Diophantine m-tuples in finite fields and modular forms
对于素数p，$\mathbb{F}_p$中的丢番图m元组是$\mathbb{F}_p$的m个非零元素的集合，其性质是其任何两个不同元素的乘积比平方小小于1。本文给出了当m= 2，3和4时，$\mathbb{F}_p$中丢番图m元组个数$N^{(m)}(p)$的计算公式.某些模形式的傅里叶系数出现在丢番图四元组数的公式中。我们证明了渐近地$N^{(m)}(p)=\frac{1}{2^{m \choose 2 }}\frac{p^m}{m!} + o(p^m)$，并且还表明，如果$p>2^{2m-2}m^2$，那么至少有一个丢番图m-元组在$\mathbb{F}_p$。
2018-01-31 math.NT
Diophantine tuples and product sets in shifted powers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了具有D_k(n)性质的丢番图元组，改进了多个已有结果，并探讨了其在非平凡移位幂集中的应用，结合筛法、丢番图逼近和极值图论思想。
2026-02-06 math.NT
An effective bound on Generalized Diophantine m-tuples
对于非零整数$n$和$k\geq2$，具有性质$D_k(n)$的广义丢番图$m$元组是$m$正整数$S = \{a_1,a_2,\ldots, a_m\}$的集合，使得$a_ia_j + n$是$1\leq i< j\leq m$的$k$次幂。定义$M_k(n):= \sup\{|S| : S$具有属性$D_k(n)\}$。在最近的一项工作中，第二作者，S。Kim和M. R. Murty证明了$M_k(n)$是$O(\log n)$，对于固定的$k$，当我们改变$n$时。本文给出了$M_k(n)$的有效上界。特别是，我们表明，对于$k\geq 2$，$M_k(n) \leq 3\,ϕ(k)\, \log n$，如果$n$足够大于$k$。
2022-09-29 math.NT
Explicit constructions of Diophantine tuples over finite fields
本文研究了有限域上丢番图数组的最大规模 $M(q)$，通过显式构造方法改进了其下界，并以乘法因子提升了 Dujella 和 Kazalicki 的近期结果。
2024-04-08 math.NT
An absolute bound for generalized Diophantine tuples over polynomial rings
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究特征0代数闭域上多项式环中广义丢番图数组的大小，对于k≥18证明除必要例外族外|A|≤6，结合行列式准则、Mason-Stothers定理推广和组合零点定理。
2026-07-02 math.NT
There is no Diophantine quintuple
一组$m$正整数$\{a_1, a_2, \dots , a_m\}$称为丢番图$m$ -元组，如果$a_i a_j + 1$对所有$1 \le i < j \le m$都是完满平方. 2004年，杜杰拉证明了不存在丢番图六元组，而至多存在1000个丢番图五元组。特别是，一个关于丢番图$m$ -元组的民间传说猜想指出，根本不存在丢番图五元组。本文证明了这一猜想。
2018-03-26 math.NT
Yet another $S$-unit variant of Diophantine tuples
证明满足任意两数之积为给定多项式在正整数$S$-单位处取值的整数三元组仅有有限个，基于Corvaja和Zannier的结果及Schmidt子空间定理。
2019-10-21 math.NT
On the size of Diophantine m-tuples
设n是一个非零整数，并假定一个正整数集合S具有这样的性质：xy+n是一个完满平方，只要x和y是S的不同元素。在本文中，我们找到了集合S的大小的一些上界。我们证明，如果|n| <= 400，则|S| <= 32，如果|n| > 400，则|S| < 267.81 log |n|（log log |n|）^2。对于|S|是否存在一个绝对界（与n无关）的问题仍然没有解决。
2000-02-11 math.NT
Finding all $S$-Diophantine quadruples for a fixed set of primes $S$
给定一个素数$S$的有限集和一个正的、不同整数的$m$元组$(a_1,\dots,a_m)$，我们称$m$元组$S$ -丢番图，如果对于每个$1\leq i < j\leq m$，数量$a_ia_j+1$具有仅来自集合$S$的素除子。对于给定的集合$S$，我们给出了一个实用的算法来寻找所有的$S$ -丢番图四元组，条件是$|S|=3$。
2020-10-22 math.NT
A note on the number of $S$-Diophantine quadruples
令$(a_1,\dots, a_m)$是正的、两两不同的整数的$m$ -元组。如果对于所有的$1\leq i< j \leq m$，$a_ia_j+1$的素除子来自同一个固定集合$S$，那么我们称$m$ -元组为$S$ -丢番图。本文用$|S|=r$估计了$S$ -丢番图四元组的个数.
