$_6F_5$的模超同余：一个Apéry式的故事

两个超同余的公共$q$ -模拟

A common $q$-analogue of two supercongruences

我们给出了一个$q$ -同余，它的特化$q=-1$和$q=1$对应于Van Hamme 1997年列表上的超同余（B.2）和（H.2）：$$ \sum_{k=0}^{(p-1)/2}(-1)^k(4k+1)A_k\equiv p(-1)^{(p-1)/2}\pmod{p^3} \quad\text{and}\quad \sum_{k=0}^{(p-1)/2}A_k\equiv a(p)\pmod{p^2}, $$其中$p>2$是素数，$$ A_k=\prod_{j=0}^{k-1}\biggl(\frac{1/2+j}{1+j}\biggr)^3=\frac1{2^{6k}}{\binom{2k}k}^3 \quad\text{for}\ k=0,1,2,\dots, $$和$a(p)$是（权3模形式）$q\prod_{j=1}^\infty(1-q^{4j})^6$的第$p$个系数.我们补充我们的结果与一般的共同$q$ -同余相关超几何和。

$p$ -adic设置和模形式中的超几何型恒等式

Hypergeometric type identities in the $p$-adic setting and modular forms

证明了由$p$ -adic Γ函数的导数定义的函数的超几何型恒等式.利用这些恒等式证明了Rodriguez-Villegas关于截断$_4F_3$超几何级数与某个权四模形式的傅里叶系数的超同余猜想.

Dwork-type supercongruences through a creative $q$-microscope

We develop an analytical method to prove congruences of the type $$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/d}A_kz^k \equiv ω(z)\sum_{k=0}^{(p^{r-1}-1)/d}A_kz^{pk} \pmod{p^{mr}\mathbb Z_p[[z]]} \quad \text{for}\; r=1,2,\dots, $$ for primes $p>2$ and fixed integers $m,d\ge1$, where $f(z)=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k$ is an "arithmetic" hypergeometric series. Such congruences for $m=d=1$ were introduced by Dwork in 1969 as a tool for $p$-adic analytical continuation of $f(z)$. Our proofs of several Dwork-type congruences corresponding to $m\ge2$ (in other words, supercongruences) are based on constructing and proving t…

三次对称超几何系数的模 p⁴ 超同余

Order drop, Hecke descent, and a mod $p^4$ supercongruence for symmetric-cube hypergeometric coefficients

本文证明了三次对称超几何系数满足模 p⁴ 的超同余关系，通过 Ore 分解实现阶降，建立模算术字典并结合拉格朗日-布尔曼提取与三层指数截断，利用弗里克-海克 intertwining 方法消除缺陷形式。

Domb数的超同余

Supercongruences for Domb numbers

本文证明了Sun关于Domb数的两个超同余猜想，通过模周期和复乘理论，在惰性素数处得到模p^2可除性，在分裂素数处得到模p^3同余。

椭圆曲线与模形式的傅里叶系数

Elliptic curves and Fourier coefficients of meromorphic modular forms

本文研究了模形式系数的同余关系，揭示其与椭圆曲线对称幂及$p$-adic Chowla--Selberg周期的联系，并通过超几何函数和Borcherds--Shimura提升进行证明。

一个三级对称立方超几何序列的完整 $p^{4r}$ 超同余塔

A full $p^{4r}$ supercongruence tower for a level-three symmetric-cube hypergeometric sequence

本文证明了一个三级对称立方超几何序列的素数幂超同余塔 $A_{mp^r}\equiv A_{mp^{r-1}}\pmod{p^{4r}}$，通过模形式方法将已知的深度一模 $p^4$ 推广到所有素数幂。

显式超几何-模性方法 I

The Explicit Hypergeometric-Modularity Method I

本文提出显式超几何-模性方法，将给定超几何数据关联到模形式，利用拉马努金椭圆函数理论、形式群律和超同余，构造eta商并给出应用。