bigg|\,\sum_{k=0}^{n-1}k(k+1)(8k+9)T_kT_{k+1},$$和也$$\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)(k+2)(2k+3)M_k^23^{n-1-k}=n(n+1)(n+2)M_nM_{n-1}.$$
On sums related to central binomial and trinomial coefficients
广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$(x^2+bx+c)^n$用$b,c\in\mathbb Z$展开时$x^n$的系数。本文研究了与中心二项式系数和广义中心三项系数相关的项和的同余式和级数。本文包含了许多关于与某些二元二次型表示素数有关的同余式的说明，以及62个由同余式和相关对偶激发的$1/π$的新系列。
Some q-Supercongruences for the truncated q-trinomial coefficients
1987年，Andrews和Baxter在探讨统计力学中一个模型的解时，引入了六种$q$ -三项系数。本文给出了这类多项式的截断形式的$q$ -超同余。
On a conjecture of Deutsch, Sagan, and Wilson
我们证明了最近的猜想，由于Deutsch，萨根，威尔逊指出，有限序列从第一个p中心三项式系数模p取代非零项1的是回文，任何素数p > 3。补遗：这个结果在此之前已被托尼·D·金用几乎相同的方法证明过。Noe：关于广义中心三项系数的整除性，Journal of Sequences，Vol. 9（2006），Article 06.2.7 http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Noe/noe35.html
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
Supercongruences for central trinomial coefficients
本文验证了关于中心三项式系数的超同余猜想，并进一步证明了其模p的同余关系。
A New Method of Construction of Permutation Trinomials with Coefficients 1
有限域上的置换多项式是一个有趣的、多年来一直活跃的研究课题。它们在数学和工程领域有重要的应用。近年来，置换二项式和置换三项式因其简单的代数形式而引起人们的兴趣。本文推广屠维岳关于指数为Niho型的置换多项式的刻划方法，提出了一种构造系数为1的置换三项式的新方法。此外，我们给出了一类特殊情况下置换三项式的显式合成逆。
On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
Odd Entries in Pascal's Trinomial Triangle
Pascal三角形的第n行给出了系数（1+x+x^2）^n。令g（n）表示这样的奇数系数的数量。我们回顾Moshe的算法，用于评估g（n）的渐近性-这涉及到计算某些2x2随机矩阵乘积的李雅普诺夫指数-然后分析更多的例子，更多的条款和更高的权力x。
The generalized Borwein conjecture. II. Refined q-trinomial coefficients
证明了q-三项式系数四参数加细的变换公式。这些变换的迭代性质允许几个无穷级数的q-三项式恒等式的容易推导，并可以应用于证明Bressoud的广义Borwein猜想的许多实例。
Proof of some divisibility results on sums involving binomial coefficients
利用Rodriguez-Villegas-Mortenson超同余，我们证明了Sun最初提出的关于二项式系数和的四个超同余.我们还证实了郭的一个相关猜想的整数值多项式。
Refined q-trinomial coefficients and character identities
引入了q-三项式系数的一种改进，它具有非常强大的迭代性质。利用这一“T-不变性”导出了特殊单缀李代数E_6、E_7和E_8的Virasoro特征标恒等式.
Finite Kleshchev bipartitions and $q$-trinomial coefficients
通过限制双分拆的最大部分，研究Kleshchev双分拆的计数函数，并证明其与Andrews和Baxter引入的两族$q$-三项式系数相关。
Proof of a conjecture related to divisibility properties of binomial coefficients
设$a,b$和$n$是正整数，其中$a>b$。本文证明了$$(2bn+1)(2bn+3){2bn \choose bn}\bigg|3(a-b)(3a-b){2an \choose an}{an\choose bn}.$$，这证实了Amdeberhan和Moll最近的一个猜想.