2014-03-24 math.NT
Improved upper bounds on Diophantine tuples with the property $D(n)$
本文研究具有性质 $D(n)$ 的 Diophantine 元组最大规模 $M_n$，通过证明中间元素贡献为 $O(\log\log|n|)$，将上界改进为 $M_n\leq(2+o(1))\log|n|$。
2024-06-27 math.NT
S-Diophantine quadruples with $\mathbf{S=\{2,q\}}$
令$S$表示素数集合，令$a_1,\ldots,a_m$是正的不同整数。如果对于所有$i\not=j$，$a_ia_j+1=s_{i,j}$都是$S$ -整数，我们称$m$ -元组$(a_1,\ldots,a_m)$为$S$ -丢番图元组.本文证明了，如果$S=\{2,q\}$与$q\equiv 3\; (\bmod\, 4)$或$q<10^9$，则不存在$S$ -丢番图四元组（即~ $m=4$）.对于两个任意素数$p,q<10^5$，我们得到了同样的结果.
2014-07-25 math.NT
Multiplicative structure of shifted multiplicative subgroups and its applications to Diophantine tuples
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究移位乘法子群的乘法结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系，提出新的结果，包括改进的上界和对Sárközy猜想的进展。
2025-02-12 math.NT
Prime-power Diophantine tuples
该研究将丢番图数组的间隙论证推广到素数幂情形，得到正约化 $D(\pm p^r)$ 数组的基数一致上界，明确了不同素数幂下的基数界限及最大基数的阶性质。
2026-09-04 math.NT
Multiplicatively reducible subsets of shifted perfect $k$-th powers and bipartite Diophantine tuples
本文通过建立与二部 Diophantine 元组的联系，将 Hajdu-Sárközy 关于平移 k 次幂集合乘法不可约性的结果有效化，证明 min{|A|,|B|} ≪ log|n| 并给出 |A||B| 的上界，显著改进了多项已有结果。
2025-02-13 math.NT
Rational Diophantine sextuples with strong pair
本文研究了有理丢番图多元组问题，通过引入强对条件，成功构造出包含强丢番图对的有理丢番图六元组的无限族。
2024-03-12 math.NT
Doubly regular Diophantine quadruples
对于非零整数n，m个不同的非零整数{a_1，a_2，.，a_m}，使得a_i a_j + n是完满平方，对所有1 <= i < j <= m，称为D（n）-m-元组。本文利用正则丢番图m-元组和某些椭圆曲线族的性质，证明了存在无穷多个由完满平方构成的本质不同的集合，它们同时是具有不同非零平方n_1和n_2的D（n_1）-四元组和D（n_2）-四元组.
