Some q-Supercongruences for the truncated q-trinomial coefficients
Chuanan Wei
1987年，Andrews和Baxter在探讨统计力学中一个模型的解时，引入了六种$q$ -三项系数。本文给出了这类多项式的截断形式的$q$ -超同余。
In 1987, Andrews and Baxter introduced six kinds of $q$-trinomial coefficients in exploring the solution of a model in statistical mechanics. In this paper, we give some $q$-supercongruences for the truncated forms of these polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Supercongruences involving Motzkin numbers and central trinomial coefficients
令$M_n$和$T_n$分别表示第$n$个Motzkin数和第$n$个中心三项式系数。我们证明了对于任何素数$p\ge 5$，\begin{align*} &\sum_{k=0}^{p-1}M_k^2\equiv \left(\frac{p}{3}\right)\left(2-6p\right)\pmod{p^2},\\ &\sum_{k=0}^{p-1}kM_k^2\equiv \left(\frac{p}{3}\right)\left(9p-1\right)\pmod{p^2},\\ &\sum_{k=0}^{p-1}T_kM_k\equiv \frac{4}{3}\left(\frac{p}{3}\right)+\frac{p}{6}\left(1-9\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, \end{align*}其中$\left(-\right)$是Legendre符号.这些结果证实了Z. W.太阳
Supercongruences for central trinomial coefficients
本文验证了关于中心三项式系数的超同余猜想，并进一步证明了其模p的同余关系。
Some supercongruences on truncated ${}_3F_2$ hypergeometric series
2003年，Rodriguez-Villegas在截断${}_3F_2$超几何级数上证明了某些模K3曲面的四个超同余，并逐渐被一些作者证明.受Apéry数和Domb数等组合数上的超同余的启发，建立了截断${}_3F_2$超几何级数上的一些新的超同余，推广了四个Rodriguez-Villegas超同余.
Two supercongruences involving truncated hypergeometric series
该研究利用超几何变换公式建立两个截断超几何级数的超同余式，分别证实第二作者的猜想、部分证实Guo等人的猜想并扩展Long和Ramakrishna的超同余式。
Supercongruences between truncated ${}_3F_2$ hypergeometric series
建立了四个包含$p$ -adic Γ函数的截断${}_3F_2$超几何级数之间的超同余，推广了Rodriguez-Villegas超同余.
A $p$-adic supercongruence for truncated hypergeometric series ${}_7F_6$
利用Gessel和Stanton的一个恒等式和$p$ -adic Γ函数的一些性质，建立了截断超几何级数${}_7F_6$的一个$p$ -adic超同余.由此我们推出了一些相关的超同余，推广了某些最近的结果，证实了一个超同余猜想。
Supercongruences for a truncated hypergeometric series
本文的目的是得到一些涉及截断超几何级数$$\sum_{k=1}^{p-1} {(x)_k(1-x)_k\over (1)_k^2}\cdot{1\over k^a}$$的素数$p$模幂的同余式，其中涉及$a=1$和$a=2$ .在最后一节中，考虑特殊情况$x=1/2$。
Supercongruences involving $p$-adic Gamma functions
建立了包含$p$ -adic Γ函数的截断${}_2F_1$和${}_3F_2$超几何级数的超同余.其中一些结果推广了截断${}_3F_2$超几何级数上的四个Rodriguez-Villegas超同余.并给出了相应的模$p^3$的代数超同余.
Further q-Supercongruences from Singh's Quadratic Transformation
本文利用Singh的二次变换和创造性微视方法，研究了截断的${}_{4}ϕ_3$级数的q-超同余关系。
Congruences for truncated hypergeometric series ${}_2F_1$
Rodriguez-Villegas证明了与某些椭圆曲线相关的四个超同余，这些超同余首先由Mortenson使用Gross-Koblitz公式证实。本文证明了两个截断超几何级数${}_2F_1$之间的四个超同余。这推广了这四个Rodriguez-Villegas超同余。
Proof of some supercongruences concerning truncated hypergeometric series
本文证明了截断超几何级数的一些超同余。例如，我们证明了对于任何素数$p>3$和正整数$r$，$$ \sum_{k=0}^{p^r-1}(3k+1)\frac{(\frac12)_k^3}{(1)_k^3}4^k\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}} $$和$$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac12)_k^4}{(1)_k^4}\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}}, $$，其中$(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$是Pochhammer符号和$B_0,B_1,B_2,\ldots$是伯努利数。这两个一致性证实了孙[科学。中国数学。54（2011），2509--2535]和郭[Adv. Appl. Math. 120（2020），Art. 102078]分别。
A supercongruence involving cubes of Catalan numbers
本文主要证明了Catalan数立方截尾级数的一个超同余，推广了孙志伟的一个结果。
Supercongruences arising from hypergeometric series identities
利用某些超几何级数恒等式，证明了截断超几何级数上的两个超同余，其中一个与模Calabi-Yau三重有关，另一个被认为是Ramanujan恒等式的$p$ -adic模拟.