Motzkin numbers, central trinomial coefficients and hybrid polynomials
证明了Hermite多项式和Laguerre多项式之间插值的混合多项式在Motzkin数和中心三项式系数的研究中是非常有用的。这些序列被确定为混合多项式的特殊值，这一事实，我们用来推导它们的广义形式和新的身份满足他们。
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients
首先证明了如果$a$有一个素因子不整除$b$，则有无穷多个正整数$n$使得$\binom {an+bn} {an}$不能被$bn+1$整除.这证实了Z. W.太阳此外，我们还给出了二项式系数的一些新的整除性质：例如，我们证明了对所有正整数$n$，$\binom {12n} {3n}$和$\binom {12n} {4n}$都可被$6n-1$整除，以及$\binom {330n} {88n}$可被$66n-1$整除。正如我们所示，后者的结果实际上是后果的整除和积极的结果，$q$ -二项式系数的同数的$q$ -整数，推广的积极的$q$ -Catalan数。并提出了几点相关建议。
$q$-Trinomial identities
我们得到了$q$ -二项和$q$ -三项系数之间的联系系数。利用这些恒等式，可以将$q$ -二项式恒等式变换为$q$ -三叉恒等式，并可以变换回来.为了证明这一过程的有用性，我们重新推导出一些已知的三项式的身份有关的分区理论和证明许多的abstitures的Berkovich，McCoy和皮尔斯，这是最近出现在他们的研究中的$ϕ_{2,1}$和$ϕ_{1,5}$扰动的最小共形域论。
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
Divisibility of binomial coefficients by powers of two
对于非负整数$j$和$n$，令$Θ(j,n)$为帕斯卡三角形第$n$行中不能被$2^{j+1}$整除的条目数。本文证明了族$j\mapstoΘ(j,n)$通常服从正态分布。用于证明该定理的方法涉及计算$Θ(j,n)$的一阶和二阶矩，并使用复分析方法对多元生成函数进行渐近分析，建立在Drmota（1994）和Drmota，Kauers和Spiegelhofer（2016）的早期工作基础上。
Divisibility of the central binomial coefficient $\binom{2n}{n}$
证明了对每个固定的$\ell\in\mathbb{N}$，具有$n^\ell|\binom{2n}{n}$的$n$的集合有正的渐近密度$c_\ell$，并给出了$c_\ell$的渐近公式为$\ell\to \infty$ .我们还证明了对于某些常数$c$，$\# \{n\le x, (n,\binom{2n}{n})=1 \} \sim cx/\log x$.一个新颖之处是一种方法来捕捉一般序列中整数的大素因子的影响。
Divisibility of binomial coefficients and generation of alternating groups
研究了二项式系数的素整除性的一个初等问题。我们的问题是由几个相关的问题交替群。
Distribution and divisibility of the Fourier coefficients of certain Hauptmoduln
假设$j_N(τ)$和$j_N^{*}(τ)$分别是同余子群$Γ_0(N)$和同余群$Γ^{*}_0(N)$的Hauptmoduln。在文献[7]中，作者预言，像Klein的$j$ -函数一样，某些等差数列中的$j_N(τ)$和$j_{N}^{*}(τ)$的傅里叶系数随密度$\frac{1}{2}$同时为奇数和偶数.在本文中，我们可以找到$n$的一些等差级数，其中$j_6(τ)$的傅里叶系数（分别为. $j_6^{*}(τ)$和$j_{10}(τ)$）几乎总是偶数。进一步，利用Hecke特征形和Rogers-Ramanujan连分式，我们得到了$j_6(τ)$，$j_6^{*}(τ)$，$j_{10}(τ),$和$j_{10}^{*}(τ)$的无穷族同余.
Some divisibility properties of binomial coefficients
本文给出了二项式系数的一些性质。
On divisibility concerning binomial coefficients
设k和n为正整数。主要证明了$$(ln+1) | k\binom{kn+ln}{kn},$$ $$2\binom{kn}n | \binom {2n}{n}C_{2n}^{(k-1)}$$，$$\binom{kn}n | (2k-1)C_n\binom{2kn}{2n},$$ $$\binom{2n}n | (k+1)C_n^{(k-1)}\binom{2kn}{kn},$$ $$2^{k-1}\binom{2n}{n} | \binom{2(2^k-1)n}{(2^k-1)n}C_n^{(2^k-2)},$$ $$(6n+1)\binom{5n}{n} | \binom{3n-1}{n-1}C_{3n}^{(4)},$$和$$\binom{3n}{n} | \binom{5n-1}{n-1}C_{5n}^{(2)},$$，其中C_n表示Catalan数$\binom{2n}{n}/(n+1)$，C_m^{（h）}表示h阶Catalan数$\binom{(h+1)m}{m}/(hm+1)$.