2020-08-11 math.NT
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
2020-08-23 math.NT
Diophantine m-tuples of Triangular Numbers
本文研究由三角数构成的D(n)丢番图元组，证明不存在D(1)三角四元组，提出生成D(1)三角三元组的算法，利用广义佩尔方程设计高效判定算法，还得出相关数论结论并推进了判据研究。
2026-08-31 math.NT
Triples which are $D(n)$-sets for several $n$'s
对于一个非零整数$n$，一组不同的非零整数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完全平方的，称为具有$D(n)$性质的丢番图$m$ -元组或简称为$D(n)$ -集。$D(1)$ -集合被称为丢番图$m$ -元组。这些集合首先由亚历山大的丢番图（Diophantus of Alexandria）研究，此后许多作者都研究过。很自然地会问，是否存在一个丢番图$m$ -元组（$D(1)$ -集），它也是某个$n\neq 1$的$D(n)$ -集. Kihel和Kihel在2001年提出了这个问题。他们证明了对于某些$n\neq 1$，不存在也是$D(n)$ -集的丢番图三元组.然而，该猜想不成立，因为例如，$\{8, 21, 55\}$是$D(1)$和$D(4321)$ -三元组，而$\{1, 8, 120\}$是$D(1)$和$D(721)$ -三元组。我们提出了几个无限族的丢番图三元组$\{a, b, c\}$，这也是$D(n)$ -集的两个不同的$n$的$n\neq 1$，以及一些丢番图三元组，这也是$D(n)$ -集的三个不同的$n$的$n\neq 1$。我们进一步考虑一些相关问题。
2017-03-30 math.NT
On Diophantine $m$-tuples related to primitive elements of finite fields
School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
本文研究与有限域本原元相关的丢番图\(m\)元组，给出\(\mathbb{F}_q\)上\(\mathcal{P}\)-丢番图\(m\)元组数量\(N_m\)的渐近公式，并证明当\(q\)足够大时存在这样的\(m\)元组。
2026-07-27 math.CO math.NT
Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple
一组$m$不同的非零有理数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+1$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方，称为有理丢番图$m$ -元组。最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。本文构造了具有特殊结构的有理丢番图六元组的无限族，即含有某种类型的四元组和五元组的六元组。
2019-03-31 math.NT
On Diophantine graphs
本文定义并研究以正整数为顶点、乘积加一为平方数时连边的 Diophantine 图，给出其可扩张性、最大边数及色数界的结果。
2024-10-26 math.NT
Diophantine tuples and Integral Ideals of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$
本文证明每个 Diophantine 数组可表示为二次域整理想的范数乘以常数，并在互素情形下给出显式构造。
2025-09-08 math.CO math.NT
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
1998-06-09 math.NT
Liminf Sets in Simultaneous Diophantine Approximation
设Q是正整数的无限集合。用W（Q）表示由实数的n元组组成的集合，该集合可被Q中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近，但只能被Q的补元中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近。当τ> 2 + 1/n时，计算了liminf集W（Q）的豪斯多夫维数.一个p-adic模拟的问题也进行了研究。
2013-08-17 math.NT
A system of certain linear Diophantine equations on analogs of squares
本文研究了整数元组$(k, \ell, m)$的存在性，使得$k$，$\ell$，$m$，$k+\ell$，$\ell+m$，$m+k$，$k+\ell+m$都属于$S(α)$，其中$S(α)$是$n\geq α^{-1/2}$的所有$\lfloor αn^2 \rfloor$形式的整数的集合，$\lfloor x\rfloor$表示$x$的整数部分.我们表明，$T(α)$，所有这样的元组的集合，是无限的所有$α\in (0,1)\cap \mathbb{Q}$和几乎所有的$α\in (0,1)$在勒贝格措施的意义。进一步证明了如果存在$α>0$使得$T(α)$是有限的，则不存在完美欧拉砖。我们还研究了$n\in \mathbb{N}$的所有形式为$\lceil αn^2 \rceil$的整数的集合。
2023-01-03 math.NT
On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
2018-07-09 math.NT
Diophantine equations in the primes
令$\mathfrak{p}=(\mathfrak{p}_1,...,\mathfrak{p}_r)$是$r$多项式的系统，其具有$d$在$n$变量$\mathbf{x}=(x_1,...,x_n)$中的整数次数系数。对于给定的整数$r$ -元组，比如$\mathbf{s}$，通过经典的Hardy-Littlewood型方法给出了一个一般的局部到全局类型语句，该语句在每个$x_i$都是素数的条件下为$\mathfrak{p}(\mathbf{x})=\mathbf{s}$的可解性提供了充分条件.
