不公平0-1多项式问题与高次三项式
The Unfair 0-1 Polynomial Problem and High-Degree Trinomials
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中文总结 AI 辅助
针对不公平0-1多项式猜想，研究1+ax²+x^k对0-1多项式的整除问题，证明奇数k≥341时不存在符合条件的分解，推进了该猜想的研究。
中文摘要 AI 辅助
不公平0-1多项式猜想询问：若多项式C(x)=A(x)B(x)，其中A、B为首一且非负实系数多项式，是否必然可分解为0-1多项式的乘积？设k为奇数且0<a<1，我们研究1+ax²+x^k是否能整除一个0-1多项式，且该多项式的非零余因子具有非负实系数。Ghidelli解决了首个非平凡情况k=5，后续利用有限递推和谱方法处理了k=7、9、11的情况。我们证明，对于所有奇数k≥341，不存在此类分解。
英文摘要
The unfair $0$--$1$ polynomial conjecture asks whether a factorization \[C(x)=A(x)B(x),\] with $A$ and $B$ monic and having nonnegative real coefficients, and $C$ a polynomial with all the coefficients 0 and 1, must already be a factorization into $0$--$1$ polynomials. Let $k$ be odd and $0<a<1$. We study the possibility that \[1+a x^2+x^k\] divides a $0$--$1$ polynomial with a nonzero cofactor having nonnegative real coefficients. Ghidelli settled the first nontrivial case $k=5$. We prove that no such factorization exists for any odd $k\ge 341$. The intermediate cases (5 < k < 341) are treated in the companion paper.
发表机构
- University of Miami（迈阿密大学）
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