Further $q$-supercongruences from a transformation of Rahman
利用Rahman的二次变换公式和“创造性显微镜”方法（作者和Zudilin在2019年介绍），我们给出了截断基本超几何级数的一些新的$q$ -超同余。特别是，我们证实了两个最近的刘和王。我们也给出了超同余和$q$ -超同余的一些相关结果。
An extension of a supercongruence of Long and Ramakrishna
证明了特定截断超几何级数的两个超同余。其中包括一个单参数扩展的超同余，最近建立的龙和罗摩克里希纳。我们的证明涉及各种超几何身份，包括惠普尔变换和Karlsson-明顿求和的特殊情况。
Binomial coefficient-harmonic sum identities associated to supercongruences
利用部分分式分解方法建立了两个二项式系数--广义调和和恒等式.这些恒等式是证明许多超同余的关键要素。特别是，在其他作品的作者，他们被用来建立模$p^k$（$k>1$）之间的同余截断广义超几何级数，并在有限域上的函数扩展格林的超几何函数的$p$ -adic设置。一个专门化的这些同余之一是用来证明一个杰出的猜想罗德里格斯Villegas有关截断广义超几何级数的$p$第傅里叶系数的一个特定的模块形式。
Proof of two supercongruences of truncated hypergeometric series ${}_4F_3$
本文利用 Wilf-Zeilberger 方法证明了孙智伟提出的两个关于截断超几何级数 ${}_4F_3$ 的超同余式，并给出其中一个涉及勒让德符号与欧拉数的模 $p^4$ 同余结果。
Some q-supercongruences on double and triple sums
本文研究了二重和与三重和上的若干$q$ -超同余。利用El Bachraoui的一个引理及其推广，将一些关于二重和、三重和的$q$ -超同余变换为截尾基本超几何级数的平方和立方的$q$ -超同余，主要工具仍然是郭和祖迪林的“创造性显微镜”方法，郭和李的一个引理以及孙子剩余定理.
Supercongruence conjectures of Rodriguez-Villegas
在研究某些卡-丘流形上的$\mathbb{F}_p$上的点数与对应于流形特定周期的超几何级数之间的关系时，罗德里格斯-维勒加斯确定了22个可能的超同余。我们提供了一个框架，涵盖所有22例全等。利用这一框架，我们证明了截断的普通超几何级数的一个特殊值与模形式的$p$ -th傅里叶系数之间的一个杰出的超同余关系.在工作过程中，我们还建立了两个新的二项式系数-调和和恒等式。
Supercongruences concerning truncated hypergeometric series
设$n\geq 3$是一个整数，$p$是一个素数，其中有$p\equiv 1\pmod{n}$。本文证明了$${}_nF_{n-1}\bigg[\begin{matrix} \frac{n-1}{n}&\frac{n-1}{n}&\ldots&\frac{n-1}{n}\\ &1&\ldots&1\end{matrix}\bigg | \, 1\bigg]_{p-1}\equiv -Γ_p\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^n\pmod{p^3}, $$，其中截断的超几何级数$$_nF_{n-1} \bigg[\begin{matrix} x_1&x_2&\ldots&x_n\\ &y_1&\cdots&y_{n-1}\end{matrix}\bigg | \, z\bigg]_m=\sum_{k=0}^{m}\frac{z^k}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{(x_1+j)\cdots(x_{n}+j)}{(y_1+j)\cdots(y_{n-1}+j)} $$和$Γ_p$表示$p$ -adic Γ函数.这证实了Deines，Fuselier，Long，Swisher和Tu的一个猜想。此外，在同样的假设下，我们还证明了解Deines，Fuselier，Long，Swisher和Tu的另一个猜想的$$p^n\cdot {}_{n+1} F_n \b…
A modular supercongruence for $_6F_5$: an Apéry-like story
本文证明了权为6的模形式的$p$次傅里叶系数与截断的${}_6F_5$ -超几何级数之间的模$p^3$超同余.新成分的证明是比较两个有理逼近$ζ(3)$，以产生非平凡的调和和身份，并减少由此产生的同余之间的调和和通过一个同余之间的Apéry数和另一个Apéry序列。
Refinements of Van Hamme's (E.2) and (F.2) supercongruences and two supercongruences by Swisher
该研究利用更一般的WZ对，将Van Hamme的(E.2)、(F.2)超同余式及Swisher的两个超同余式推广到奇素数$p$的模$p^4$情形，且推广结果与Euler多项式相关，同时提出了相关$q$-同余猜想供后续研究。
$p$-adic analogues of hypergeometric identities
证明了截断超几何级数的一些超同余。
Truncated versions of Dwork's lemma for exponentials of power series and $p$-divisibility of arithmetic functiens
（Dieudonné and）Dwork引理给出了系数在$Q_p$中的形式幂级数$S(z)$的指数在$Z_p$中的一个充要条件.我们建立了关于$S(z)$的指数系数的$p$ -adic赋值定理，假设$S(z)$的系数条件比Dwork引理中的条件弱.作为应用，我们给出了几个关于有限生成群的置换表示个数的$p$ -adic赋值下界的结果.特别是，我们给相当紧的下界的情况下，任意有限阿贝尔$p$ -组，从而推广了许多结果，在特殊情况下，已经出现在文献中。进一步的应用包括充分条件的最终周期性的子群号码模$p$的自由产品有限阿贝尔$p$ -群，结果$p$ -整除置换数的限制，其循环结构，和一个奇怪的“超同余”为一定的二项式和。
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