2013-12-21 math.NT
Quadratic twists of genus one curves and Diophantine quintuples
受丢番图$m$ -元组理论的启发，研究了二次扭曲$H^d:d y^2=(x^2+6x-18)(-x^2+2x+2)$上的有理点，其中$|d|$是素数.如果我们用$S(X)=\{ d \in \mathbb{Z}: H^d(\mathbb{Q})\ne \emptyset, |d| \textrm{ is a prime}\textrm{ and } |d| < X\},$表示，那么，通过假定关于二次扭族中椭圆曲线的秩的一些标准公式，我们证明了作为$X \rightarrow \infty$ $$\frac{43}{256}+o(1)\le \frac{\#S(X)}{2π(X)}\le \frac{46}{256}+o(1).$$，
2022-09-26 math.NT
Diophantine quadruples with the properties $D(n_1)$ and $D(n_2)$
对于一个非零整数$n$，一组$m$不同的非零整数$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$是所有$1 \leq i < j \leq m$的完全平方，称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文证明了存在无穷多个本质不同的四元组，它们同时是$D(n_1)$ -四元组和$D(n_2)$ -四元组与$n_1\neq n_2$ .
2019-02-09 math.NT
Quantitative indicators of the solutions of Diophantine equations and systems in the domain of the natural numbers
本文证明了丢番图方程或自然数组解的渐近密度为0。给出了在自然数域上的一阶、二阶和高阶二元代数方程、非代数丢番图方程和丢番图方程组的解的k元组$<x_1,...x_k>$的个数、密度和概率的估计.本文用几何方法证明了二元、三元或多元二阶丢番图方程正整数解的个数估计。证明了在自然数域上高阶代数丢番图方程的解的个数的一个论断。给出了丢番图方程和方程组在自然数域上定量解的渐近性态估计。
2014-11-18 math.NT
Erdos-Turan with a moving target, equidistribution of roots of reducible quadratics, and Diophantine quadruples
丢番图$m$元组是$m$正整数的集合$A$，使得对于$A$的每对$a,b$的不同元素，$ab+1$是完满平方。本文导出了元素以$x$为界的丢番图四元组个数的渐近公式。在这样做的时候，我们扩展了两个现有的工具的方式，可能是独立的利益。Erd \H os-Turán不等式限制了位于特定区间模1中的序列的元素数与期望数之间的差异;我们建立了这个不等式的一个版本，其中允许区间变化。我们还适应参数胡利的多项式同余的解决方案的等距分布处理可还原的二次多项式。
2009-03-10 math.NT
Diophantine equations defined by binary quadratic forms over rational function fields
研究了有理函数域上的二元二次型方程ax ^2 +bxy+ cy ^2 +g=0在k[t]上的积分解，证明了关于Artin倒易映射的条件是对方程积分解的局部-整体原理的唯一障碍.
2019-12-17 math.NT
Extendibility of Some P_{k} Sets
一组m个不同的正整数{ a_{1}，.如果对于每个1 \leqi <j \leqm，a_{i} a_{j} +n是正方形，则a_{m} }被称为丢番图m元组。本文的目的是证明当k=2和k=-3时，某些P_{k}集不能扩张为丢番图四元组，并给出了P_{k}集的一些性质.
