广义中心三项式系数的参数化 Catalan 型同余
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
- Capital Normal University（首都师范大学）
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AI总结：
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
AI中文摘要：
设 $p>3$ 为素数，$b,c$ 为整数且 $p\nmid b+2c$。我们得到了从 $k=0$ 到 $(p-1)/2$ 的求和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}{k}T_{2k}(b,c^2)/(4^k(k+1)(b+2c)^{2k})$ 模 $p^2$ 的显式同余式，其中 $T_n(b,c)$ 表示广义中心三项式系数。这给出了 Wang 和 Cui 问题中所考虑求和的参数化公式。证明使用了常数项表示和对数生成函数，将该求和化简为某个代数生成函数的两个系数。随后，一个微分恒等式和一个系数多项式同余式产生了所需的结果。该公式同样适用于 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
英文摘要：
Let $p>3$ be a prime, and let $b,c$ be integers with $p\nmid b+2c$. We obtain an explicit congruence modulo $p^2$ for the sum of $\binom{2k}{k}T_{2k}(b,c^2)/(4^k(k+1)(b+2c)^{2k})$ from $k=0$ to $(p-1)/2$, where $T_n(b,c)$ denotes the generalized central trinomial coefficient. This gives a parametric formula for the sum considered in a question of Wang and Cui. The proof uses a constant term representation and a logarithmic generating function to reduce the sum to two coefficients of an algebraic generating function. A differential identity and a coefficientwise polynomial congruence then yield the desired evaluation. The formula also applies when $p$ divides $b$ or $b-2c$.