On a conjecture of Graham on the p-divisibility of central binomial coefficients
我们证明，对于每个$r \geq 1$和所有$r$不同（足够大）的素数$p_1,..., p_r > p_0(r)$，存在无限多个整数$n$，使得${2n \choose n}$可被这些素数整除，仅具有低重数。从Kummer的定理，一个素数$p_j$可以整除${2n \choose n}$的次数的上限是$1+\log n / \log p_j$ ;我们的定理表明，对于每个$\varepsilon > 0$，$r \geq 1$和任何足够大的素数$p_1,...,p_r > p_0(\varepsilon,r)$，我们可以找到整数$n$，其中对于$j=1,...,r$，$p_j$整除${2n \choose n}$的重数至多为$\varepsilon \log n/\log p_j$。我们把这个结果与R. L. Graham关于是否存在无穷多个整数$n$使得${2n \choose n}$与$105$互质的问题。
On the divisibility of sums involving powers of multi-variable Schmidt polynomials
多元施密特多项式定义为$$ S_n^{(r)}(x_0,\ldots,x_n):=\sum_{k=0}^n {n+k \choose 2k}^{r}{2k\choose k} x_k. $$我们证明了，对任意正整数$m$，$n$，$r$和$\varepsilon=\pm 1$，多项式$$ \sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon^k(2k+1) S_k^{(r)}(x_0,\ldots,x_k)^m $$中的所有系数都是$n$的倍数.这推广了最近的结果潘整除的总和Apéry多项式。
The Unfair 0-1 Polynomial Problem and High-Degree Trinomials
针对不公平0-1多项式猜想，研究1+ax²+x^k对0-1多项式的整除问题，证明奇数k≥341时不存在符合条件的分解，推进了该猜想的研究。
Truncated versions of Dwork's lemma for exponentials of power series and $p$-divisibility of arithmetic functiens
（Dieudonné and）Dwork引理给出了系数在$Q_p$中的形式幂级数$S(z)$的指数在$Z_p$中的一个充要条件.我们建立了关于$S(z)$的指数系数的$p$ -adic赋值定理，假设$S(z)$的系数条件比Dwork引理中的条件弱.作为应用，我们给出了几个关于有限生成群的置换表示个数的$p$ -adic赋值下界的结果.特别是，我们给相当紧的下界的情况下，任意有限阿贝尔$p$ -组，从而推广了许多结果，在特殊情况下，已经出现在文献中。进一步的应用包括充分条件的最终周期性的子群号码模$p$的自由产品有限阿贝尔$p$ -群，结果$p$ -整除置换数的限制，其循环结构，和一个奇怪的“超同余”为一定的二项式和。
The p-adic valuation of k-central binomial coefficients
由（1-k^2x）^（-1/k）= sum c（n，k）x^n定义的系数c（n，k）简化为k=2时的中心二项式系数。一个关于H的问题Montgomery和H. Shapiro关于k=3的情形，我们证明了c（n，k）是整数，并研究了它们的整除性质.
Weierstrass Sigma Function Coefficients Divisibility Hypothesis
我们考虑Weierstrass σ函数\[ σ(z) = z \sum_{i, j \geqslant 0} {a_{i,j} \over (4 i + 6 j + 1)!} \left({g_2 z^4 \over 2}\right)^i \left(2 g_3 z^6\right)^j. \]在零点处的级数展开式中的系数，得到$a_{i,j} \in \mathbb{Z}$ .给出了整数$a_{i,j}$ \begin{align*} ν_2(a_{i,j}) &= ν_2((4i + 6j + 1)!) - ν_2(i!) - ν_2(j!) - 3 i - 4 j, & ν_3(a_{i,j}) &= ν_3((4i + 6j + 1)!) - ν_3(i!) - ν_3(j!) - i - j. \end{align*}的整除性假设.如果这个猜想成立，则$σ(z)$是环$\mathbb{Z}[{g_2 \over 2}, 6 g_3]$上的Hurwitz级数.