2017-04-11 math.NT
Representing Primes as the Form $x^2+ny^2$ in Some Imaginary Quadratic Fields
本文给出了虚二次域上丢番图方程$p=x^2+ny^2$可解的判别准则，其中$p$是素元.在特殊情况下，标准变得相当简单。
2015-01-09 math.NT
The Diophantine problem for addition and divisibility for rings of $S$-integers of quadratic imaginary extensions of $\mathbb{Q}$
本文证明对于 $\mathbb{Q}$ 的二次虚扩张的 $S$-整数环（$S$ 非空），加法与整除性的丢番图问题不可判定，与整数环情形（可判定）形成对比。
2025-10-17 math.LO math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
On Regular Higher Power Rational Diophantine Triples
本文研究了正则高次幂有理数迪菲安特三元组，构造了非平凡的无限族，并证明了当k=4时存在无限多个正元素三元组，还简要讨论了k=6和k=8的情况。
2026-05-01 math.NT
On the Diophantine equation $cx^2+p^{2m}=4y^n$
设$c$是无平方因子的正整数，$p$是满足$p\nmid c$的素数.令$h(-c)$表示虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-c})$的类数。本文研究了丢番图方程$$cx^2+p^{2m}=4y^n,~~x,y\geq 1, m\geq 0, n\geq 3, \gcd(x,y)=1, \gcd(n,2h(-c))=1,$$，给出了它的所有整数解.我们的主要工具在这里是突出的结果Bilu，Hanrot和Albertier存在的原始因子在Lehmer序列。
2021-02-16 math.NT
Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, I
本文证明了二次域上奇导体环类域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$中四次费马方程的解是定义在$2$ -adic域$\mathbb{Q}_2$的最大非分歧代数扩张$\textsf{K}_2$的穿孔圆盘$0< |z|_2 \le \frac{1}{2}$上的固定代数函数$T(z)$的周期点.所有环类领域的奇导体在虚二次领域中的总理$p=2$分裂所示的代数函数$T$的复杂周期点产生的，相反，所有但两个周期点的$T$产生环类领域在适当的虚二次领域。这给出了一个动力学证明类数关系最初证明了杜林。它是澄清，一个类似的情况下成立的任意素数$p$的地方$p=2$，其中情况$p=3$已被证明的作者，和情况$p=5$将处理在第二部分。
2015-08-30 math.NT
A subset of Z^n whose non-computability leads to the existence of a Diophantine equation whose solvability is logically undecidable
对于K \subseteq C，设B_n（K）={（x_1，.，x_n）\in K^n：对于每个y_1，.，y_n \in K合取（\forall i \in {1，.，n}（x_i=1 => y_i=1））与（\forall i，j，k \in {1，.，n}（x_i+x_j=x_k => y_i+y_j=y_k））与（\forall i，j，k \in {1，.，n}（x_i*x_j=x_k => y_i*y_j=y_k））意味着x_1=y_1}。我们声称存在一种算法，对于每个可计算函数f：N->N，返回一个正整数m（f），第二个算法接受输入f和任何整数n>=m（f），并返回一个元组（x_1，.，x_n）\in B_n（Z），其中x_1=f（n）.我们计算一个整数元组（x_1，.，x_{20}），其中语句（x_1，.，x_{20}）\in B_{20}（Z）等价于一个开丢番图问题。证明了如果集合B_n（Z）（B_n（N），B_n（\setminus {0}））对某个n不可计算，则存在一个丢番图方程，其整数（非负整数，正整数）可解性是逻辑不可判定的.
2012-04-06 math.LO math.NT
Diophantine Approximation with Prime Restriction in Real Quadratic Number Fields
$αp$模1的分布，其中$p$运行在有理数素数和$α$是一个固定的无理实，已经受到了很多关注。很自然地，我们会问哪些指数$ν>0$可以建立满足$||αp||\le p^{-ν}$的素数$p$的无限性。这方面的最新记录是Kaisa Matomäki的里程碑式成果$ν=1/3-\varepsilon$，它展示了目前已知技术的极限。最近，格林·哈曼（Glyn Harman）和马克·泰诺（Marc Technau）以及第一作者在虚二次域的背景下研究了同样的问题。Glyn Harman在$\mathbb{Q}$的上下文中得到了$\mathbb{Q}(i)$的类似物，它产生了$ν=7/22$的指数。马克Technau和第一命名的作者产生了类似的鲍勃沃恩的结果$ν=1/4-\varepsilon$的所有虚二次数域的类数1。本文在一定的丢番图约束下，对类数为1的实二次域建立了上述结果的一个类似结果。这种设置涉及整数环中无限单位群的额外复杂性。此外，虽然基本的筛子方法保持不变（我们使用哈曼筛子的理想版本），但问题具有不同的风味，因为它变成了真正的二维。我们最终减少它的计数问题，有趣的是，与二次同余的根。为了近似它们，我们使用Christopher Hooley基于二元二次型理论的方法。
2021-01-27 math.NT
Diophantine approximation with prime denominator in real quadratic function fields
上世纪三十年代，我。M. Vinogradov证明了不等式$||pα||\le p^{-1/5+\varepsilon}$有无穷素解$p$，其中$||.||$表示到最近整数的距离.这个结果后来被许多作者改进了。特别是，Vaughan（1978）用$1/4$代替了指数$1/5$，使用了他著名的von Mangoldt函数恒等式和傅立叶分析参数的改进。目前的记录是由于Matomäki（2009）谁显示了无限的总理解决方案的不等式$||pα||\le p^{-1/3+\varepsilon}$。这个指数$1/3$被认为是当前技术的极限。最近，在\cite{BaMo}中，作者建立了Matomäki关于函数域$k=\mathbb{F}_q(T)$的虚二次扩张的结果的类似物。本文考虑类数为1的$k$的实二次扩张的情形，证明了Vaughan上述结果的一个函数域模拟（指数为$θ=1/4$）.我们的方法使用版本的沃恩的身份和狄利克雷逼近定理的功能领域。后者是由Arijit Ganguly在我们以前的论文\cite{BaMo}关于虚二次情形的附录中建立的。我们还简化了文件\cite{BM}中的论点对同一问题的实二次数域D。马宗德和第一个署名的作者。
2023-02-03 math.NT
Diophantine Approximation on varieties V: Algebraic independence criteria
对于复数元组$(θ_1,..,θ_M)$，本文在本系列文献的逼近技巧的基础上，从点$θ=(1,θ_1,...,θ_M)$在射影空间中的超曲面逼近性出发，推导出$(θ_1,..,θ_M)$生成的域在有理数域上超越度的下估计.第一个给出的结果是一个新的证明的代数独立性准则，这是以前证明的劳伦特和罗伊，并推广了Philippon准则也引入评估的衍生物的整体瓣部分。第二个结果是一种新的代数独立性准则，它比第一个结果具有更广的适用范围。
2010-01-10 math.AG math.NT
Solving simultaneously Thue equations in the almost totally imaginary case
令$α$是至多具有一个实共轭的次数$d\ge 3$的代数数，并且令$K$是代数数域${\mathbf Q}(α)$。对于$K$的任何单位$ε$使得${\mathbf Q}(αε)=K$，我们考虑不可约多项式$f_ε(X)\in{\mathbf Z}[X]$使得$f_ε(αε)=0$ .设$F_ε(X,Y)\ = Y^df_ε(X/Y)\in{\mathbf Z}[X,Y]$为相关的二进制形式。对于每一个正整数$m$，我们展示了一个有效的计算界的解$(x,y,ε)$的丢番图方程$|F_ε(x,y)|\leq m$。
2015-05-25 math.NT
Construction of ray class fields by smaller generators and applications
首先利用Siegel-Ramachandra不变量在虚二次域上生成束类域，推广了Schertz的结果.利用Siegel-Ramachandra不变量的导数，我们还构造了极小多项式系数较小的虚二次域上的射线类不变量，并由此求解了某些二次丢番图方程.