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on the divisibility of certain double-sums
Z.- W. Sun介绍了三种数字：\begin{align*}S_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1),\qquad s_n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}\frac{1}{2k-1}, \end{align*}和$S_n^{+}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{2k\choose k}(2k+1)^2$。本文主要通过建立一些二项式系数恒等式，如\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k=n^2\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}{2k\choose k}(6k{n-1\choose k}^2+{n-1\choose k}{n-1\choose k+1}). \end{align*}，证明了\begin{align*} 4\sum_{k=0}^{n-1}kS_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}s_k\equiv \sum_{k=0}^{n-1}S_k^{+}\equiv 0\pmod{n^2}\quad\text{for $n\geqslant 1$}, \end{align*}，从而证实了Z.- W.太阳
Reduction on the congruences of partial sums of P-recursive sequences
本文简化了P-递归序列部分和同余式的证明方法，放宽望远镜算子要求，利用序列同余性质，确认了孙的猜想并发现中心三项式系数的新同余式。
Telescoping method and congruences for double sums
近年来，Z W.孙提出了几个复杂的代数同余式有限总和的条款，涉及组合序列，如中心三项式系数，Domb数和Franel数。这些和是超几何项的双重和。使用伸缩方法和某些数学软件包，我们将这样的双重求和转换为一个单一的总和。通过这种新的方法，我们确认了几个开放的太阳。
The divisibility modulo 24 of Kloosterman sums on $GF(2^m)$, $m$ even
在最近的工作由Charpin，Helleseth，和Zinoviev Kloosterman总和$K(a)$在有限域$\F_{2^m}$评估模24的情况下$m$奇数，和那些$a$给予相同的价值$K(a)$模24给出。在本文中，甚至在$m$的情况下也是如此。本文所采用的关键技术与上述工作中所采用的技术不同。特别是，我们利用最近的结果与规定的系数的不可约多项式的数量。
Universal Matrices for Counting Fibonomial and $C$-nomial Coefficients by their $p$-adic Valuations
针对由序列 $C$ 定义的二项式系数推广形式 $C$-nomial 系数，提出当 $C$ 为强整除序列时，其按 $p$-adic 赋值计数的生成函数可通过通用矩阵乘积公式表示，并将该公式推广至 $C$-多项式系数。
Shifted-Binomial Expansions of Dilated Binomial Polynomials: Multinomial Decimation, Reflection Symmetry, and Universal Divisibility
研究多项式\\(g_{p,r}(n)=\binom{pn}{p+r}\\)在移位二项式基下的展开，通过生成函数等得到系数公式，刻画其回文性及相关性质，证明\\(p\\)整除系数，还发现与多项式三角形选定行一致，揭示了二项式系数展开的一些规律。
A method for deterining the mod-$3^k$ behaviour of recursive sequences
本文给出了一种求多项式系数有限深度递归序列模3次幂同余的方法。我们将此方法应用于Catalan数，Motzkin数，Riordan数，Schröder数，Eulerian数，三项式系数，Delannoy数，以及计算非齐次模群及其提升中有限指数自由子群的函数。这导致了许多新的结果，包括许多已知结果的扩展到更高的权力3。
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
On the expansion of the power of any polynomial 1+x+x^2+x^3+x^4+etc
本文给出了一般三项系数为二项式系数之和，一般四项式系数为二项式系数与三项式系数之和，一般五项式系数为二项式系数与四项式系数之和，并给出了任意多项式（1+x+x^2+.+）展开式的系数的一般确定方法. x（m）^n作为较低次多项式系数的系数之和。
Factors of sums involving $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$，$n_{m+1}=n_1$，以及任何非负整数$j$和$r$与$j\leqslant m$，表达式$$ \frac{1}{[n_1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}[2k][k]^{2r}q^{jk^2-(r+1)k}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\brack n_i+k} $$是$q$中的Laurent多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$为整数.这给出了第一作者和曾文在Catalan三角形上得到的一个整除性结果的$q$ -模拟，同时也证实了第一作者和曾文的一个猜想。我们还提出了几个相关的建议。
Polynomial Triangles Revisited
多项式三角形是一个数组，其输入是多项式的整数次幂的系数。虽然多项式系数已经出现在一些作品中，但没有系统的论述。在本文中，我们将填补这一空白。我们描述了这些数组的一些方面，概括了类似的性质的二项式系数。介绍了几种多项式系数枚举的组合模型，包括格路模型、自旋链模型和画图游戏得分模型。几个已知的二项式身份，然后扩展。此外，我们还递归地计算了列序列的生成函数。有趣的推论遵循这些递归关系，如新的公式为斐波那契数和厄米多项式的三项式系数。最后，详细研究了表征多项式系数在极限下的熵密度函数的性质。
Factors of sums and alternating sums of products of $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$、$n_{m+1}=n_1$和非负整数$j$和$r$，以及$j\leqslant m$，下面的两个表达式\begin{align*} &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1} q^{j(k^2+k)-(2r+1)k}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k},\\[5pt] &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1}(-1)^k q^{{k\choose 2}+j(k^2+k)-2rk}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k} \end{align*}是$q$中的整数系数劳伦多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$ .本文给出了郭和曾获得的关于整数的二项式系数和幂的和与交错和的可除性结果的$q$ -模拟。我们还通过建立郭和曾的$q$类似物证实了他们的一些相关结构.本文最后给出了$q$ -选票数$\left({2…
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
On a conjecture of Han and Xiong for fractional Gaussian binomial coefficients
本文针对Han和Xiong提出的分数高斯二项式系数猜想，通过证明支持度优势定理解决了大部分情形，将猜想简化为有限单位分数情形，结合计算机计算和Lean中的自动验证，最终验证了所有正有理数$r$及$k\neq200$时猜想成立。
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