2014-08-25 math.NT
$F$-Diophantine sets over finite fields
本文研究有限域上的 $F$-丢番图集，提出基于单项式展开性质的构造策略，并在 $F=x_1x_2\ldots x_k+1$ 情形下得到大小 $\gg_k \log q$ 的 $k$-丢番图元组，显著改进已有下界。
2024-11-20 math.NT
On certain $D(9)$ and $D(64)$ Diophantine triples
Brock University（布鲁克大学）
研究关于$D(9)$和$D(64)$丢番图三元组，推广刻画特定$D(l^2)$-丢番图三元组对应佩尔方程解的结果，利用该结果及代数数对数线性形式的界，对特定形式的$D(9)$和$D(64)$-丢番图三元组进行分类。
2026-07-29 math.NT
Class fields and form class groups for solving certain quadratic Diophantine equations
本文利用 Shimura 典范模型构造与形式类群对应的类域，并据此给出形如 x²+ny² 且带附加条件的素数刻画，同时推导出高阶层模函数特殊值的 Kronecker 型同余关系。
2024-02-24 math.NT
Lehmer sequence approach to the divisibility of class numbers of imaginary quadratic fields
令$k\geq 3$和$n\geq 3$为奇数，令$m\geq 0$为任意整数。对素数$\ell$，证明了虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{\ell^{2m}-2k^n})$的类数既可以被$n$整除，也可以被$n$的特定除数整除.应用这一结果，我们构造了一类具有$$\left(\mathbb{Q}(\sqrt{d}), \mathbb{Q}(\sqrt{d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{4d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+16}), \cdots, \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4^t}) \right)$$，$d\in \mathbb{Z}$和$1\leq 4^t\leq 2|d|$的虚二次域元组的无限族，它们的类数都能被$n$整除.我们的证明使用了Lehmer序列的本原因子的一些深层次的结果。
2022-10-02 math.NT
On the Dimensional-like Characteristics Arising From Linear Inhomogeneous Approximations
从概周期函数的理论可以看出，Kronecker系统$|ω_{j} q - θ_{j}| < \varepsilon \pmod 1$的整数解$q$的集合$j=1,\ldots,m$在$\mathbb{R}$中相对稠密，其中$1,ω_{1},\ldots,ω_{m}$在$\mathbb{Q}$上线性无关。后者意味着存在$L(\varepsilon)>0$，使得长度为$L(\varepsilon)$的任何段包含克罗内克系统的至少一个整数解。我们给出了$L(\varepsilon)$的一些上、下非有效（渐近）估计，特别是证明了$L(\varepsilon) = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{m+o(1)}$在许多情况下都是$\varepsilon \to 0$，包括代数数和严重逼近数。我们使用维数理论和满足丢番图条件的$m$ -元组的丢番图逼近的方法。
2018-07-27 math.NT
Is there a computable upper bound on the heights of rational solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions?
有理数$p/q$的高度用$h(p/q)$表示，如果p/q用最低项表示，则等于$\text{max}(|p|,|q|)$。有理元组$(x_1,...,x_n)$的高度用$h(x_1,...,x_n)$表示，等于$\text{max}(h(x_1),...,h(x_n))$。让$G_n={x_i+1=x_k: i,k \in {1,...,n}} \cup {x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}$。设$f(1)=1$，对每个正整数n设$f(n+1)=2^{(2^{(f(n))})}$。我们推测：（1）若系统$S \subseteq G_n$在有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq {1 (\text{if} n=1), 2^{(2^{(n-2)})} (\text{if} n>1)}$ ;（2）若系统$S \subseteq G_n$在非负有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq f(2n)$ .我们证明：（1）这两个定理都暗示着存在一个算法，它以一个丢番图方程为输入，返回一个整数，并且这个整数大于有理解的高度，如果解集是有限的;（二）这两个命题都意…
2017-09-18 math.NT
Diophantine $D(n)$-quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{4k + 2}]$
本文研究了二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的 Diophantine $D(n)$-四元组，在特定条件下证明了对于满足特定同余关系的 $n$，存在无穷多个 $D(n)$-四元组，并给出了 $d=10$ 时的实例。
2024-06-26 math.NT
